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初中数学几何总复习 黄店镇中九年级数学组 图形的初步认识 多姿多彩的图形 直线、射线、线段 角 生活中的立体图形 立体图形的三视图 立体图形的展开图 点、线、面、体 直线 射线 线段 线段的长短比较 角的表示 角度的转化 角的比较 角的平分线 线段的长短比较 余角、补角 方位角 几 何 图 形 平 面 图 形 立 体 图 形 从不同方向看 立体图形 展开立体图形 平面图形 线段，射线，直线 角 余角补角 角的度量 角的大小比较 角平 分 线 两点确定 一条直线 两点之间 线段最短 按柱、锥、球划分 (1) (2) 是一类，是柱体 (3)（ 4）是锥体 (5) 是球体 柱体 锥体 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 四棱柱 六棱柱 五棱柱 三棱柱 四棱锥 五棱锥 六棱锥 三棱锥 四面体 六面体 八面体 多面体 可以按面数来分类，如下列图形中： 若围成立体图形的面是 平的面 ，这样的立体图形又称为 多面体 认 识 多 面 体 著名的欧拉公式： V+F-E=2 画立体图形 观察 立体图 三视图 主视图 左视图 俯视图 例 1： 画出以下立体图形的三视立体图形 图 正方体 长方体 四棱锥 三棱柱 三棱柱 五棱锥 归纳： 正方体 的表面展开图 有以下 11种。你能看 出有什么规律吗？ 一 四 一 型 二 三 一 型 阶 梯 型 当将这个图案折起来组成 一个正方体时，数字 _会与数 字 2所在的平面相对的平面上。 6 1 2 3 4 5 3 点和线 A 点 A 用一个大写字母表示。 线 线段 直线 射线 学会区分没有 直线、射线、线段的比较 名称 直线 射线 线段 图形 a A B l O C l A B 表示法 线段 AB 、线段 BA、线段 a 射线 OC、 射线 l 直线 AB、直线 BA、直线 l 延伸性 无 沿 OC方向 延伸 向两方无限 延伸 端点个数 2 1 0 作图叙述 连接 AB 以点 O为端点作射线 OC 过 A、 B两点作直线 AB 下面的知识点你掌握了吗？ 知识点 1：线段 (1)线段的概念 :它是直线的一部分 ,它的 长度是有限的 ,它有两个端点 . (2)线段的表示方法 :可用它的两个端点 的大写字母或用一个小写字母来表示 . (3)线段的画法 :可用直尺先量出线段的 长度 ,再画一条等于这个长度的线段 . (4)线段的基本性质 :两点之间线段最短 . (5)两点间的距离 :连结两点的线段的长度 , 叫做这两点间的距离 . (6)线段的特点 :有两个端点 ,不能向任何 一方伸展 ,可以度量 ,可以比较长短 . 下面的知识点你掌握了吗？ 知识点 2：射线 (1)射线的概念 :把线段向一方无限延伸 所形成的图形叫做射线 . (2)射线的表示方法 :可用两个大写字母 表示 ,第一个大写字母表示它的端点 ; 也可用一个小写字母表示 . (3)射线的特点 :只有一个端点 ,向一方无 限延伸 ,无法度量 ,不能比较长短 . 知识点 3:直线 (1)直线的概念 :把线段向两方无限延 伸所形成的图形 . (2)直线的表示方法 :可用这条直线上 的两个点表示 ,也可以用一个小写字母 表示 . (3)直线的基本性质 :经过两点有一条 直线 ,并且只有一条直线 . (4)直线的特点 :没有端点 ,向两方无限 延伸 ,不可度量 ,不能比较大小 . 你能解决下列问题吗？ 1、图中共有几条线段？几条射线？几 条直线？能用字母表示出来的分别用 字母表示出来。 A B C 2、判断下列说法是否正确： （ 1）延长射线 OA；（ 2）直线比射线长， 射线比线段长；（ 3）直线 AB和直线 CD相 交于点 m；（ 4） A、 B两点间的距离就是连 结 A、 B两点间的线段。 3.用一个钉子把一根细木条钉在木板上 , 用手拨木条 ,木条能转动 ,这表明 _ ;用两个钉子把 细木条钉在木板上 ,就能固定细木条 ,这 说明 _。 4.如图所示 ,一只蚂蚁要从 圆柱体 A点沿表面尽可能 地爬到 B点 ,因为那里有它 的食物 ,而它饿得快不行 了 ,怎么爬行路线最短 ? A B 过一点有无数条直线 两点确定一条直线 5.计算 (1)如图 ,A、 B、 C、 D是直线 l上顺 次四点，且线段 AC=5， BD=4， 则线段 AB-CD=_. A B C D l (2)如图， AC=8cm， CB=6cm,如果 O是线 段 AB的中点，求线段 OC的长度。 A B C O 1 1cm （ 3）已知 AB=16cm， C是 AB上一点，且 AC=10cm， D为 AC的中点， E是 BC的中 点，求线段 DE的长。 (5)已知线段 AC和线段 BC在同一直线上， 若 AC=5.6cm,BC=2.4cm.求线段 AC的中 点与线段 BC中点之间的距离。 8cm 4cm或 1.6cm 探究一、有关距离问题 1.如图 ,在一条笔直的公路 a两侧 ,分别有 A、 B两个村庄 ,现要在公路 a上建一个 汽车站 C,使汽车站到 A、 B两村距离之 和最小 ,问汽车站 C的位置应该如何确 定 ? a A B 2.平原上有 A、 B、 C、 D四个村庄 ,如图 所示 ,为解决当地缺水问题 ,政府准备 投资修建一个蓄水池 ,不考虑其他因 素 ,请你画图确定蓄水池 H的位置 ,使 它与四个村庄的距离之和最小 . A B C D 3.如图 ,蚂蚁在圆锥底边的点 A处 , 它想绕圆锥爬行一周后回到点 A处 , 你能画出它爬行的最短路线吗 ? A (4).如图所示 ,洋河酒厂有三个住宅区 A、 B、 C各分别住有职工 30人、 15人、 10 人 ,且这三个区在酒家大道上 (A、 B、 C) 三点共线 ,已知 AB=100米 ,BC=200米 .为 了方便职工上下班 ,该厂的接送车打算 在此间只设一个停靠点 ,为使所有的人 步行到停靠点的路程之和最小 ,那么该 停靠点的位置应设在 _区 . A B C 探究二 :画一画，数一数，再找规律 1.在平面内有 n个点 (n3), 其中没有任 何三个点在一条直线上 ,如果过任意两 点画一条直线 ,这 n个点可以画多少条 直线 ? 2.一条直线将平面分成两部分 ,两条直 线将平面分成四部分 ,那么三条直线将 平面最多分成几部分 ?