图形变换的矩阵方法.ppt

1 第四章 图形变换的矩阵方法 1 概述 2 二维图形变换 3 三维图形变换 本章小结 2 mnmm n n xxx xxx xxx 21 22221 11211 该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说， 我们可以用 矩阵来描述（表示）空间中的图形 。 1 概述 一、空间图形的矩阵表示 若用一个行向量 x1 x2 xn 表示 n维空间中一个点 坐标，那么 n维空间中 m个点坐标就可以表示为一个向量 集合： 3 对于二维空间，用 表示图形 ( 其中 xi yi是顶点坐标） 。 nn yx yx yx 22 11 例：如图所示的 ABC，用矩阵表示为 13 33 11 C B A C(3,1) A (1,1) B (3,3) 二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。 图形变换的实质是 改变图形的各个顶点的坐标 。 4 因此，图形变换可以 通过对表示图形坐标的矩阵进 行运算来实现 ，称为 矩阵变换法 。 矩阵变换法的一般形式： 坐标矩阵 图形顶点 原来的 矩阵 变换 = 坐标矩阵 图形顶点 变换后的 本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三 维图形的各种变换。 5 2 二维图形变换 分为两类：二维基本变换，二维组合变换。 二维基本变换 ：比例变换（缩放）、对称变换、错切 变换、旋转变换、平移变换。 二维组合变换 ：由多种基本变换组合而成的变换。 一、二维基本变换 矩阵变换法的形式为： 2 22 11 nnn yx yx yx 22 dc ba = 2 22 11 nnn yx yx yx 6 通过对变换矩阵 T 中各元素的不同取值，可以实现 各种不同的二维基本变换。 比例变换（缩放变换） 变换矩阵： d a T 0 0 设二维平面的一个点坐标为 x y，对其进行矩阵变 换： dybxcyax dc ba yx dybxy cyaxx变换后该点的坐标为： 7 dyax d a yx 0 0 dyy axx即 比例变换（缩放变换） 其中， a为 x方向的缩放因子， d为 y方向的缩放因子。 根据 a、 d取值的不同，分为几种情况： 当 a=d，图形沿 x方向和 y方向等比例缩放 当 a=d1，图形沿 x、 y方向等比例放大 A B C 例：设 ABC对应的矩阵为 12 21 00 C B A 设 20 02T C B A C B A 24 42 00 20 02 12 21 00 ，对 ABC进行变换： A B C 8 byax d a yx 0 0 dyy axx即 比例变换（缩放变换） 当 a=d，图形沿 x方向和 y方向等比例缩放 当 a=d1，图形沿 x、 y方向等比例放大 当 0a=d1，图形沿 x、 y方向等比例放大 当 0a=d0，沿 x方向错切（移动）； cy0，沿 y方向错切（移动）； bx0，沿 y方向错切（移动）； b=0即 bx=0，不错切（恒等变换）。 22 错切变换（可以理解为沿某个方向的移动） 包括两种：沿 x方向错切，沿 y方向的错切。 沿 y方向错切 例：设矩形 ABCD对应的矩阵为 11 11 01 01 D C B A 设 T中的 b 2，对矩形 ABCD 进行变换： D C B A D C B A 31 11 21 21 10 21 11 11 01 01 D A B C , 10 1 bT变换矩阵 ,bxyxbyx 10 1 bxyy xx即 A B C D 23 D A B C A B C D 错切变换（可以理解为沿某个方向的移动） 包括两种：沿 x方向错切，沿 y方向的错切。 沿 y方向错切 变换特点： 变换后点的 x坐标不变， y坐 标平移了 bx； 平行于 y轴的直线变换后仍平 行于 y轴； 平行于 x轴的直线变换后， x=0的点不动 (不动点 )， x0的点沿 y 方向平移了 bx，形成与 x轴夹角为 的直线，且 tg bx / x b。 , 10 1 bT变换矩阵 ,bxyxbyx 10 1 bxyy xx即 bx x 24 旋转 变换 二维图形的旋转，一般是指图形绕 坐标原点 的旋转。 并规定：逆时针方向旋转时角度 取正值； 顺时针方向旋转时角度 取负值。 c o ss in s inc o sT变换矩阵 c o ss i ns i nc o sc o ss i n s i nc o s yxyxyx c o ss in s inc o s yxy yxx 注意： 绕 非原点 的任意一点的旋转变换属于组合变换。 