教师培训课件：如何理解和把握高中数学课程标准

如何理解和把握 高中数学课程标准 从高中数学课标的模块谈改革理念 关于 5个必修模块和选修 1、选修 2系列 关于数学探究、数学建模、数学文化 关于选修 3和选修 4系列 一、模块结构的安排出自教育 和教学理念的改革更新 时代性 基础性 选择性 不断的变革是数学教育发展的必然； 教育的目的是发展人、发展社会； 社会的发展、教育的发展、数学的发展 必然导致数学教育的不断的变革。 我国以往数学教育的长处与不足 1.长处 课程内容比较系统，逻辑性强 ; 重视数学理论和 对学生基本训练 ; 启发式教学 ; “三大能力 ” 培养； 有组织的教研活动；等等。 2. 不足与问题 课程设置、课程目标、课程内容和评价方式都表现 得较为单一； 忽视数学课程的教育价值； 忽视对数学本质的认识和理解，存在过分形式化的 倾向。 构建共同基础，提供发展平台 提供多样课程，适应个性选择 倡导积极主动，勇于探索的学习方式 注重提高学生的数学思维能力 发展学生的数学应用意识 与时俱进地认识 “ 双基 ” 强调本质，注意适度形式化 体现数学的文化价值 注重信息技术与数学课程的整合 建立合理、科学的评价体系 课程标准中的十条基本理念 数学 1 数学 2 数学 3 数学 4 数学 5 选修 1-2 选修 1-1 选修 2-1 选修 2-2 选修 2-3 选修 3-6 选修 3-5 选修 3-4 选修 3-3 选修 3-2 选修 3-1 选修 4-10 选修 4-4 选修 4-3 选修 4-2 选修 4-1 必修课程与选修系列的安排 必修 5个模块 选修 4个系列 （ 21个专题 ） 这次制订的高中数学课程标准从整体上看 课程的内容是综合安排的。 为解决便于选择的问题，又把确定下来的 所有内容划分成模块和专题。 教学时应注意各模块的联系，可以调整 内容顺序，但不要违背课程标准提倡的 教育思想和教学理念的改革。 除了时代性、基础性、选择性外， 数学教学改革要抓什么？ 要抓数学的本质，抓数学发生、发展的过 程、思想、方法，抓知识的来龙去脉和相 互联系； 抓学生的主动学习和探索，抓学生思维能 力的培养和应用实践能力的提高； 抓数学文化素养，树立正确的数学观。 高中数学课程的目标 高中数学课程的总目标 使学生在九年义务教育数学课程的基 础上，进一步提高作为未来公民所必要的 数学素养，以满足个人发展与社会进步的 需要。 高中数学课程的具体目标（ 见 标准 P11） 这六条具体目标可以分为三个层次， 但又是一个整体，相互联系，相互融合， 不可分割。 二、关于 5个必修模块和选修 1选修 2 系列的内容要求 与 2000年大纲相比，增加了一些新 的内容 与以往大纲相比，一些传统内容在 教育思想和教学要求上有所变化 数学 1： 集合、函数概念与基本初等函数 I （指数函数、对数函数、幂函数） 数学 2： 立体几何初步、平面解析几何初步 数学 3： 算法初步 、统计、概率 数学 4： 基本初等函数 II（三角函数）、 平面上的向量、三角恒等变换 数学 5： 解三角形、数列、不等式 5 个必修模块 选修 1-1： 常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 导数及其应用 选修 1-2： 统计案例 、 推理与证明 、 数系的扩充与复数的引入、 框图 选修 2-1： 常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间中的向量与立体几何 选修 2-2： 导数及其应用、 推理与证明 、 数系的扩充与复数的引入 选修 2-3： 计数原理、 统计案例 、概率 选修 1、选修 2 系列 与 2000年大纲相比新增加的内容 算法初步 （必修 3） 框图 （选修 1-2） 推理与证明 （选修 1-2、选修 2-2） 统计案例 （选修 1-2、选修 2-3） 算法初步 （必修 3） 新课程引入算法，是考虑到当今社会中计算机科 学的迅猛发展和广泛应用， “ 算法是计算机科学 的基础 ” 。 学习一些简单的算法知识，也可以帮助我们学习 数学和解决一些数学问题，培养学生思维能力。 首先是周密地思考问题；其次是系统地设计可以 解决问题的具体步骤。 教学应当结合实例进行，从解决问题的自然语言 到设计程序框图，再翻译成算法语言（ 语句 ）。 考察学生对算法初步的理解和掌握，应关注学生 是否能把解决问题的步骤，翻译成算法的步骤， 设计成合理的程序结构为主，问题不要太复杂。 框 图 （选修 1-2） 框图实际是比算法的程序框图应用更广泛的一种 表示事物发展或逻辑关系的方法。 课程标准中提到了两种框图： 流程框图 和 结构框图。 