四条直线将平面 最多分成几部分 ?n条直线呢 ? n(n-1)/2 (n2+n+2)/2 7部分， 11部分， 1.度量法 2.叠合法 用尺规法作一条线段等于已知线段。 3.线段中点的定义和简单作法。 A C B ABCBAC 2 1 或 AB=2AC=2CB 用 一 个大写字母表示 点 ， 用 二 个大写字母表示 线 ， 用 三 个大写字母表示 角 ， C A B ABC o O 1 1 角度的转化： 1 =60 1 =60 1 =3600 角度的加减： 1.同种形式相加减； 2.度加 （ 减 ） 度；分加 （ 减 ） 分； 秒加 （ 减 ） 秒 3.超 60进一；减一成 60 2 叠合法 1 度量法 ABC=DEF ABCDEF 用尺规法作一个角等于已知角。 角的平分线 1、定义：一条射线把一个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个 角的平分线 2、几何语言表达： OC是 AOB的平分线 O A B C 1 2 1 2 AOB 或 AOB 2 1 角的特殊关系 2、 与 互补， 是 的补角， 是 的补角 18 1、 与 互余， 是 的余 角， 是 的余角 ）两个角成对出现 ）只考虑数量关系，与位置无关 结论 : 同角 (等角 )的余角（补角）相等。 方向角： 1、方位角是以正南、正北方向为基 准，描述物体的运动方向。 2、北偏东 45 通常叫做东北方向， 北偏西 45 通常叫做西北方向， 南偏东 45 通常叫做东南方向， 南偏西 45 通常叫做西南方向。 3、方位角在航行、测绘等实际生活 中的应用十分广泛。 60 东 西 南 北 练习： 画出表示下列方向的射线： （ 1）北偏西 30 （ 2）北偏东 50 （ 3）西南方向 O A 经过两点 有一条直线 并且 只有 一条直线。 我们可以用下列方式表示直线： 表示 ： 用两个大写英文字 母表示， 直线 AB(或直线 BA) A B l 表示 ： 用一个小写英文字母表示 ， 直线 l O A 表示 ： 用两个大写 字母表示，必须端点写 在前，射线上另一个字 母写在后， 射线 OA 。 l 用一个小写字母 表示， 射线 l A B 表示 ：用两个端点的大 写字母表示 线段 AB(或 线段 BA) a 表示 ：用一个小写字 母表示 ， 线段 a 1、线段的性质：两点之间的所有连线中，线 段最短。 2、连接两点之间线段的长度叫做这两点之间 的距离。 3、线段中点的定义和运用。 4、比较线段大小的方法：叠合法和度量法。 角 是由两条具有 公共端点 的 射线 组 成的图形 。 公共端点 顶点 射线 射线 边 边 角也可以看做一条射线绕端点旋转所 组成的图形。 角的表示方法 O A B O O 1 记作： AOB 或 BOA 或 O 记作 记作 1 O A B A 1 O 1 B 1 用尺规画角 你能利用圆规“造出”一个量角器 吗？ 你能利用圆规“卡出”点 吗？ 用尺规画角 O A B C D G E F H 圆规的作用 ： “ 造出 ” 一个量角 器 ; “ 卡出 ” 角的大 小 . 直尺的作用 ： 画射线 O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 有关概念： 邻补角： 如果两个角有 一条公共边，它们的另 一边互为反向延长线， 那么这两个角互为邻补 角。 对顶角： 如果一个角的 两边是另一个角的两边 的反向延长线，那么这 两个角互为对顶角。 两条直线相交有且只有一个交点 A B C D O 1 2 3 ( ( 对顶角相等 邻补角互补 1.相等的角不一定是对顶角 2.邻补角之和等于 180 ，它们的 位置相邻，数量上互补。 对顶角的性质 : 定义 ：当两条直线相交所成的四个 角中 ， 有一个角是 直角 时 ， 就说这 两条直线互相垂直 ， 其中一条直线 叫做另一条直线的 垂线 （ 直线 ） ， 它们的交点叫做 垂足 直线 AB 、 CD 互 相 垂 直 ， 记作 “ AB CD”或 “ CD AB”， 读作 “ AB垂直于 CD”， 如果垂足为 O， 记作 “ AB CD， 垂足为 O ”（ 如 图 ） 点到直线的距离 如图，过点 A作 l的垂线，垂足为 B点。 l A . . B 线段 AB的 长度 叫做 点 A到直线 l的距 离 。 (垂线段 ) 两 条 直 线 相 交 一 般 情 况 垂线 对顶角：相等 邻补角：互补 垂线的存在 性和唯一性 特殊 情况 相交成 直角 垂线的性质： 1.过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直 . 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短或说成垂线段最短 一 .平行线的定义： 在 同一平面内 ， 不相交 的两条直 线叫做平行线。 结论：在同一平面内，两直线的位置 关系有平行与相交两种。 经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行（平行公理） 平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行 几何语言表达： c b a a/b(如果两条直线都 和第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行 ） a/c , c/b(已知） 判定两条直线平行的方法： 方法： 同 位角相 等 ， 两 直线平 行 方法： 内 错角相 等 ， 两 直线平 行 方法： 同 旁内角互 补 ， 两 直线平 行 方法 4：如果 两 条直线都与第 三 条直线平 行 ，那么这两条直线也 互相 平 行 . 性质： 两 直线平 行 ， 同 位角相 等 性质： 两 直线平 行 ， 内 错角相 等 性质： 两 直线平 行 ， 同 旁内角互 补 a b c 1 2 3 4 平行线的性质： 余角、补角的概念： 余角、补角的性质： （ 1） 和为 90 的两个角称互为余角； （ 2） 和为 180 的两个角称互为补角； （ 1） 同角或等角的余角相等； （ 2） 同角或等角的补角相等； 今天我们学了什么？ 