全微分与链式法则

第八章 8.3 8.3.1、全微分 全微分与链式法则 8.3.2、链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xoxA 一元函数 y = f (x) 的微分 )()( xfxxfy xxf )( 常数 A与 x 无关 ,仅与 x 有关 ),( yxfz对 ),(),( yxfyxxf 关于 x 的高阶无穷小 xyxfx ),( 对 x 的 偏增量 对 x 的 偏微分 ),(),( yxfyyxf yyxf y ),( 对 y 的 偏增量 对 y 的 偏微分 yd 8.3.1、全微分 引例 : 一块长方形金属薄片受温度变化的影响 , 问此薄片面积改变了 设面积为 A , 则 0y y 面积的增量为 0000 )( yxyyxxA )(00 yxyxxy yx 0 00 yxA xy 0 yx 关于 x, y的 线性主部 故 yxxyA 00 称为函数在 的全微分 ),( 00 yx 0 x 变到 ,0 xx 分别由 其边长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y 变到 , 0 yy 多少 ? 0 x x 时 0,0 yx 比 较高 22 yx 阶无穷小 定义 : 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点 ( x , y ) ),(),( yxfyyxxfz 可表示成 ,)(oyBxAz 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 ),( yxf 在点 (x, y) 的 全微分 , 记作 yBxAfz dd 若函数在域 D 内各点都可微 , 22 )()( yx 则称函数 f ( x, y ) 在点 ( x, y) 可微 ， 处全增量 则称此函数 在 D 内可微 . 一般地 yBxA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 偏导数连续 ),(),( yxfyyxxfz )()(li m0 oyBxA 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 : (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ),(l i m 0 0 yyxxf y x 由微分定义 : 得 z y x 0 0 lim 0 ),( yxf 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理 1(必要条件 ) 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y z x z , yyzxxzz d ), (), ( yfyfzx x z 同样可证 ,Byz yy zx x zz d 证 : 因函数在 点 (x, y) 可微 , 故 ,)(oyBxAz ,0y令 )( xoxA 必存在 ,且有 得到对 x 的偏增量 xx x 因此有 x zx x 0 lim A 反例 : 函数 ),( yxf 易知 ,0)0,0()0,0( yx ff 但 )0,0()0,0( yfxfz yx )(o 注意 : 定理 1 的逆定理不成立 . 22 )()( yx yx 22 )()( yx yx 22 )()( yx yx 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即 : 0, 2222 yx yx yx 0,0 22 yx 时例如沿路径 0 xy因此 ,函数在点 (0,0) 不可微 . 定理 2 (充分条件 ) y z x z , （证略） 若函数 ),( yxfz 的偏导数 ,),( 连续在点 yx则函数在该点 可微分 . yyzxxzz ddd 于是，全微分 例 1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分 . yxez 解 : x z 22 2)1,2(,)1,2( eyzexz yexez d2dd 22 )1,2( yz,yxey yxex )d2d(2 yxe 习惯上 , yx , 分别记为 yx d,d 例 2. 计算函数 的全微分 . y xxyz )tan ( 解 : x z yz )(c os 1 2 xy y y 1 21 2 1 x )(c os 1 2 xy x x 2 3 )21( y )(c o s 2 xy y x xy d2 1 )(cos 2 xy x y yy x d 2 yyzxxzz ddd 例 3. 计算函数 的全微分 . zyeyxu 2si n 解 : ud xd1 yy d) c os( 221 zey zy d zyez 例 4.计算 的近似值 . 02.204.1 解 : 设 yxyxf ),( ,则 ),( yxfx 取 ,2,1 yx 则 )02.2,04.1(04.1 02.2 f yfxff yx )2,1()2,1()2,1( 08.102.0004.021 ),( yxfy,1yxy xxy ln 02.0,04.0 yx 内容小结 1. 微分定义 : ),( yxfz z yyxfxyxf yx ),(),( zd yyxfxyxf yx d),(d),( 22 )()( yx 2. 重要关系 : )( o 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 函数 ),( yxfz 在 ),( 00 yx 可微的充分条件是 ( ) ;),(),()( 00 连续在 yxyxfA ),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx 在 的某邻域内存在 ; yyxfxyxfzC yx ),(),()( 0000 0)()( 22 yx当 时是无穷小量 ; 22 0000 )()( ),(),()( yx yyxfxyxfzD yx 0)()( 22 yx当 时是无穷小量 . 1. 选择题 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0( 2. 