学习框图，可以使学生学会用框图的符号更好地 表达各种关系，使学生的表达交流更清晰，更有 条理，更容易让他人理解。 推理与证明 （选修 1-2、选修 2-2） 加强思维能力的培养，讲证明的必要性，促进 学生平时能自觉地进行推理和证明，养成有根 有据地分析思考问题的习惯。 推理不仅有逻辑推理，还有合情推理。 合情推理同样具有重要价值。 合情推理与逻辑推理是相辅相成的。 通过实例说明直接证明和间接证明的特点。 选修 2-2 比 选修 1-2 多了 “ 数学归纳法 ” 的内 容。 数学文化：学一点历史，体会公理化思想、了 解机器证明的现代发展。 统计案例 （选修 1-2、选修 2-3） 在必修模块统计教学的基础上，选修 1和选修 2 都以研究案例的方式，让学生了解几种具体的 统计方法，以加深学生对统计思想的认识。 通过实例介绍，进一步培养学生对数据的直观 感觉，理解统计的独特方法。 了解统计的特点，抽样估计的结果有随机性， 其推断的结果可能会犯错误 。 体会统计应用的广泛性，培养学生用统计方法 去思考和解决问题的意识。 课标的要求是 “ 了解方法 ” “ 初步应用 ” ，可 以让学生模仿课本上的案例做一些简单的统计 活动。 与 2000年大纲相比，在教育思想 和教学要求上有所变化的传统内容 集合 常用逻辑用语 函数 三角函数 平面向量 空间向量 立体几何 平面解析几何 不等式 导数及其应用 统计 概率 复数 集 合 （必修 1） 在必修模块 1里作为语言来学习使用，不涉及更深 的集合理论知识。 了解集合的含义和表示法，知道集合与元素之间 的关系、集合与集合之间的关系，理解集合的基 本运算（ 并集、交集、补集 ），并且会用文氏图 表示。 学会运用符号表示集合语言，并能正确、恰当、 经常地使用。 常用逻辑用语 （选修 1-1、选修 2-1） 与以往大纲中讲简易逻辑的侧重点有所不同，是 为了使学生语言表达更加准确、清晰、简洁，更 加有根有据、有逻辑性。 命题和四种命题的关系，以及充要条件的教学， 应当注意结合具体实例。 逻辑联结词、全程量词和存在量词的教学，也要 结合实例进行，注意多说多用，也应学会正确地 使用逻辑用语的符号。 函数 和 基本初等函数 （ 必修 1） 函数是刻画现实世界运动变化的数学模型。 要使学生真正理解函数的本质（ 变量 对应 ）。 教学函数要通过丰富的实例，经历抽象概括函数 模型的过程（ 关注背景和应用 ）。 通过较多实例，让学生归纳、分析和体会，改变 以往从映射开始讲起的教学方法。 基本初等函数 : 指数函数、对数函数、幂函数 加强函数与其他数学知识联系（ 方程、不等式、 算法初步 ）。 减少对定义域和值域的繁难讨论和计算。 三角函数 （ 基本初等函数 ） （ 必修 4） 要突出函数思想，体会三角函数是描述现实世界 中具有周期性变化的数学模型。 基本初等函数 ，除了单调性、最大（小）值和 奇偶性之外 ,着重研究其独特的性质（周期性）。 突出对函数 y = A sin (x +) 及其应用的理解。 不讲余切、正割和余割，同角关系式只讲两个， 诱导公式也只讲最基本的。 三角恒等变形和解三角形另外安排，反三角函数 也没有出现。 三角恒等变换 （必修 4） 用向量的数量积推出两角差的余弦公式。 由 OAOB =OA OB cos(-) = cos(-) OAOB = cos cos + sin sin 推出 cos(-) = cos cos + sin sin 通过诱导公式，从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 继之导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。 能运用上述公式进行简单的恒等变换。 （ 包括引导推出积化和差、和差化积、半角公式， 但不要求记忆 ）。 恒等变换的要求比以往教材的要求有所降低。 A B x y O 解三角形 （必修 5） 解三角形是三角函数的应用，解决三角形 的边角关系问题。 根据三角函数的定义推导出正弦定理。 用求平面向量差的数量积的方法， 推导出余弦定理。 c 2 = c c = (a - b) (a - b) = a a + b b 2 a b c2 = a2 + b2 + 2ab cosC 解三角形的一些实际应用（ 测量计算 ）。 C c B b A a Si n Si n Si n C A B a b c D c a b A C B 平面向量及其应用 （必修 4） 向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的有 力工具。 