1+ 2=90 1+ 2=180 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 互 余 互 补 数量 关系 对 应 图 形 性 质 2 1 1 2 两条平行直线被第三条直线直线所截， 同位角相等， 两直线平行 两直线平行，同位角相等。 判定定理 性质定理 条件 结论 条件 结论 内错角相等， 两直线平行 两直线平行，内错角相等。 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 判断正确或者错误的句子叫做 命题 ， 正确的命题称为 真 命题 ， 错误的命题称为 假 命题 。 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出 任何判断，那么它就不是命题。 例如： （ 1）你喜欢数学吗？ （ 2）做线段 AB=CD 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是 假命题？ 1、羊有四只脚； 2、三角形两边之和大于第三边； 3、画一条曲线； 4、四边形都是菱形； 5、你的作业做完了吗？ 6、同位角相等，两直线平行； 7、对顶角相等； 8、多边形的内角和等于 180度； 9、过点 P做线段 MN的垂线。 是 真命题 不是 是 真 命题 是 假 命题 不是 是 真 命题 是 真 命题 是 假 命题 不是 命题是由 题设 （或条件）和 结论 两 部分组成 题设 是已知事项， 结论 是由已 知事项推出的事项 用 “ 如果 ” 开始的部分 是题设 ，用 “ 那么 ” 开始的部分 是结论 例如， “ 两个三角形的三条边相等 ” 是题设 ， “ 两个三角形全等 ” 是结论。 命题一般都写成 “如果 , 那么 ” 的形式。你能在下面的命题都 写成 “如果 , 那么 ” 的形式 吗 ? (1)熊猫没有翅膀； (2)对顶角相等； 如果 这个动物是熊猫， 那么 它就没有 翅膀。 如果 两个角是对顶角， 那么 它们就 相等。 命题一般都写成 “如果 , 那么 ” 的形式。你能在下面的命题都 写成 “如果 , 那么 ” 的形式 吗 ? (3)全等三角形的对应边相等； 如果 两个三角形全等， 那么 它们的 对应边就相等。 (4)平行四边形的对边相等； 如果 一个四边形是平行四边形， 那 么 它的对边就相等。 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期 实践 中总结 出来的，并把它们作为判断其他命题 真假的原始依据，这样的 真命题叫做 公理 。 有些命题可以从公理或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的， 并且可以进一步作为判断其他命题真假 的依据，这样的 真命题叫做 定理 “ 全等三角形的对应角、对应边 分别相等 ” “ 直角三角形的两个锐角互余 ” 公理 定理 知识结构 相交线 平面 内 直 线 的 位 置 关 系 平行线 两条直线相交 两条直线被第 三条直线所截 邻补角 对顶角 对顶角 相等 垂线及 其性质 点到直 线距离 同位角 内错角 同旁内角 平行公理 平 移 条件 性 质 三线八角 A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 同位角是： 1和 8； 2和 7； 3和 6； 4和 5. 内错角是： 1和 6； 2和 5. 同旁内角是： 1和 5； 2和 6. 一、知识回顾 平行线的判定： 1、同位角相等，两直线平行。 2、内错角相等，两直线平行。 3、同旁内角互补，两直线平行。 4、平行于同一条直线的两条直线平行。 （平行线的传递性） 5、垂直于同一条直线的两条直 线平行。 一、知识回顾 平行线的性质： 1、两直线平行，同位角相等。 2、两直线平行，内错角相等。 3、两直线平行，同旁内角互补。 1. 如图 ,直线 EF过点 A, D是 BA延长线上的 点 ,具备什么条件时 ,可以判定 EF BC ? 为什么 ? B C E F D A 4、如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边 互相平行，则这两个角（ ） (A)相等 (B)互补 (C)相等或互余 (D)相等或互补 5、下列说法中，错误的是（ ） (A)两直线平行，同位角的平分线互相平行 (B)两直线平行，内错角的平分线互相平行 (C)两直线平行，同旁内角的平分线互相平行 (D)两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直 二、填空 1、（ 1） 1的余角为 28 ，则 1= 度； （ 2） 一个角等于它的余角，则这个角的度数是 _； （ 3） 一个角比它的余角的 2倍大 120，则这个角的 度数为 ； 2、如图 1， 3与 4是 角； 1与 3是 角； 3与 5是 角； 3与 7是 角。 3、如图 2，是由两个相同的直角三角形 ABC和 FDE拼成的， 则图中与 A相等的角有 个，分别是 ； 1与 A关系是 ； 2与 1的关系是 ； 如图 8， 4、 ACB与 1是两条直线 和 被第三条直线 所截，构成的 角； A与 1是两条直线 和 被直线 所截的， 构成的 角； 2和 ACD是两条直线 和 被直线 所截， 构成的 角； B和 BDE是两条直线 和 被直线 所截， 构成的 角。 二、问题研讨 3.如图，不能判别 AB CD的条件是（ ） A. B+ BCD=180 B. 1= 2 C. 3= 4 D. B= 5 4.如图，已知 AOB是一条直线， OM平分 BOC， ON 平分 AOC，则图中互补的角有几对？ 则其中互余的角有几对？ N M C BOA 5 4 3 2 1 E D CB A B 3对 4对 1、命题：对顶角相等；垂直于同一条 直线的两直线平行；相等的角是对顶角； 同位角相等，其中假命题有（ ） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 一、选择题： 1.如图，已知： 1= 2， 1= B， 求证： AB EF， DE BC。 证明：由 1= 2 （已知）， 根据： . 得 AB EF. 又由 1= B（ ） . 