25 旋转 变换 二维图形的旋转，一般是指图形绕 坐标原点 的旋转。 并规定：逆时针方向旋转时角度 取正值； 顺时针方向旋转时角度 取负值。 设 =30 8 6 6050 508 6 60 3030 3030 . . c o ss i n s i nc o sT c o ss in s inc o sT变换矩阵 例：设矩形 ABCD对应的矩阵为 510 512 02 00 . . D C B A A B C D D A B C 旋转变换后的矩阵为 D C B A . . . 2991750 29929820 17321 00 26 对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四 种基本变换进行小结： 变换矩阵的一般形式为 dc baT d aT 0 0 比例变换 当 a=d，图形等比例缩放 对称变换 对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换 对坐标原点的对称变换 当 ad，图形畸变 10 01Tx :轴 10 01Ty :轴 01 10Txy : 01 10Txy : 10 01T 27 对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四 种基本变换进行小结： 变换矩阵的一般形式为 dc baT 错切变换 沿 x方向错切 旋转变换 1 01 cT 10 1 bT c o ss in s inc o sT 沿 y方向错切 28 （五）齐次坐标表示法和平移变换 1. 齐次坐标表示法 在变换矩阵 的条件下，讨论了 平面图形的比例、 对称和旋转变换 ，为何没有 讨论图形的 平移变换 呢？原因 是 T 不具备对图形进行平移变换的功能。 欲想实现平面图形的平移，那么图形上任意一点的坐 标，平移前后的必须满足： 22T myy lxx 29 从矩阵的乘法可知，要想得到 myy lxx 那么，平移变换应具有如下形式： 令： ， ，则有 1,0 bc 1 da ml dc ba yx mdybxlcyax 为了得到 myy lxx 30 mylx ml yx 10 01 1 由上可知，把向量 x y 改写为 x y 1，就可进行平移 变换了。 在此将 x y 1 称为平面坐标点 x y的齐次坐标表示法。 一般情况下： 用 n+1维向量表示 n维向量，第 n+1个分量取 为常数（齐次项）的表示方法为齐次坐标表示法。 标准化齐次坐标表示法： 若齐次项为 1，则为标准化齐 次坐标表示法。 31 变换矩阵 ， 其中 l、 m为平移参数 。 ml T 10 01 2.平移变换 对任意一点 x y 1，则 x y 1 =x+l y+m （注意：形式上与 x y 1并不统一）。 一般将变换矩阵扩充为 T3 3，使其具备更多的功能， 它的一般形式为： ml 10 01 32 sml qdc pba T 33 (比例 、 对称 、 错切和旋转变换 ) (透视变换 ) (全比例变 换 ) (平移变换 ) 相应的平移矩阵： 1 010 001 33 ml T 1 1 010 001 1 mylx ml yx ， 引入 后，不仅增加了功能，而且使变换前后的坐标 形式统一。 33T 33 如果坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示，应将其化 为标 准齐次坐标表示。方法是所有项都除以齐次项 。如： 1 00 010 001 1 s y s x syx s yx 由此可知，当： s s s 1 1 (全比例缩小 )； (全比例放大 )； (缩至原点 )。 34 二、二维组合变换 在图形变换中，往往需要一些比基本变换更复杂的变 换。我们称 由多个二维基本变换组成的复杂变换为二维组 合变换 （二维基本变换的级联）。 已经证明： 任何二维组合变换均可分解为多个基本变 换的乘积 。 二维组合变换矩阵 T T1 T2 Tm（ Ti 是基本变 换矩阵，具不可交换性）。由此可知，进行二维组合变换 的关键问题是求 T（ m个基本变换矩阵）。 下面通过两个例子介绍组合变换： 绕坐标原点以外的任意一点 P(x0 y0)旋转 角的旋转 变换 35 绕坐标原点以外的任意一点 P(x0 y0)旋转 角的旋转 变换 可分解为： P(x0 y0) A B C D A B C D 平移变换 使旋转中心 P平移到坐 标原点。 