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功 第二课时 一、功的概念 1.定义：物体受到力的作用，并在 力方向上 发生一段 位移，就说力对物体做了功 . 2.公式： W=Fscos，其中 为 F与 s的夹角， F是力的大 小， s一般 是物体相对地面的位移，而不是相对于和它 接触的物体的位移 . 3.应用中的注意点 公式 只 适用于 恒力 做功 F和 S是对应同一个物体的； 恒力做功多少只与、及二者夹角余弦有关，而 与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都 无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力 做功也无关。 4.物理意义：功是能量转化的量度 . 5.单位：焦耳 (J) 1J=1Nm. 6.功是标量，没有方向、但是有正负 ,正负表示能量转 化的方向 .表示物体是输入了能量还是输出了能量 . 当 0 90 时 W 0，力对物体做正功； 若物体做直线运动，由 力和位移夹角 来判断较方便。 当 =90时 W=0，力对物体不做功； 当 90 180 时， W 0，力对物体做负功或 说成物体克服这个力做功 . 若物体做曲线运动，利用 力和速度的夹角来判断做。 时，力对物体做正功； 时，力对物体不做功。 时，力对物体做负功（或物 体克服力做功）。 7.合力的功 有两种方法： （ 1）先求出合力，然后求总功，表达式为 c osSFW （ 为合力与位移方向的夹角） （ 2）合力的功等于各分力所做功的代数和，即 21 WWW 例 1.重 30N的物体在大小为 20N、方向与地面成 30 角的拉力作用下沿光滑水平面前进 3m，则合 外力对物体做了 J的功 . 30 3 练习 1.在光滑的水平面和粗糙的水平面上各放一质量 不同的木块，在相同的拉力作用下，通过相同的位移， 拉力对木块做的功 ( ) A.在光滑的水平面上较多 B.在粗糙的水平面上较多 C.一样多 D.由小车运动所需的时间决定 C 例 2、质量为 m的物块放在光滑的水平面上 ,绳的一端 固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成 角、 大小为 F的力拉物块，如图示，将物块由 A点拉至 B点， 前进 S，求外力对物体所做的总功有多大？ F A B s 解一：注意 W=FS cos中的 S应是力的作用点的位移 , 当物体向右移动 s 时，力 F的作用点既有水平位移 S， 又有沿绳向的位移 S，合位移为 S合 ， F A s s S合 S合 =2S cos/2 W=F S合 cos/2 =FS(1+cos) 解二：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上 的两个力做功的代数和 F F W=FS+FS cos =FS（ 1+cos) A B F2 F1 练习 2. 如图所示，物体受到二 个水平恒力 F1 和 F2相 作用， F1和 F2互垂直，物体沿光滑水平面从 A点运动到 B点的过程中，位移为 S， AB连线与 F1间的夹角为 ， 则下面关于外力做的功的表达式一定正确的是： （ ） (A) (B) (F1+F2) S (C) F1Scos + F2Ssin (D) F1Ssin + F2Scos sFF 2221 为合外力与位移的夹角 注意： 合外力是矢量，本题的合外力 与位移的夹角 难以确定，并不等于 （若 vA=0时才等于 ） c osSFW 用总功等于各力做功的代数和求之 C 二 .变力做功 对于变力做功不能依定义式 cosFsW 直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。 1.可用（ 微元法 ） 无限分小法 来求 , 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。 2.平均力法 ： 若变力大小随位移是 线性 变化，且 方向不变 时，可 将变力的平均值求出后用公式 c o s 2 c o s 21 sFFsFW 计算。如弹簧的弹力做功就可以用此法计算。 3.利用图像 ，图线与坐标轴所包围的面 积即是力做功的数值。 4.已知变力做功的平均功率，则功 。 5.用 动能定理 进行求解： 由动能定理 可知，将变力的功转换为物 体动能的变化量，可将问题轻易解决。 6.用 功能关系 进行求解。 例 3 一辆马车在力 F=100N的作用下绕半径为 50m的 圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位 置时，车子克服阻力所做的功为多少 ？ 解： 阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不 能直接由功的公式计算。 