[高考数学]1994年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案文

1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.总分值150分.考试时间120分钟.第一卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题；第110题每题4分，第1115题每题5分，共65分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) (1) 设全集I=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，3，集合B=2，3，4，那么=( )(A) 0(B) 0，1(C) 0，1，4(D) 0，1，2，3，4(2) 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )(A) (0，+)(B) (0，2)(C) (1，+)(D) (0，1)(3) 点(0，5)到直线y=2x的距离是( )(A) (B) (C) (D) (4) 设是第二象限的角，那么必有( )(A) (B) (C) (D) (5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )(A) 511个(B) 512个(C) 1023个(D) 1024个(6) 在以下函数中，以为周期的函数是( )(A) y=sin2x+cos4x(B) y=sin2xcos4x(C) y=sin2x+cos2x(D) y=sin2xcos2x(7) 正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，那么其体积为( )(A) 32(B) 28(C) 24(D) 20(8) 设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2=90，那么F1PF2的面积是( )(A) 1(B) (C) 2(D) (9) 如果复数Z满足|Z+i|+|Zi|=2，那么|Z+i+1|最小值是( )(A) 1(B) (C) 2(D) (10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承当，乙、丙各需1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法共有( )(A) 1260种(B) 2025种(C) 2520种(D) 5040种(11) 对于直线m、n和平面、，的一个充分条件是( )(A) mn，m，n(B) mn，=m，n(C) mn，n，m(D) mn，m，n(12) 设函数f(x)=1(1x0)，那么函数y= f1(x)的图像是( )(13) 过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，那么球面面积是( )(A) (B) (C) 4(D) (14) 如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线=对称，那么a=( )(A) (B) (C) 1(D) 1(15) 定义在(，+)上的任意函数f(x)都可表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果f(x)=lg(10x+1)，x(，+)，那么( )(A) g(x)=x，h(x)=lg(10x +10x +2)(B) g(x)=lg(10x +1)+x h(x)=lg(10x +1)x(C) g(x)= ，h(x)=lg(10x +1)(D) g(x)=，h(x)=lg(10x +1)+第二卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题，共6个空格：每空格4分，共24分.把答案填在题中横线上)(16) 在(3x)7的展开式中，x5的系数是_(用数字作答) (17) 抛物线y2=84x的准线方程是_，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是_(18) sin+cos=，(0，)，那么ctg的值是_(19) 设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥项点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，那么该圆锥的体积为_(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据.我们规定所测量的“量佳近似值a是这样一个量：与其他近似值比拟，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1，a2，an推出的a=_三、解答题(本大题共5小题，共61分；解容许写出文字说明、证明过程或推演步骤)(21) (本小题总分值11分)求函数的最小值.(22) (本小题总分值12分)以知函数f(x)=logax(a0且a1，xR+)，假设x1，x2R+，判断与的大小，并加以证明.(23) (本小题总分值12分)如图，A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中点.(1) 证明AB1平面DBC1；(2) 假设AB1BC1，BC=2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长.(24) (本小题总分值12分)直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.(25)本小题总分值14分设数列an的前n项和为Sn，假设对于所有的自然数n，都有，证明an是等差数列.1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一、选择题(此题考查根本知识和根本运算)1C 2D 3B 4A 5B 6D 7B 8A 9A 10C 11C 12B 13D 14D 15C二、填空题(此题考查根本知识和根本运算.每空格4分，共24分)16189 17x=3，(x2)2+y2=1 18 1920三、解答题21本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，总分值11分.解：因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=(cos2xcos4x)sin2x+(cos2x+cos4x)cos2x4分=(sin2x+cos2x)cos2x+(cos2xsin2x)cos4x=(cos2x+cos2xcos4x)6分=cos2x(1+cos4x)=cos32x8分所以=cos2x+sin2x=sin(2x+).当sin(2x+)=1时，y取最小值.11分22本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.总分值12分.解：f(x1)+(x2)=logax1+ logax2=loga(x1x2) x1，x2R+， x1x2(当且仅当x1= x2时取“=号).2分当a1时，有loga(x1x2)loga5分 loga(x1x2)loga，( logax1+ logax2)loga，即f(x1)+f(x2) f(当且仅当x1= x2时取“=号)7分当0a0.2分因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|21.4分设点M的坐标为(x，y)，那么5分整理得(21)(x2+y2 )42x+(1+42)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程. 8分当=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点(，0)，当1时，方程化为(x)2+y2=它表示圆，该圆圆心的坐标为(，0)，半径为12分25本小题考查等差数列的根底知识，数学归纳法及推理论证能力.总分值14分.证法一：令d=a2a1.下面用数学归纳法证明an=a1+(n1)d(nN).(1)当n=1时上述等式为恒等式a1= a1.当n=2时，a1+(21)d= a1+( a2a1)= a2，等式成立.5分(2)假设当n=k(k2)时命题成立，ak=a1+(k1)d.由题设，有Sk=，Sk+1=，又Sk+1= Sk +ak+1(k+1) 9分把ak = a1+(k1)d代入上式，得(k+1)( a1+ ak+1)=2ka1+k(k1)d+2ak+1.整理得(k1)ak+1=(k1)a1+k(k1)d. k2， ak+1= a1+kd.即当n=k+1时等式成立.由(1)和(2)，等式对所有的自然数n成立，从而an是等差数列14分证法二：当n2时，由题设，.所以an= SnSn1= 6分同理有an+1= .8分从而an+1an=n(a1+an)+ ，12分整理得 an+1an= anan1= a2a1从而an是等差数列.14分