教学平面向量时，应注意多联系实例，说明向量 的特征，使学生养成自觉运用的意识。 两点间距离公式移到 “ 直线与方程 ” 里 ，删去线 段的定比分点和中点公式等内容，平移公式的内 容也删去了。 立体几何 （必修 2、选修 2-1） 高中的立体几何分成 “ 立体几何初步 ” 与 “ 空间向量与立体几何 ” 两部分，分别在 必修 2和选修 2-1里教学。 在必修 2中，通过直观感知、操作确认、思辩 论证，获得对立体几何图形的认识，并通过 简单的推理、论证，认识基本空间图形之间 的相互位置关系的判定和有关性质。 在选修 2-1中，把更深一些层次的论证和度量 问题，用空间向量的知识来处理。 立体几何初步 （必修 2） 改变教学原则：从整体到局部、从具体到抽象。 认识空间几何体（ 柱、锥、台、球 ），学习空间 图形在平面上的画法。 借助长方体模型，直观认识空间点、线、面的位 置关系（ 四条公理和一个定理 ） 通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理 解空间中 线和面平行、垂直的有关性质和判定。 （ 四个判定定理、四个性质定理 ） 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简 单命题。 空间向量与立体几何 （选修 2-1） 以讲空间向量为主，然后用空间向量证明一些 立体几何问题。 教学空间向量，只要在平面向量的基础上推广 即可 （包括空间向量的线形运算、基本定理、 数量积、空间向量的直角坐标与运算等） 。 用向量证明或计算一些立体几何的问题，不能 过于繁难，应以让学生体会向量的作用，了解 运用向量解决问题的思想，以及向量与其他数 学知识的联系为主。 平面解析几何初步 （必修 2） 平面解析几何在新课程里也是分两个层次教学 （ 在 必修 2 和 选修 1-1、 2-1）。 要使学生体会到数形结合、数形转换是解析几何 的灵魂。 在必修中学习 “ 平面解析几何初步 ” ，包括：直 线与方程、圆与方程、空间直角坐标系。 学习时要抓住几何要素，再转化成代数语言。 “ 求交点坐标 ” 和 “ 距离公式 ” 教学的核心，是 让学生体会用代数方法处理几何问题的思想和方 法。 圆锥曲线与方程 （选修 1-1 2-1） 选修中 “ 圆锥曲线与方程 ” 包括：椭圆、双曲 线、抛物线的定义、性质，及其简单应用。 要注意使学生了解圆锥曲线的实际背景，感受其 在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 应使学生经历：画图、抽象出定义、推导出标准 方程的过程，再研究它们的性质和应用。 选修 2-1还研究了直线与圆锥曲线的位置关系。 选修 2-1最后的 “ 曲线与方程 ” 是把学过的圆锥 曲线的内容推广到一般的曲线，强化了数形结合 解决问题的思想。 不 等 式 （ 必修 5） 必修中不等式的内容和教学思想有较大变化，内容 只有四项 （不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式 组与简单的线形规划、基本不等式） 。 教学要强调通过具体情境，感受现实世界和日常生 活中存在着大量的不等关系，了解不等式（不等式 组）的实际背景，突出不等关系模型。 把不等式与函数、方程联系起来（ 图形、解集 ）。 解二元一次不等式组，解决一些简单的线性规划问 题，体会线性规划的优化思想。 学习基本不等式： (a,b0) 2 baab 数 列 （ 必修 5） 将数列作为一种反映自然规律的数学模型，一种 特殊的函数来学习。数列是一种离散函数。 以往教学比较注重数列中各量之间关系的恒等变 形，新课程更注重背景和应用，突出函数思想。 对一般求通项公式的要求比 “ 大纲 ” 降低了。 教学中要尽量引导学生参与观察、分析、猜想、 抽象概括、归纳类比的过程，体会这一数学模型 的广泛应用，以及知识之间的相互联系。 等差、等比数列的教学要求，与 “ 大纲 ” 大致相 同，只是现在更关注学生的参与和发现，了解这 些数列的背景和应用，以及它们与函数的联系。 导数及其应用 （ 选修 1-1、选修 2-2） 微积分在我国高中数学课程中定位的变化。 新课程中教学导数，不从极限开始讲起。 通过具体实例，经历从平均变化率到瞬时变化率的 演化过程，引出导数的概念。观察图象，理解导数 的几何意义。 根据导数定义求已知函数导数 y=c y=x y=x2 y=1/x ， 给出基本初等函数的导数表。 导数的四则运算法则，及复合函数的导数。 ( f g) = f g ( f g )= f g + f g 复合函数 f (ax+b) 导数在研究函数中的应用，以及生活中的优化问题 举例（ 应用函数的增减和极值 ）。 