采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小 段中，力可以看作恒力，于是 Wf = fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 = fs= Fs = 100 2R= 3.14 104 J W克 = Wf= 3.14 104 J 用平均力法 .铁锤每次做功都用来克服铁钉阻 力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正 比， F=-f=kx，可用平均阻力来代替 . 如图 (a) 例 4. 用铁锤将一铁钉击入木块 ， 设木块对铁钉的阻 力与铁钉进入木块内的深度成正比 .在铁锤击第一 次时 ， 能把铁钉击入木块内 1cm， 问击第二次时 ， 能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等 ) 解一： x1 x2 (a) 第一次击入深度为 x1，平均阻力 F1= 1/2 kx1， 做功为 W1= F1 x1=1/2 kx21. 第二次击入深度为 x1到 x2， 平均阻力 F2=1/2 k(x2+x1), 位移为 x2-x1， 做功为 W2= F2(x2-x1)=1/2 k(x22-x21). 两次做功相等： W1=W2. 2解后有： x2 x1=1.41cm. x=x 2-x1=0.41cm. 解二：用图像法 因为阻力 F=kx,以 F为纵坐标， F方向上的位移 x为横 坐标，作出 F-x图像，如图 (b)， x F 0 x1 x2 kx1 kx2 (b) 曲线下面积的值等于 F对铁钉做的功 . S1 = S2 (面积 )，即： 1/2 kx21=1/2 k(x2+x1)(x2-x1)， 2解后有： x2 x1=1.41cm. x=x2-x1=0.41cm. 三、各种力做功的特点 、重力做功特点 （ 1）重点做功与路径无关，只与物体的始末位置高度差 （ 2）重力做功的大小： W=mgh （ 3）重力做功与重力势能的关系： WG= Ep=E p1 Ep2 此外，做功多少与路径无关的力还有：匀强电场中 的电场力做功，液体的浮力做功等 . 例 5 两个底面积都是 S的圆桶 ， 放在同一水平面 上 ， 桶内装水 ， 水的密度为 ， 两桶间有一细管 连通 ， 细管上装有阀门 ， 阀门关闭时 ， 两只桶 内水面高度差为 h， 如图所示 .现在把阀门打开 ， 最后两桶水面高度相等 ， 则在此过程中 ， 重力 做的功为 . h . 4 1 2gSh 练习 3. 挂在竖直墙上的画长 1.8m，画面质量为 100g，下面画轴质量为 200g，今将它沿墙缓慢卷 起，需做 J的功 .(g取 10m/s2) 解： W= mg 1/2 h+Mgh=0.9+3.6 = 4.5 J 二 .摩擦力做功的特点 : 1.静摩擦力做功的特点 （ 1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做 功。 （ 2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移 （静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转 化为其他形式的能 （ 3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。 1.AB两物体叠放在水平面上 ， 保持相对静止一 起向右做匀加速运动移动 S， 则摩擦力 f1对 A做 功 ， f2对 B做 功 。 A a B f1 f2 W1=f S W2= - f S W1 + W2= 0 正 负 举例说明 : 2.小木块置于旋转的水平转台上 ， 随转台 一起匀速转动 ， 小木块受到的摩擦力对木 块做 功 。 f 0 若小木块随转台一起加速转动而没有相对滑动 ，则小木块受到的摩擦力对木块做 功。 正 3.AB两物体叠放在水平面上， A物体 用线系在墙上， B 物体在力 F作用下向 右运动，则 f1对 A做 功， f2对 B做 功。 F B A f1 f2 0 负 4.正在运动的水平传送带上轻轻放一个小 木块 ， 小木块受到的摩擦力对小木块做 功 。 V f 开始物体在摩擦力的作用下做匀加速运 动，摩擦力对物体做正功。 达到速度 v后，物体不受摩擦力，做匀速 运动，不做功 . 5.AB两物体叠放在水平面上 ， A物体在 力 F作用下在 B物体上相对滑动 ， 则 f1对 A做 功 ， f2对 B做 功 。 A B F f 1 f2 S S2 S1 W1= - fS1 W2= fS2 W1 + W2= f(S2 - S1 )= - f S 负 正 2.滑动摩擦力做功的特点： (1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做 负功，当然也可以不做功。 (2）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两 个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二 是机械能转化为内能。 (3)一对滑动摩擦力的总功等于 - fS 式中 S指物体间的相对位移 (4)转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积 , 即 W=Q（即摩擦生热） . (5）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往 返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积 例 6.质量为 M的长板放在光滑水平面上，一个 质量为的滑块以速度 v沿木板表面从 A点滑 到 B点，在木板上前进了 L，而木板在水平面上 前进了 s，如图，设滑块与木板间的动摩擦因 数为 求： (1)摩擦力对滑块做的功； (2)摩擦力对木板做的功； (3)摩擦力做的总功； (4)上述过程中机械能转化为内能的大小 . 图 6-1-2 【 解析 】 分别对滑块和木板进行受力分析，如图 所示 .f=mg， f = f 摩擦力对滑块做的功为 :Wm=-f(s+L)=-mg(s+L)， 摩擦力对木板做的功为 :WM=fs= mgs ， 摩擦力做的总功为 :W=Wm+WM=-mgL， 转化为内能的大小为 :Q=-W=mgL 【 解题回顾 】 摩擦力是阻力 (对滑块 )时，它所 做的功是负功；摩擦力是动力 (对木板 )时，它 所做的功是正功。我们还体会到摩擦力 f和 f 虽然是一对作用力和反作用力，但它们做的功 却不一定相等 . 练习 4.如图所示 ， 在光滑水平面上放一木板 ， 木板 的左端放一物体 ， 对物体施加一水平恒力 F， 将物体 由静止开始从木板右端拉出 ， 如果第一次木板被固定 在地面上 ， 第二次木板未被固定 ， 则这两种情况下 （ ） (A)摩擦力大小相同 (B)F做的功相同 (C)摩擦产生热相同 (D)物体获得的动能相同 A F B A F B f1 f 2 f1 f 2 S S2 S1 A C 例 7.如图所示， PQ是固定在水平桌面上的固定挡板， 质量为 m的小木块 N从靠近 P以一定的初速度向 Q运 动，已知物块与桌面间的动摩擦因数为 ， P与 Q相 距为 s，物块与 Q板碰撞 n次后，最后静止于 PQ的 中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？（ n为 自然数） 解析：物块与 Q板碰撞 n次后，最后停在 PQ中点，会 有两种可能，一种可能是与 Q板碰后向 P板运动至中点 而停止，设与 Q板碰撞 n次，则物体运动的路程为 （ 2n一 1/2） s，摩擦力所做的功为 Wf1=mg（ 2n-1/2） s第二种可能是物块与 Q板碰后再与 P板碰撞向 Q板运 动至中点而停止，在这种情况下，物体运动的路程为 （ 2n 1/2） s ，摩擦力所做的功为 Wf2= mg（ 2n 1/2） s，两种情况下，摩擦力对物体均做负功 练习 5.如图所示，半径为 R的孔径均匀的圆形弯管水 平放置，小球在管内以足够大的初速度 v0在水平面内 做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为 ，设从 开始运动的一周内小球从 A到 B和从 B到 A的过程中摩 擦力对小球做功分别为 W1和 W2，在这一周内摩擦力 做的总功为 W3，则下列关系式正确的是（ ） A W1 W2 B W1 W2 C W3 0 D W3 W1 W2 解析：求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力（大 小、方向均不变的力）做功的情况，通常由 w Fscos求 解对于变力（特别是方向发生变化的力）做功的情况，一般 由功能转换关系求解对于后一种思路，一定要正确判断哪些 力做功，在外力做功的过程中，物体（或系统）的能量如何发 生变化，变化了多少 小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反， 做负功，而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对 小球的弹力 N提供的，由于转动半径 R始终不变，摩擦力对小 球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即 N减小， 而 f N，滑动摩擦力 f也减小，即由下列关系： N=Fn=mv2/R m， R不变， v减小，则 N减小， f N N减小，则 f减小 W= fR f减小，则 W减小 所以 W1 W2 W1,W2都为负功，因此 W3 W1 W2答案： AD 2.弹力做功的特点 : 弹力对物体可以做正功 ,可以不做功， 也可以做负 功。 例 8:如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于 光滑的水平地面上。