1 010 001 00 1 yx T P(0 0) A B C D A B C D 旋转变换 绕坐标原点旋转 角。 100 0 0 2 c o ss in s inc o s T 36 绕坐标原点以外的任意一点 P(x0 y0)旋转 角的旋转 变换 可分解为： P(x0 y0) A B C D 平移变换 使旋转中心 P回到原来 的位置。 1 010 001 00 3 yx T P(0 0) A B C D 组合变换矩阵 T T1 T2 T3 A B C D 111 0 0 0000 )c o s(s i ns i n)c o s( c o ss i n s i nc o s yxyx T 37 2. 对任意直线的对称变换 设直线方程为： Ax By C 0 (A0， B0)，直线在 x轴上的截距为 C / A，在 y轴上的截距为 C / B , 直线与 x轴的夹角 = arctg( A / B) 。 可分解为： 平移变换 沿 x轴方向平移 C / A，使直 线通过坐标原点。 A B C o x y A B C C / B C / A 10 010 001 1 AC T / 38 旋转变换 绕坐标原点旋转 -角，使直线与 x轴重合。 100 0 0 2 )c o s ()s in ( )s in ()c o s ( T 对 x轴进行对称变换 100 010 001 3T 旋转变换 绕坐标原点旋转 +角。 100 0 0 4 c o ss in s inc o s T 39 平移变换 沿 x方向平移 C / A，使直线回到原位置。 10 010 001 5 AC T / 因此， 对任意直线的对称变换矩阵 T T1 T2 T3 T4 T5，即： 12s i n)12( c os 02c os2s i n 02s i n2c os A C A C T 40 二维组合变换 1. 绕坐标原点以外的任意一点的旋转变换。 2. 对任意直线的对称变换。 注意： 1. 二维组合变换可分解为多个二维基本变换，组合变 换矩阵是基本变换矩阵的乘积； 2. 分解时，使用的基本变换类型及其组合顺序并不唯 一。 41 snml rjih qfed pcba T 44 3 三维图形变换 三维图形变换是二维图形变换在三维空间中的扩展， 因此，它和二维图形变换类似。 仿照二维图形变换，用 四维齐次坐标 x y z 1表示三 维空间的点 x y z，其变换形式为： 三维基本变换 （ 比例 、 对称 、 错切 、 旋转 ） 透视变换 平移变换 全比例变换 11 44 zyxTzyx 42 一、三维基本变换 1. 比例变换 1000 000 000 000 44 j e a T 11 44 jzeyaxTzyx 当 a=e=j1， 各向等比例缩放 a=e=j=1， 恒等变换 aej， 各向缩放比例不同 ， 产生形变 (畸变 ) 0s1，全比例缩小 ; s0）。 1-2 对 yoz平面投影 x y z 1-2 对 yoz平面投影 最终 图形 旋转平移前 x y z 65 zz y lyx 0 因此侧视投影的变换矩阵为： 100 0100 0001 0000 100 0100 0010 0001 1000 0100 0001 0010 1000 0100 0010 0000 ll T 侧视 yoz投影变换 绕 z旋转 90o 沿 x平移变换 11 zyxTzyx 侧视 66 ， 俯视投影 视点位于物体的正上方， 向 xoy坐标平面 进行投影。 各点的 z坐标变为 0 ， x、 y坐标不变 。 考虑绘图时的统一性， 将图形绘在同一个坐标平面 上，作如下处理： 1-3对 xoy平面投影 x y z 将 xoy平面上的俯视图绕 x轴旋转 -90度。 为了与 xoz平面上已有的图形保持一定的间距，再 沿 z轴平移 -n（ n0）。 67 nyz y xx 0 100 0000 0100 0001 100 0100 0010 0001 1000 0010 0100 0001 1000 0000 0010 0001 nn T 俯视 xoy投影变换 绕 x旋转 -90o 沿 z平移变换 因此俯视投影的变换矩阵为： 11 zyxTzyx 侧视 68 投 影 平行投影 透视投影 一点透视 两点透视 三点透视 斜平行投影 斜轴侧 斜二轴侧 斜等轴侧 正平行投影 正轴侧投影 正投影 (正视、侧视、俯视 ) 正三轴侧 正等轴侧 正二轴侧 69 2. 轴测投影变换 使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上 称为轴侧投影。 包括 正轴侧投影 和 斜轴侧投影 两种方式。 