2 g fggf g f 定 积 分 （选修 2-2） 定积分教学，重在使学生通过较多的实例感受 和体会积分的过程，理解积分的思想方法。 从曲边梯形面积的细分求和，体会积分思想。 了解 微积分基本定理，可以帮助学生进一步沟 通微分和积分的联系，也可以计算一些简单的 定积分题目。 数学文化：微积分在人类文化发展中的价值。 )()()()( aFbFxFdxxf abba 统 计 （必修 3） 在高中数学中学习统计的定位，应着重使学生理 解统计的基本思想，感受其应用的广泛性。 统计是用样本估计总体。要使学生理解抽样的必 要性、重要性，学习一些抽样和估计的方法，更 要使学生理解统计结果的随机性。 用样本估计总体的方法：列频率分布表、画频率 直方图、频率折线图，还介绍了茎叶图。 用样本的数字特征估计总体时，要弄清数字特征 （ 众数、中位数、平均数、标准差 ）所代表的意 义，以及运用不同数字特征时的优缺点。 变量间的相关关系，要注意借助图形，加强学生 的直观理解。（ 线形相关与线形回归 ） 茎叶图比较方便直观 ,，数据不多时会好用。 例如，统计两个篮球运动员多场比赛每次得分的情况。 甲 ： 12， 15， 24， 25， 31， 31， 36， 36， 37， 39， 44， 49， 50. 乙 ： 8， 13， 14， 16， 23， 26， 28， 33， 38， 39， 51. 0 8 可以直观地看出频率分布 5 2 1 3 4 6 5 4 2 3 6 8 甲运动员的得分更集中于峰值 9 7 6 6 1 1 3 3 8 9 附近，说明他发挥的更稳定些。 9 4 4 0 5 1 概率教学的核心问题，是让学生了解随机现象 和概率的意义。 随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性。 概率的基本性质和加法公式： 0P(A)1 ， 若 A、 B互斥， 则 P(A B) = P(A)+P(B) 古典概型是最简单的概率模型，有助于帮助学 生理解概率，但重点不在计算，而在于理解其 在处理随机问题时的作用。 几何概型是新增加的，只是初步了解。 概 率 （必修 3） 选修 2-3中的概率内容，是在必修 3 学习概率的基 础上，继续学习如何用一些数学的方法去描述某 些随机现象发生的规律。 分类研究不同类型的概率分布列：二项分布、超 几何分布、正态分布等。 随机数学有自己独特的思维方式，却仍需要使用 排列组合、数据演算等确定性的数学工具，二者 互相并不矛盾。 计数原理的教学，应当强调对计数原理和思想的 理解，而不应注重在复杂的计算上。 概 率 （选修 2-3） 复 数 （选修 1-2、选修 2-2） 讲复数主要是作为数系扩充的结果引入。 在数学的发展进程中，根据计算对于数的实际 需要，引入虚数、虚数单位、复数和复数的表 示法。 a+bi 理解复数相等的充要条件（ 复数没有大小 ）。 通过建立复平面，介绍复数的几何意义、复数 的向量表示、复数的模（ 绝对值 ）。 复数四则运算，只要求代数形式的计算。计算 的要求不高。 三、数学探究、数学建模、数学文化 数学探究就是数学探究性课题学习。 数学建模是运用数学思想、方法和知识， 解决实际问题的过程。 数学文化表现在数学的起源、发展、完善 和应用过程中所体现的对人类发展的巨大 影响。 它们的教学都可以采用多种形式。可以用 写活动报告的方式展现学习成果。 四、关于选修 3和选修 4系列 标准 设置了选修系列 3和系列 4的内容，是为 了使学生依据各自不同的兴趣和需要，了解更多、 更广一些的数学知识，具有更高一些的数学修养。 选修系列 3和系列 4这两个系列，在教学要求上是 有所区别的。 （ 文科学生至少从系列 3中选学两个专题， 理科学生至少从系列 3和系列 4中各选学两个专题，且系 列 4的内容是进入高考的 ） 选修系列 3和系列 4的设置和实施是一个动态发展 的过程。 选修 3-1 数学史选讲 选修 3-2 信息安全与密码 选修 3-3 球面上的几何 选修 3-4 对称与群 选修 3-5 欧拉公式与闭曲面分类 选修 3-6 三等分角与数域扩充 注 : 红字的是目前 选用较多的专题， 黄字的已经 改为课外读物了。 选修 4-1 几何证明选讲 选修 4-2 矩阵与变换 选修 4-3 数列与差分 选修 4-4 坐标系与参数方程 选修 4-5 不等式选讲 选修 4-6 初等数论初步 选修 4-7 优选法与试验设计初步 选修 4-8 统筹法与图论初步 选修 4-9 风险与决策 选修 4-10 开关电路与布尔代数 欢迎大家批评指正 谢 谢！ 2009年 7月