根据：同位角相等，两直线平行 得 . F A E D C B 1 2 内错角相等，两直线平行 已知 DE BC 2.如图， 已知： 1+ 2=180 ， 求证： AB CD. 证明：由： 1+2=180 (已知 )， 1=3 （对顶角相等） . 2=4 （ ） 根据：等量代换 得： 3+ =180 . 根据：同旁内角互补，两直线平行 得： . 4 1 2 3 A B C E F D 对顶角相等 4 AB CD 3.如图， 已知： DAF= AFE， ADC+ DCB=180 ，求证： EF BC 证明：由： DAF= AFE （ ） 根据： . 得： AD . 由： ADC+ =180 （已知） . 根据： . 得： AD . 再根据： . 得： EF BC A D B C F E 已知 内错角相等，两直线平行 EF DCB 同旁内角互补，两直线平行 BC 平行于同一直线的两条直线互相平行 4.如图， 已知： 2= 3， 1+ 3=180 ， 求证： EF GH. 证明：由： 2= 3 （已知） 1+ 3=180 （ ） 根据： . 得： 1+ 2=180 . 根据： . 得： 。 2 3 1 A B C D E F G H 已知 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 EF GH 5.如图， 已知： 1= 2， BD平分 ABC， 试说明 AD BC. 证明：由 BD平分 ABC（已知）， 根据： . 得： 2= 3. 又由： 2= 1（已知） 根据： . 得： 3= . 根据：内错角相等，两直线平行 . 得： . B A C D 1 2 3 角平分线定义 等量代换 1 AD BC 6.如图， 已知： AB CD， AE BD， 试说明 ABD= E. 证明：由 （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 得： ABD= . 由 AE BD（ ） . 根据： . 得 BDC= E . 再根据：等量代换 得： = . A B C E D AB CD BDC 已知 两直线平行，同位角相等 ABD E 7.如图， 已知： AC DE， 1= 2， 试说明 AB CD. 证明：由 AC DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 . 得 ACD= . 又由 1= 2（已知） . 根据： . 得 1= ACD . 再根据： . 得 . A D B E 1 2 C 2 等量代换 内错角相等，两直线平行 AB CD 8.如图，已知： AB CD， 1=55 2=80 ， 求 3的度数 . 1 2 3 A B C E F D 9.如图，已知： AB CD， A=70 DHE=70 ,求证： AM EF F M E A B C D H G 10、推理填空，如图 B； AB CD（）； DGF； CD EF（）； AB EF； B 180 （）； 11、如图： （ 1） EFAB ，（已知） 1= （ ）； （ 2） 3= （已知） ABEF （ ）； （ 3） A= （已知） ACDF （ ）； （ 4） 2+ =1800（已知） DEBC （ ）； （ 5） AC DF（已知） 2= （ ）； （ 6） EF AB（已知） FCA+ =1800（ ）； B A D C 12、 如图 ， 已知 A与 D互补 ， 可以判定哪两直线平行 ？ B与哪 个角互补 ， 可以判定直线 AD BC ？ 2 1 E D C A B 3 4 13、 如图 ， 由下列条件可以判定图 中哪两条直线平行 ， 说明理由 。 （ 1） 若 1= B， 则 AD _ BC （ 3） 若 1= D， 则 AB _ （ 4） 若 2+ 3+ B=180 ， 则 _ _ （ 2） 若 3= 4， 则 BC _ AD CD AD BC 14、已知：如图， AB DE， 1= 2，则 AE与 DC平行吗？完成下列推理，并把每一步的依据填 写在后面的括号内 证明： AB DE （已知） 1= AED（ ） 1= 2 （已知） = （ ） AE DC（ ） 两直线平行，内错角相等 AED 等量代换 内错角相等，两直线平行 15、如图： （ 1） EFAB ，（已知） 1= （ ） ； （ 2） 3= （已知） ABEF （ ）； （ 3） A= （已知） ACDF （ ）； （ 4） 2+ =1800（已知） DEBC （ ）； （ 5） AC DF（已知） 2= （ ）； （ 6） EF AB（已知） FCA+ =1800（ ）； 16、已知，如图， BCE、 AFE是直线， AB CD， 1= 2， 3= 4。 求证： AD BE。 F 4 E 3 2 1 D CB A 证明： AB CD（已知） 4= （ ） 3= 4（已知） 3= （ ） 1= 2（已知） 1+ CAF= 2+ CAF（ ） 即 = 3= （ ） AD BE（ ） 17、如图： （ 1） EFAB ，（已知） 1= （ ）； （ 2） 3= （已知） ABEF （ ）； （ 3） A= （已知） ACDF （ ）； （ 4） 2+ =1800（已知） DEBC （ ）； （ 5） AC DF（已知） 2= （ ）； （ 6） EF AB（已知） FCA+ =1800（ ）； 18、已知，如图， BCE、 AFE是直线， AB CD， 1= 2， 3= 4。 求证： AD BE。 证明： AB CD（已知） 4= （ ） 3= 4（已知） 3= （ ） 1= 2（已知） 1+ CAF= 2+ CAF（ ） 即 = 3= （ ） AD BE（ ） F 4 E 3 2 1 D CB A (1). （ 2006年东莞） 能由 AOB平移而得的 图形是哪个？ A B C D E F O （ 2）（ 2006年四川省广安市）如图， AB CD， 若 ABE=120o DCE=35o，则 BEC =_ A B E C D 中考题我能行 ! 二、问题研讨 1.在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交 、 平行 或垂直 2.三条直线两两相交，当三条直线相交于一点时， 对顶角的对数为 m，当三条直线不相交于一点时， 对顶角的对数为 n，则 m与 n的关系是（ ） A.m n B.m=n C.m n D.