正轴测投影变换 该变换是使物体 先绕 z 轴旋转 角 ， 再绕 x轴旋转 - (0 )角 ， 最后向 xoz平面投影 。因此，其变换矩阵为三个 基本变换矩阵的乘积： 1000 0100 0000 0001 1000 00 00 0001 1000 0100 00 00 c o ss i n s i nc o sc o ss i n s i nc o s 正T 绕 z轴旋转 绕 x轴旋转 向 xoz面投影 70 1000 000 00 00 c o s s i nc o ss i n s i ns i nc o s 正T 例：设 、 ，对单位立方体进行正轴测投影 变换。 o60 o30 1111 1011 1101 1001 1110 1010 1100 1000 H G F E D C B A S 单位正方体各 顶点齐次坐标 矩阵： x y z A B C D E F G H 71 1000 08 66000 025008 660 04 330050 . . . 正T H G F E D C B A . . . . . . . 1183003660 1683003660 14330050 14330050 1616008660 125008660 1866000 1000 S x y A B C D E F G H z A 单位立方体正轴测投影 x B z C D G E F H 72 x y A B C D E F G H z A 单位立方体正轴测投影 x B z C D G E F H 轴侧投影的图形会产生形变， 形变程度用变形系数衡量。 各轴的 轴向变形系数 如下： 222 s i ns i nc os AE EAx 222 s i nc oss i n AC CAy c os AB BAz 根据轴向变形系数之间的关系， 轴侧投影可分为 等轴侧 、 二轴侧 等 投影方式。 73 222 s ins inc o s x 222 s inc o ss in y co sz 正等轴测投影： 由 x=y=z 可求得 = 45o、 = 35o16，代入正轴 测投影变换矩阵 T正 ，得： 当 x=y=z 时 1000 081 6000 040 80070 70 040 80070 70 . . . 正等 T x y A B C D E F G H z 单位立方体正等轴测投影 x z 74 222 s ins inc o s x 222 s inc o ss in y co sz 正二轴测投影： 由 x=2y=z 可求得 = 20o42、 = 19o28，代入正 轴测投影变换矩阵 T正 ，得： 当 x=2y=z 时 10000 00 094 30000 00 031 20035 40 011 80093 50 . . . . 正二T x y A B C D E F G H z 单位立方体正二轴测投影 x z o 75 2. 轴测投影变换 正轴测投影变换 斜轴测投影变换 如何将正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平 面上呢？ 该变换是使物体 先沿 x含 y错切 ， 再沿 z含 y错切 ， 最后 向 xoz平面投影 。因此，其变换矩阵也是三个基本变换矩 阵的乘积： 错切含沿 斜 yx d T 1000 0100 001 0001 错切含沿 yz f 1000 0100 010 0001 1000 0100 00 0001 fd 面投影向 xoz 1000 0100 0000 0001 76 在变换矩阵 T 斜 中，当 d、 f 取不同的值时可得到各种 不同的斜轴侧透视图： 同样，斜轴侧投影的图形也会产生形变。各轴的 轴向 变形系数 如下： 221 fdyzx , 根据轴向变形系数之间的关系，斜轴侧投影也可分为 斜等轴侧 、 斜二轴侧 (常用形式 )等投影方式。 （ a） d=1， f=1；（ b） d=1， f=-1；（ c） d=-1， f=-1；（ d） d=-1， f=1 77 221 fdyzx , 斜二轴测投影： 由 x=2y=z 可求得 d = f = 0.354，代入斜轴测投 影变换矩阵 T斜 ，得： 当 x=2y=z 时 1000 0100 03 54003 540 0001 . 斜 T 78 投 影 平行投影 透视投影 一点透视 两点透视 三点透视 斜平行投影 斜轴侧 斜二轴侧 斜等轴侧 正平行投影 正轴侧投影 正投影 (正视、侧视、俯视 ) 正三轴侧 正等轴侧 正二轴侧 79 3. 透视投影变换 对于一个空间物体，若用轴测投影，物体的平行边投 影后仍然保持平行，这与人的视觉是有差异的。 