设 ,co sco sco s1 co sco sco s),( zyx xzzyyxzyxf .d )0,0,0(f求 解 : x xxf co s3)0,0,( 0c os3)0,0,0( xx xf x 4 1 利用轮换对称性 , 可得 4 1)0,0,0()0,0,0( zy ff )dd(d41 zyx 注意 : x , y , z 具有 轮换对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .d,arc t an zyx yxz 求 答案 : 22 ddd yx yxxyz 3. 已知 在点 (0,0) 可微 . 备用题 在点 (0,0) 连续且偏导数存在 , 续 , ),( yxf而 ),( yxf )0,0(),(,1si n 22 yx yx yx )0,0(),(,0 yx 证 : 1) 因 22 1s i n yx xy 0),(lim 0 0 yxf y x )0,0(f 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数 xy 2 22 yx 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),( yxf )0,0(),(,1s i n 22 yx yx xy )0,0(),(,0 yx ),( yxfx ,)0,0(),( 时当 yx ,)0,0(),( 时趋于沿射线当点 xyyxP ,0)0,( xf ;0)0,0( xf .0)0,0( yf同理 y 22 1si n yx 322 2 )( yx yx 22 1c o s yx ),(l i m )0,0(),( yxfxxx 极限不存在 , ),( yxfx 在点 (0,0)不连续 ; 同理 , ),( yxf y 在点 (0,0)也不连续 . xx (lim0 |21si n x 3 3 |22 x x ) |2 1c o s x 2) 3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()( 22 yx 4) 下面证明 )0,0(),( 在点yxf 可微 : yfxff yx )0,0()0,0( 1si nyx x 0 0 .)0,0(),( 可微在点yxf 说明 : 此题表明 , 偏导数连续只是可微的充分条件 . 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元复合函数 )(),( xuufy 求导法则 xuuyxy dddddd 本节内容 : 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 xxufuufy d)()(d)(d 微分法则 8.3.2、多元复合函数求导的链式法则 )(),( ttfz 定理 . 若函数 ,)(,)( 可导在点 ttvtu ),( vufz处偏导连续 , ),( vu在点 在点 t 可导 , t v v z t u u z t z d d d d d d z 则复合函数 且有链式法则 vu tt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 ) 推广 : 1) 中间变量多于两个的情形 . 例如 , ,),( wvufz 设下面所涉及的函数都可微 . tzdd 321 fff 2) 中间变量是多元函数的情形 .例如 , ),(,),(,),( yxvyxuvufz xz 1211 ff 2221 ff yz z z wvu vu yxyx ttt t u u z d d t v v z d d t w w z d d x u u z x v v z y u u z y v v z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(,)(,)( twtvtu 3) ),(,),( yxvvxfz 当它们都具有可微条件时 , 有 x z 121 ff y z 22f fz x yx 注意 : 这里 x z x f x z 表示固定 y 对 x 求导 , x f 表示固定 v 对 x 求导 x f x v v f y v v f 与 不同 , v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀 : 连线相乘 , 分叉相加 , 单路全导 , 叉路偏导 例 1. 设 ,si n yxvyxuvez u ., yzxz 求 解 : x z veus in )co s()sin ( yxyxye yx y z )cos()si n( yxyxxe yx veus in x u u z x v v z veuco s y u u z y v v z veuco s y 1 x 1 z vu yxyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 设 ,s i ntvuz . d d t z z tvu tt t z d d tev tttet c os)s in( c os t u u z d d t v v z d d t z 求全导数 ,teu ,c o stv 解 : tusin tcos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. .)1( c o s2 的全导数设 xxz 解 : 令 u = 1+ x2 , v = cos x , 则 vuz x z d d x u u z d d x v v z d d )s in(ln21 xuuxuv vv )1l n(s i n)1(c os2)1( 221c o s2 xxxxxx x z vu x x 例 3. 求 yxyxz 2422 )3( 的偏导数 . 解 : 设 ,24,3 22 yxvyxu 于是 z vu yxyxx z xuuz xvvz ,vuz 1 vvu x6 uu v ln 4 y z y u u z y v v z 12422 )3)(24(6 yxyxyxx )3l n ()3(4 222422 yxyx yx 1 vvu y2 uu v ln 2 例 4. ,sin,),( 2222 yxzezyxfu zyx y u x u ,求 解 : x u 2222 zyxex yxyxeyxx 2422 si n22 )si n21(2 zyx yx u y u 2222 zyxey yxyxeyyxy 2422 sin4 )c oss in(2 x f x z z f 2222 zyxez y f yzzf 222 zyxez yxsin2 yx co s2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1 zyxzyxf 例 5. 