无法确定 c B 3、如图 ,已知 ABCD, 则下列结论正确的是 ( ） 1= 2; 3= 6; 4+ 7=180 ; 5+ 8=180 A. 1个； 个； 个； 个 8 7 6 5 4 3 2 1 F E D C B A G 5 4 3 21 F ED C B A 4、如图 ,要得到 DE BC,则需要满足的条件 是 ( ) A. 2+ 5=180 ;B. 3+ 5=180 ; C. 2= 4; D. 1= 2. 5、如图所示，要使 AB CD，只需 要添加一个条件，这个条件 是 .(填一个你认为正确的条 件即可 ) 6、如图所示， DE BC， DF AC，则图中与 C 相等的角有 个 . 命 题 定义 结构 形式 真假 能够把一个命题写成” 如果 那 么 的形式 判断一件事情的语句，叫做 命题 题设、结论 “如果 那么 ” 命题 （ 1）同角的补角相等； （ 2）等角的余角相等； （ 3）互补的角是邻补角； （ 4）对顶角相等； 7.说出下列命题的题设与结论： 课堂练习 1、下列命题是真命题的有（ ） A、相等的角是对顶角 B、不是对顶角的角不相等 C、对顶角必相等 D、有公共顶点的角是对顶角 E 、 邻补角的和一定是 180度 F、 互补的两个角一定是邻补角 G、 两条直线相交 ,只要其中一个角的大小确定 了那么另外三个角的大小就确定了 C、 E、 G 8.下列说法正确的有 ( ) 对顶角相等 ; 相等的角是对顶角 ; 若 两个角不相等 ,则这两个角一定不是对顶角 ; 若两个角不是对顶角 ,则这两个角不相等 . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图 OA OC， OB OD， 且 BOC ，则 AOD=_ B 1800- A B C D O 9.如图，已知 AB CD，直线 EF分别交 AB、 CD 于点 E 、 F， BEF的平分线与 DFE的平分线 相交于点 P，你能说明 P的度数吗？为什么？ P F E DC BA 10、如图 ,已知 AD BC,EF BC, 1= 2.求 证 :DG BA. 11、如图，已知 1= 2， C= D， 求证： A= F 4 F 3 2 1 ED C B A 12、如图， AB CD， EF平分 GFD， GF 交 AB与 M， GMA=52 ，求 BEF的度数。 M F G E DC BA 13、如图，已知 1= 2， BAD= BCD， 则下列结论 (1)AB/CD； (2)AD/BC； (3) B= D； (4) D= ACB。 其中正确的有（ ） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 A B C D 1 2 G 5 4 3 21 F ED C B A 14、如图 ,要得到 DE BC,则需要满足的条件 是 ( ) A. 2+ 5=180 ;B. 3+ 5=180 ; C. 2= 4; D. 1= 2. 15.如图 ,是一个经过改造的台球桌面的示意图 ,图中 ,四个角上的阴影部分分别表示四个入球 孔 ,如果一个球按图中所示的方向被击出 (球经 过多次反射 ),那么球最后将落入的球袋是 ( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 16.如图，在长方形 ABCD中， ADB 20 ， 现将这一长方形纸片沿 AF折叠，若使 AB BD， 则折痕 AF与 AB的夹角 BAF应为多少度？ B D F CB A 17.如图，已知 DE、 BF分别平分 ADC 和 ABC， 1 =2 ， ADC= ABC 说明 ABCD 的理 由。 F E D C BA 21 18、如图，已知 1+ 2=180 ， 3= B，试 判断 AED与 C的大小关系，并对结论进行说 理。 4 3 2 1 F ED CB A 19、求证：两条平行线被第三条直线所截， 内错角的平分线互相平行。 HG F E DC BA 20、已知：如图 D、 E、 F分别是 BC、 CA、 AB上的点， DE BA， DF CA 求证： FDE= A F E D CB A 解答题： 1、如图， BCDE ，小颖用量角器分别画出 ABC、 ADE的角平分线 BG、 DH，想一想，小颖所画的这 两条射线 BG和 DH会平行吗？为什么？ G H P G H 2、如图，已知 1= 2， C= D， 求证： A= F 4 F 3 2 1 ED C B A 3、如图， AB CD， EF平分 GFD， GF交 AB与 M， GMA=52 ，求 BEF的度数。 M F G E DC BA 4、已知： ABCD 。试探索 A、 C与 AEC之间的关系； B、 D与 BFD之间的关系。 A B C D E F 几 何 之 旅 1 2 3 4 l 5、 AB CD，分别探讨下面四个图形中 APC与 PAB， PCD的关系，并请 你从所得四个关系式中任意选一个说明 理由 . 6、如图，折线 APB是夹在两平行线 a和 b之 间的一条折线 . (1)试探求 与 、 之间的关系； (2)试改变问题中的某些条件时，又有怎样的 结论呢？ 7、（ 1） 如图， AD BC， 试问 2与 1、 3的 关系是什么？为什么？ 3 2 1 D CB A 5 4 3 2 1 D CB A 7 6 5 4 3 2 1 D CB A （ 3）如图 ， AD BC，你又有什么发现？ （ 2）如图， AD BC， 试问 2+ 4与 1+ 3 + 5哪个大？为什么？ 8、已知 AB DC， B=80 ， D=140 ，求 BCD的度数。 E D C B A 9如图 AB CD， 1=140， 2=90，则 3的度数是 ( ) A 40 B 45 C 50 D 60 3 1 2E DC BA 10已知，如图， AB CD，则 、 、 之 间的关系为（ ） A 360 B 180 C 180 D 180 A B C D E 2、已知 AOB及两边上的点 M、 N（如图） 请用尺规分别过点 M、 N作 OB、 OA的平行线， 不写作法，保留作图痕迹。 尺规作图： 3、辨析与比较： 如图，是两块相同的三角尺拼接成的一个 图形，请找出图中互相平行的边。 