为解决视觉差异，提出透视投影。 透视投影后物体的平行边不一定保持平行，这些不平 行的边延长后将汇聚于一点，称之为 灭点 。 根据灭点的个数，透视投影可分为 一点透视、二点透 视、三点透视 。 一点透视投影变换 先对物体作透视变换 ， 然后向 xoz平面投影 。变换矩 阵为： 80 透视变换 1000 0100 010 0001 1 q T 其中： q 灭点到投影面垂直距离的倒数。 q0，灭点位于物体内侧。 为符合人们的视觉习惯，一般取 q0。 一点透视投影变换 先对物体作透视变换 ， 然后向 xoz平面投影 。变换矩 阵为： 面投影向 xoz 1000 0100 0000 0001 1000 0100 000 0001 q 81 另外，在画透视图时，若物体的空间位置不足以反映 物体的空间形态，常常 先把物体平移到合适的位置 ， 然后 再进行投影变换 。 这时，一点透视的变换矩阵为： 透视投影内外侧灭点 灭点 ( q0) 82 平移变换 1 0100 0010 0001 1 nml T 例：取 l = 1， m = -1， n = -2， q = -0.35，对单位立方体 作一点透视投影。 351201 0100 350000 0001 1 . . T 1011 1111 1101 1001 1010 1110 1100 1000 8 7 6 5 4 3 2 1 一点透视投影 1000 0100 000 0001 q 平移下的一点透视投影 10 0100 000 0001 mqnl q 1 2 3 4 5 6 7 8 单位立方体 一点透视投影图 x z o 83 两点透视投影变换 先使物体绕 z轴旋转 角 ， 并考虑物体的平移 ， 最后作 一点透视投影 。因此，二点透视投影的变换矩阵为： 角轴旋转绕 z T 1000 0100 00 00 2 c o ss in s inc o s 平移变换 1 0100 0010 0001 nml 一点透视投影 1000 0100 000 0001 q )( c o ss i n s i nc o s 0 10 0100 00 00 q mqnl q q 一般取 84 例：设 = 30o， l = 0， m = -1.5， n = -1.2， q = -0.6，画 单位立方体的两点透视图。 )( c o ss i n s i nc o s 0 10 0100 00 00 2 q mqnl q q T 一般取 8 单位立方体的两点透视图 7 6 5 4 3 2 1 x z o 85 三点透视投影变换矩阵 先使物体绕 z轴旋转 角 ， 再绕 x轴旋转 角 ， 平移后作 一点透视投影 。因此，三点透视投影的变换矩阵为： 角轴旋转绕 z T 1000 0100 00 00 3 c o ss in s inc o s 10 00 0 0 mqnl q q q s i nc o s s i nc o ss i nc o ss i n c o ss i nc o ss i nc o s 角轴旋转绕 x 1000 00 00 0001 c o ss in s inc o s 平移变换 1 0100 0010 0001 nml 一点透视投影 1000 0100 000 0001 q 86 例：设 =50o , =20o , l = 0 , m = n = -1.5 , q = -0.58,画 单位立方体的三点透视投影图。 10 00 0 0 3 mqnl q q q T s i nc o s s i nc o ss i nc o ss i n c o ss i nc o ss i nc o s 单位立方体的三点透视图 1 2 3 4 7 8 5 6 87 本章小结 二维和三维图形的图形变换方法 注：参数曲线的图形变换有专门的方法。 二维图形变换 基本变换 比例变换 对称变换 （对原点、对坐标轴、对直线） 错切变换 （沿 x轴、沿 y轴） 旋转变换 （ 指绕坐标原点的旋转 ） 平移变换 组合变换 88 三维图形变换 基本变换 比例变换 错切变换 ：沿 x轴 (含 y , 含 z)、沿 y轴 (含 x , 含 z)、 沿 z轴 (含 x , 含 y)。 对称变换 ：对原点、对坐标轴、对坐标平面。 旋转变换 ： 指绕坐标轴的旋转 平移变换 组合变换 投影变换 89 三维图形变换 基本变换 组合变换 投影变换 正投影变换 ：正视、侧视、俯视。 轴侧投影变换 ：正轴侧投影 (正等轴侧 , 正二抽 测、斜轴侧投影 (斜二轴侧 )。 透视投影变换 ：一点透视、二点透视、三点透 视