从地面上看，在小物块沿斜面下 滑的过程中，斜面对小物块的作用力 （ ） A垂直于接触面，做功为零 B垂直于接触面，做功不为零 C不垂直于接触面，做功为零 D不垂直于接触面，做功不为零 C 练习 6：一辆小车静止在光滑的水平导轨上， 一个单摆球用线悬挂在车上，由图示位置无 初速释放，则小球在下摆的过程中，线对小 球的拉力做 功。 负 例 9.如图示 ， 板长为 L， 板的 B端放有质量为 m 的小物体 ， 物体与板的动摩擦因素为 ， 开始 时板水平 ， 若缓慢转过一个小角度 的过程中 ， 物体与板保持相对静止 ， 则这个过程中 （ ） A. 摩擦力对 P做功为 mgLcos(1-cos) B. 摩擦力对 P做功为 mgLsin(1-cos) C. 弹力对 P做功为 mgLcossin D. 板对 P做功为 mgLsin P B A P L D mg f N 练习 7：一个木箱放置在匀加速上升的自 动扶梯上，随自动扶梯一起上升，跟扶梯 保持相对静止。木箱所受的重力对木箱做 功，木箱所受的弹力对木箱做 功。木箱所受的摩擦力对木箱做 功， a G N f 负 正 正 【 例 10】 如图所示，把 A、 B两球由图示位置同时由 静止释放（绳开始时拉直），则在两球向左下摆 动时下列说法正确的是 A.绳子 OA对 A球做正功 B.绳子 AB对 B球不做功 C.绳子 AB对 A球做负功 D.绳子 AB对 B球做正功 解析：由于 O点不动， A球绕 O点做圆周运动， OA对 球 A不做功。对于 AB段，我们可以想象，当摆角较小 时可以看成两个摆长不等的单摆，由单摆的周期公 式就可以看出， A摆将先回到平衡位置 B摆将落后 于 A摆， AB绳对 A球做负功，对 B球做正功。答案： CD 练习 8：质量为 m的物体 A置于粗糙的斜面上 , 斜面位 于水平面上， 用力推斜面向左匀速移动位移 S时，斜 面对物体 A的弹力做功 ， 斜面对 物体 A的摩擦力做功 。 A F S f N mg mgS sin cos - mgS sin cos 3.一对相互作用力做功特点 : 一对相互作用力可以同时做正功， 一对相互作用力也可以同时做负功， 一对相互作用力也可以作用力做正功，反作用力做负 功， 一对相互作用力也可以作用力做正功， 反作用力不 做功， 一对相互作用力也可以作用力做负功， 反作用力不 做功， 不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就 一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一 负所以 作用力与反作用力做功不一定相等，但冲量 的大小相等 例 11：如下图 A、 B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速度 V 相向运动，两磁体间的相互作用力对 A车做 - 功 , 两磁体间的相互作用力对 B车做 - 功 N N S S A B V V 正 正 若用手按住 B车，则相互作用力对 A 车做正功，对 B车不做 功 若如下图 A、 B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速度 V相向 运动，两磁体间的相互作用力对 A车做 - 功 , 两磁体间的相互作用力对 B车做 - 功 N N S S A B V V 负 负 若用手按住 B车，则相互作用力对 A 车做负功，对 B车不做 功 【 例 12】 以下说法正确的是（ ） A摩擦力可以对物体做正功 B摩擦力可以使物体 的速度发生变化，但对物体不做功 C作用力与反作用力做功一定相等 D一对平衡 力做功之和为零 解析： A摩擦力可以对物体做正功，只要摩擦力的 方向与物体运动方向相同，摩擦力就做正功摩擦力 可以改变物体的速度，对物体有一个冲量作用，但物 体在力的方向上没有位移，因而不做功，如随圆板一 起转动的物体由此可以认识到：力对物体有冲量， 但不一定对物体做功，相反只要力对物体做功，一定 会有冲量又可进一步认识：力使物体动量发生变化， 其动能不一定变化；但力使物体动能发生变化时，其 动量一定发生变化 c作用力与反作用力做功不一 定相等，如一炸弹炸成质量为 m与 2 m的两块，根据 动量守恒 mv1=2mv2， 则 v1=2v2，作用力和反作用力 做功为 W1=m(2v2)2与 W2=mv22，所以不相等。可 认识到：作用力和反作用力产生的冲量总是大小相等， 但做功可能不相等 D一对平衡力合力为零，所以 二力合力做功为零答案： ABD 练习 9. 下列说法正确的是： （ ） (A)一对摩擦力做的总功，有可能是一负值，有可能 是零； (B)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化； (C)当作用力作正功时，反作用力一定做负功； (D)当作用力不作功时，反作用力一定也不作功； (E)合外力对物体做功等于零，物体一定是做匀速直 线运动 . A
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