A1 B C D A C1 A B C D BA1C= DC1A AB CD AC1B= DA1C A1D BC1 若其中一块三角尺沿着重合的边向下滑动 （如图所示），原来平行的边还平行吗？ 你知道其中的道理吗？ A B C D E 1 F 2 4、操作与解释： 数学课上有这样一道题： “ 如图，以 点 B为顶点 ,射线 BC为一边，利用尺规作 EBC，使得 EBC=A ， EB与 AD一定平 行吗？ ” 。小王说 “ 一定平行 ” ；而 小 李说 “不 一定平行 ” 。你更赞同谁的观 点？ 5、探索与思考： 1.有一条直的等宽纸带，按如图所 示折叠时， 1=30 求纸带重叠 部分中 CAB的度数。 A B C 1 2 3 4 E F 8、如图，已知 1+ 2=180 ， 3= B，试判 断 AED与 C的大小关系，并对结论进行说理。 4 3 2 1 F ED CB A 三角形的性质 （ 1）边的性质： 三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 （ 2）角的性质： 三角形三内角和等于 180度 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角之和 辨一辨： 1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成 三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能” ) （ 1） 3， 4， 5（ ） （ 2） 8， 7， 15（ ） （ 3） 13， 12， 20（ ） （ 4） 5， 5， 11（ ） 不能 不能 能 能 直角三角形 钝角三角形 2、三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形； 直角三角形；钝角三角形。根据下列条件判断它们 是什么三角形？ （ 1）三个内角的度数是 1:2:3（ ） （ 2）两个内角是 50 和 30 （ ） c 3、三角形的两边长分别是 3和 5，第三边 a的取值范围（ ） A、 2a 8 B、 2 a8 C、 2 a 8 D、 2a8 4、以下各组线段，能组成三角形的是（ ） A.2cm,2cm,4cm B.3cm,6cm,8cm C.2cm,3cm,6cm D.4cm,6cm,11cm B 5、在 ABC中，若 A=54 ， B=36 ，则 ABC是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 C 6、如图 ,在 ABC， A=75 B=45 则 ACD=_ 120 。 （第 8题） （第 9题） 8、如上图， 1=60 ， D=20 ，则 A= 度 9、如上图， ADBC ， 1=40 ， 2=30 ， 则 B= 度， C= 度 A B C D E1 A B C D 1 2 7或 9 100 50 60 7、一个三角形的两边长分别是 3和 8，而第三边长 为奇数，那么第三边长是 _ A C O B l CA=CB l点 C在 上 5、 是线段 AB的垂直平分线， l 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等 。 1、三角形的中线的概念 2、三角形的角平分线的概念 3、三角形的高线的概念 4、线段的垂直平分线的概念 A B C P PB=PC PB AB,PC AC, 、 点 P是 BAC的平分线上的 一点且 角平分线上点到角两边距离相等 . 2、如图 ,CE,CF分别是 ABC的 内角平分线和外角平分线 , 则 ECF的度数 =_度 . B C D F E A 3. 在 ABC中， AD是 BC边上的中线，已知 AC=3， ABD 和 ACD的周长的差是 2，你能求出 AB的长吗？ 练一练 : 90 1或 5 1、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形 的是（ ） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、边上的中垂线 A p A B C D E5、如图，在 ABC中， BD平分 ABC， CE 是 AB边上的高， BD， CE交于点 P。已知 ABC=600， ACB=700, 求 ACE， BDC 的度数。 400 800 A B C E D F 4.如图， AD、 BF都是 ABC的 高线，若 CAD=30度，则 CBF=_度。 30 6、如图在 ABC， C=90 ， BD平分 ABC，交 AC 于 D。若 DC=3，则点 D到 AB的距离是 _。 E 3 7、如图， ABC中 ,DE垂直平分， AE= cm, ABD的周长是 9cm,则 ABC的周长是 _. A B C D E 15 cm 8、如图，已知 ABC中， B=45 ， C=75 ， AD是 BC边上的高， AE是 BAC的平分线，则 DAE= ； A B D CE 150 9、如图， BE、 CF是 ABC 的角平分线， A=40 求 BOC度数 1100 改变条件： 1、如图， BE、 CF是 ABC 的外角平分线， A=40 求 BOC度数 F B C O E A 700 B C O E F D A 2、如图， BE、 CF分别是 ABC 的内角与外角平 分线， A=40 求 BOC度数 200 全等图形： 全等三角形： 基础知识 能够完全重合的两个图形 能够完全重合的两个三角形 三角形全等的判定方法 （ 1）边边边（ SSS） （ 2）边角边（ SAS） 三边对应相等的两个三角形全等 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （ 3）角边角（ ASA） 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （ 4）角角边（ AAS） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 全等三角形的 对应边 相等； 全等三角形的 对应角 相等； 全等三角形的 对应线段 相等； 全等三角形的 面积 相等。 