设 f 具有一阶连续偏导数 , ,),( zyxzyxfw 求 .xw 解 : 令 , zyxvzyxu x w w vu zyx zyx ),( vufw 11f zyf 2 ),(2 zyxzyxfy 则 21, ff 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的全微分 设函数 ),(,),(,),( yxvyxuvufz 的全微分为 y y zx x zz ddd xxvvzxuuz d)( yyvvzyuuz d)( u z v z u z 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量 , )dd( yyuxxu )dd( yyvxxv 则复合函数 ) (fz ),(,),( yxyx ud v z vd 都可微 , 其全微分表达 形式都一样 , 这性质叫做 全微分形式不变性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 设 ,si n yxvyxuvez u .dz求 )c os ( )si n( yxyxe yx 例 1 . ,s in yxvyxuvez u ., yzxz 求 解 : ) (dd z uveu dsi n )c o s ()s in ( yxyxye yx )c o s ()s i n ( yxyxyexz yx )co s ()s i n( yxyxxeyz yx 所以 veu sin vveu dc os )c o s( )s i n ( yxyxe yx )(d yx )(d yx )cos ()si n( yxyxxe yx )d(d yx xd yd )dd( yxxy 8.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理 1. 设函数 ),( 00 yxP),( yxF ;0),( 00 yxF 则方程 00),( xyxF 在点 单值连续函数 y = f (x) , ,)( 00 xfy 并有连续 y x F F x y d d (隐函数求导公式 ) 定理证明从略， 仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数 ; 的 某邻域内 可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ,0),( 00 yxFy 满足条件 导数 0)(,( xfxF 两边对 x 求导 0dd xyyFxF y x F F x y d d 0yF ,0),()( 所确定的隐函数为方程设 yxFxfy 在 ),( 00 yx 的某邻域内 则 若 F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续 , 2 2 d d x y 2 yF 3 22 2 y xyyyxyxyxx F FFFFFFF y x F F x y d d )( y x F F y 2 yF 二阶导数 : )( y x F F x x y xxydd 则还可求隐函数的 xxyyxx FFFF xyyyy FFFF )( y x F F 例 4. 求由方程 0 xxey y 解法一 令 所确定的 y是 x的函数的 导数 . ),( yxF xxey y x F y F yxe11 ye y x F F x y d d y y xe e 1 1 y y xe e 1 1 解法二 方程两边对 x 求导 01)dd(dd xyxeexy yy xydd y y xe e 1 1 定理 2 . 若函数 ),( 000 zyxP ),( zyxF z y z x F F y z F F x z , 的某邻域内具有 连续偏导数 ; 则方程 0),( zyxF 在点 ),( 00 yx 并有连续偏导数 ,),( 000 yxfz定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略 , 仅就求导公式推导如下 : 满足 ;0),( 000 zyxF ,0),( 000 zyxFz 在点 满足 : 某一邻域内可唯一确 0),(,( yxfyxF 两边对 x 求偏导 xF z x F F x z z y F F y z 同样可得 ,0),(),( 所确定的隐函数是方程设 zyxFyxfz 则 zF x z 0 0),( 000 zFzyx 的某邻域内在 例 5. 设 ,04222 zzyx 解法 1 利用隐函数求导 0422 x z x zzx zx z 2 2 2 z x x z 2 2 2)(2 xz 2 2 2 x zz 04 2 2 x z 2)(1 x z 3 22 )2( )2( z xz .2 2 x z 求 再对 x 求导 解法 2 利用公式 设 zzyxzyxF 4),( 222 则 ,2xFx z x F F x z 两边对 x 求偏导 )2(2 2 z x xx z 2)2( )2( z x z xz 3 22 )2( )2( z xz 2 z x z x 2 42 zFz 内容小结 0),( yxF y x F F x y d d 0),( zyxF 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘 , 分叉用加 , 单路全导 , 叉路偏导” 例如 , ,),(,),( yxvvyxfu u vyx yx xu 1f 3f ;1 y u 2f 3f 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 隐函数求导 (1) (2) , z x F F x z z y F F y z 时 , 时 , 作业 P117 1(2),(6); 8; 9; 10; 17； 18.