全等三角形的性质： 平移类 旋转类 翻转类 综合类 A B C D 1、如图，已知 AC=DB， ACB=DBC ，则有 ABC ，理由是 ， 且有 ABC= ， AB= ； 2、如图，已知 AD平分 BAC， 要使 ABD ACD， 根据“ SAS” 需要添加条件 ； 根据“ ASA” 需要添加条件 ； 根据“ AAS” 需要添加条件 ； A B C D DCB SAS DCB DC AB=AC BDA=CDA B=C 3、判断题： （ 1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全 等 .（ ） （ 2）有三角对应相等的两个三角形全等。 （ ） （ 3）成轴对称的两个三角形全等。（ ） （ 4）面积相等的两个三角形全等。 （ ） （ 5）含有 60 角的两个直角三角形全等。 （ ） 4、如图 ,已知 AC平分 BCD,要说明 ABC ADC,还 需要增加一个什么条件 ?请说明理由。 D C A B 或 BAC= DAC BC=CD 或 B= D 5、如图，在 ABC中， AB=AC， E、 F分 别为 AB、 AC上的点，且 AE=AF， BF与 CE 相交于点 O。 A O F E B C （ 1）图中有哪些全等的三角形？ EBC FCB（ SSS） EBO FCO（ AAS） （ 2）图中有哪些相等的线段？ （ 3）图中有哪些相等的角？ 6、 如图 1， 点 D在 AB上 ， 点 E在 AC上 ， CD 与 BE相交于点 O， 且 AD=AE， AB=AC。 若 B=200 ， CD=5cm ， 则 C=_ ， BE=_ D C B A E O 图 1 D CB A O 图 2 7、如图 2，若 OB=OD， A=C ，若 AB=3cm,则 CD=_ 8、已知：如图， CD AB， BE AC，垂足分 别为 D、 E， BE、 CD相交于 O点， 1=2 ， 图中全等的三角形共有 ( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 D 20 5cm 3cm O D B E C A 1 2 阅读下题及其说理过程： 已知：如图，是 中边上的中点， ，说明 的理由。 解：在和中 A B C D E 问：上面说理过程是否正确？若正确，请写出每一步 的推理根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出 你认为正确的推理过程 例 1、 已知如图， AB AC， AO平分 BAC，请说明 (1) ABO ACO；（ 2） DO EO的理由 . A B C O D E 1 2 3 4 解 （ 1） AO平分 BAC 1=2 （已知） （角平分线定义） 在 ABO和 ACO中 AB=AC AO=AO （已知） （公共边） ABO ACO （ SAS） （ 2） ABO ACO B=C OB=0C （全等三角形的对应角、 对应边相等） 1=2 在 BOD和 COE中 3= 4 OB=0C B=C （对顶角相等） BOD COE （ ASA） DO=EO （全等三角形的 对应边相等） 例 2、 如图， AD是 ABC的高，且 AD平分 BAC， 请指出 B与 C的关系，并说明理由 。 A B C D 解： 是的高 平分 在 和 中， C B D E CBD ABE A CB = AB S S BD=BE A CBD = ABE EBD -EBC = ABC -EBC EBD = ABC = 60 例 3、 如图，已知 : ABC和 BDE是等边三角形， D在 AE的延长线上。求证： CBD ABE A B C D E 变式 1、 如图，已知： ABC和 BDE是等边 三角形， D在 AE的延 长线上。 求证： BD + DC = AD A C D E B CBD ABE CBA+ DBA = EBD+ DBA CBA= EBD= 60 CB= AB DB = EB CBD= ABE 变式 2、 如图，已知：点 C、 B、 E在同一条 直线上， ABC和 BDE是等边三角形。 求证： CBD ABE A C D E B G H 变式 3、 如图，已知 ABC和 DEB等边三角 形 。 C， B， E在一条直线上 求证： BG = BH。 例 4、 如图，在 AFD和 BEC中，点 A、 E、 F、 C 在同一直线上，有下列四个论断： AD=CB， AE=CF， B D， A C.请 用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学 问题，并写出解答过程。 A B C D E F B A F C D E 1、如图 ,已知 AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明 EFD=BCA 的理由。 2、如图， 1=2 ， AB=CD， AC与 BD相交于 点 O，则图中必定全等的三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 6对 A O D C B 1 2 C 巩固练习： A C B O D 3.如图 :AC和 DB相交于点 O,若 AB=DC， AC=DB， 则 B=C, 请说明理由 . （提示：连结 AD） 4.如图 ,在 ABC中 , AD是 BAC的角平分线， DE是 ABD的高线， C=90 度。若 DE=2， BD=3，求线段 BC的长。 B D E A C 5、如下图，已知 ABC中， DE是 BC边上的中垂 线，若 AC=5， EC=2， ADC的周长是 13，求 ABC的周长。 A B C D E 6、如上图， EF是 AB的中垂线，分别延长 BE、 AE至 D， C，使 DE=CE，则 AD与 BC相等吗 ? 请说明 理由。 A B C D E F A B C D E 7、如下图，已知 AD是 ABC的中线， CE是 ADC 的中线，若 ABC的面积是 8，求 DEC的面积。 8、如上图， ABC中，点 D是 BC上的一点，点 E 是 AD上的一点，若 BD:CD=2:3， DE:AE=1:4， ABC的面积是 8，求 DEC的面积。 A B C D E 要想知道一个池塘的两 岸上最远两点之间的距 离，没有船，且不能直 接去测量。如果只用绳 子和尺子，怎样才能测 出它们之间的距离呢？ 它们之间有多远 呢？ 方案设计 A B A B C E D ABC DEC（ SAS） AB = DE 在 ABC与 DEC中， AC = DC ACB= DCE BC = EC 先在地上取一个可以直接 到达 A点和 B点的点 C，连 接 AC并延长到 D，使 CD=AC；连接 BC并延长 到 E，使 CE=CB，连接 DE 并测量出它的长度， DE的 长度就是 A， B间的距离。 方 案 一 ACD CAB(SAS) AB CD 方 案 二 B C A D 1 2 1=2 AD=CB AC=CA 解 :连结 AC，由 ADCB ，可得 1 2 在 ACD与 CAB中 如图，先作三角形 ABC,再找一点 D，使 ADBC ，并使 AD=BC， 连结 CD，量 CD的长 即得 AB的长 方 案 三 如图，找一点 D，使 ADBD ，延长 AD至 C， 使 CD=AD，连结 BC，量 BC的长即得 AB的长。 B A D C 解 : 在 Rt ADB与 Rt CDB中 ADB CDB(SAS) BA = BC BD=BD ADB= CDB CD=AD 1、已知钝角 ABC，求作： （ 1） AC边上的中线； （ 2） C的角平分线； （ 3） BC边上的高。 A B C 作图类： 2、已知线段 a、 b、 c，作 ABC，使 AB=c， AC=b， BC=a。 a c b 3、已知线段 a、 b、 ，作 ABC，使 AB=a， AC=b， A= 。 a b 4、已知线段 a、 、 ，作 ABC，使 AB=a， A= ， A= 。 a 1.成比例线段 若 四条线段 a、 b、 c、 d 中，如果 （或 a： b=c： d） ，那么这四条线段 a、 b、 c 、 d 叫做 成比例 线段 ，简称 比例线段 . a c b d = 其中 a、 b、 c、 d 叫做组成比例的 项 ； 线段 a、 d 叫做比例 外项 ； 线段 b、 c 叫做比例 内项 。 2、比例的性质： bc ad d c b a 基本性质： 合比性质： a c a b c d b d b d 等比性质： . . . . . . 0 , . . . a c e m b d f n b d f n a c e m a b d f n b 若 且 那 么 6 1、若 a, b, c, d成比例 ,且 a=2, b=3, c=4,那么 d= 2、下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. 2， 3， 4， 1 B. 1.5， 2.5， 6.5， 4.5 C. 1.1， 2.2， 3.3， 4.4 D. 1， 2， 2， 4 3、 (1)若 x： (x+1)=(1-x)： 3，求 x。 (2)若 ， 求 。 (3) 若 ，求 ， - 2x 3y y x 1 2 y x a+b b 6 5 a b a-b b , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ . x y z x y z x y z y x y z - - 4 则 3 7 9 3 4 4 1- 19 7 : : , _ _ _ _ _ _ _ . x y y x x y y xy - 22 22 5 已 知 43 23 则 5 11 3.比例中项： _ _ _ _ . ( ) , ( ) _ _ _ _ . cm cm 23 ， 23 两 数 的 比 例 中 项 是 两 线 段 23 23 的 比 例 中 项 是 + - + - 1 cm1 当两个 比例内项相等 时， 即 a b b c = ， (或 a： b=b： c)， 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的 比例中项 . 2 ac b 即： 4、黄金分割： A B A C A B B C 把 一 条 线 段 （ ） 分 成 两 条 线 段 ， 使 其 中 较 长 线 段 （ ） 是 原 线 段 （ ） 与 较 短 线 段 （ ） 的 比 例 中 项 ， 就 叫 做 把 这 条 线 段 黄 金 分 割 。 ,AC AB BC AC AB-=?2 51即 ： 2 A C B ( ) , _ _ _ _ . C A B A C AB 若 是 线 段 的 黄 金 分 割 点 ， 较 长 线 段 2 5 1 则 =- =4 2.相似三角形的性质 对应边成比例，对应角相等 对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比 对应周长的比等于相似比 对应面积的比等于相似比的平方 方法 2:如果一个三角形的两角分别与另一个三 角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 . A= A， B= B ABC ABC B C A B C A 两个三角形相似的判定方法 : 方法 1：通过定义（不常用） 三个角对应相等三边对应成比例 DE BC ADE ABC D E A C B A B C D E 方法 3：如果一个三角形的 两条边 与另一个三角 形的 两条边对应成比例 ，并且 夹角相等 ，那么 这两个三角形相似 。 A B C A B C AA CA AC BA AB , ABC ABC 两个三角形相似的判定方法 : A B C C B A A B B C A B B C A C AC 方法 4： 如果两个三角形的三组对应边的比 相等 ,那么这两个三角形相似 . ABC ABC A B C O D E 三角形。请找出题中所有的相似 、已知，如图， ,1 ACAEABAD 2、下列图形一定相似的有 哪几个 （ ） A、邻边对应成比例的两个平行四边形； B、有一条边相等的两个矩形； C、有一个角相等的两个菱形； D、都含有 100 的两个等腰三角形。 ADC AEB DBO ECO C、 D 33, 5 A P A BP A B P B P B、 已 知 是 直 线 上 一 点 ， 且 则 等 于 。
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