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数学E单元不等式E1不等式的概念与性质xy5， 2014 山东卷 已知实数x， y 满足 a a (0asin yCln( x2 1)ln( y21)1 1D.x2 1y2 15 A 解析 因为 ax ay(0 a 1)，所以 x y，所以 x3y3 恒成立故选 A.5 2014 四川卷 若 ab 0， cd 0，则一定有 ()A.a bB.a bd cdcC.a bD.a bc dcd5 B 解析 11 0，即 11 0，与 a b 0 对应相乘得，因为 c d 0，所以 dcdc ad bc 0，a b，故选 B.所以 1），f(x)x a1 a x 1 ，2 3xa1ax 2当 a2 时， f(x) x a 1 1 x a，2 3x a1（ x 1） .由图可知，当 x a时， fmin (x) f a a 1 3，可得 a 4.综上可知， a 的值为2224 或 8.cos x， x 0，1，10 2014 宁卷辽 已知 f( x)为偶函数，当x0 时， f( x)2则2x 1， x 1，2不等式f(x1) 12的解集为 ()1， 24， 7A. 4 33 4B. 3， 1 1， 2434 31347C. 3， 4 3，4D. 3， 1 1， 343340， 110A解析 由题可知，当x时，函数 f(x)单调递减，由cos x 1，得 1112113231；当 xx，时，函数 f(x)单调递增，由 2x 1 ，得 0 ，x0或 x 2，|x|1，得即 0x1. 1x0 ，x0或 x 2，得即 0x1.|x|1， 1x1 ，E4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题x y2 0，13 2014 安徽卷 不等式组x 2y4 0，表示的平面区域的面积为 _x 3y2 0134 解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S ABD S ABD SBCD 1 2 (2 2)4.2y1，13 2014 北京卷 若 x，y 满足 xy1 0，则 z3x y 的最小值为 _xy1 0，131 解析 可行域如图， 当目标函数线 z y 3x 过可行域内 A 点时， z 有最小值，y 1，得 A(0， 1)，故 zmin 30 1 11.联立x y1 0，x y 7 0，11，2014 福建卷 已知圆 C：(x a)2 (y b)2 1，平面区域：xy 3 0，若圆y0.心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2 b2 的最大值为 ()A 5 B 29C37 D 49x y 7 0，11 C 解析 作出不等式组x y3 0，表示的平面区域(如下图阴影部分所示，y 0含边界 )，圆 C： (x a)2(y b)2 1 的圆心坐标为 (a，b)，半径为1.由圆 C 与 x 轴相切，得x y7 0， x 6，b 1.解方程组得即直线 x y 7 0 与直线 y1 的交点坐标为 (6，1)，y 1，y 1，设此点为 P.又点 C，则当点C 与 P 重合时， a 取得最大值，所以， a2b2 的最大值为62 12 37，故选 C.x 2y 8，42014 广东卷 若变量 x，y 满足约束条件 0 x 4， 则 z2x y 的最大值等于 ()0 y 3，A 7 B 8C10 D 114D 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示作出直线l： 2xy 0，平移该直线，当直线经过点A(4， 3)时，直线 l 的截距最大，此时 z zx y 取得最大值，最大值是 11 .x y 4，4 2014 北卷湖 若变量 x， y 满足约束条件x y 2，则 2xy 的最大值是 ()x 0， y 0，A 2B 4C 7D 8x y 4，4 C 解析 作出约束条件x y 2， 表示的可行域如下图阴影部分所示x 0， y 0设 z 2x y，平移直线 2x y 0，易知在直线 x y 4 与直线 x y 2 的交点 A(3， 1) 处， z 2x y 取得最大值 7. 故选 C.y x，13 2014 湖南卷 若变量 x， y 满足约束条件x y 4，则 z 2x y 的最大值为y 1，_13 7 解析 依题意，画出可行域，如图所示xy 4，由得点 B 的坐标为 (3， 1)，则 z 2x y 在 B(3， 1)处取得最大值 7.y 12x y 20，142014 辽宁卷 已知 x，y 满足约束条件 x 2y 40，则目标函数 z 3x 4y 的最大值为 _3x y 30，314 18 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z3x 4y 得 y 4xzx 2y 40，x 2，4，当直线经过点C 时，z 取得最大值 由3x y 30， 得y 3， 故 C 点坐标为 (2，3)，这时 z 3 2 4 318.x y0，152014 国卷全 设 x，y 满足约束条件x 2y 3，则 z x 4y 的最大值为 _x 2y 1，15 5 解析 如图所示，满足约束条件的可行域为ABC的内部 (包括边界)， z x4y 的最大值即为直线11y 4x 4z 的截距最大时z 的值结合题意知，当11y 4x4z 经过点 A 时， z 取得最大值，联立xy 0 和x 2y 3，可得点A 的坐标为(1，1)，所以zmax 1 4 5.xy1 0，92014 新课标全国卷 设 x，y 满足约束条件xy1 0， 则 z x 2y 的最大值x 3y 30，为()A 8 B 7C2 D 19B解析 作出约束条件表示的可行域 (略 )，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3， 2)时，目标函数取得最大值，zmax 3 2 2 7.112014 全国新课标卷 设 x，y 满足约束条件x y a，且 zx ay 的最小值为x y 1，7，则 a ()A 5 B 3C 5 或 3 D 5 或 311 B解析 当 a0，102014 山东卷 已知 x，y 满足约束条件2x y 30，b0) 在该约束条件下取到最小值2 5时， a2 b2 的最小值为 ()A 5 B 4C. 5D 210 B解析 画出关于 x， y 的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示显然当目标函数z ax by 过点 A(2，1)时，目标函数 z ax by 取得最小值， 即 2 52a b，所以 25 2a b，所以 a2 b2 a2 (2 5 2a)2 5a2 85a 20.构造函数 m( a)5a2 8 5a 20(0a1 ，故选 C.x y2 0，2 2014 津卷天 设变量x， y 满足约束条件x y2 0，则目标函数z x 2y 的最y1，小值为 ()A 2B 3C 4D 52 B 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示x y 20，解得x 1，联立可得点 A (1， 1)y 1，y 1，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z 1 1 2 13.x 2y 40，12 2014 浙江卷 若实数 x， y 满足 x y 10， 则 xy 的取值范围是 _x 1，121，3 解析 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分(包括边界 ) 所示，图中 A(1，30)，B(2，1)，C 1， 2 .令 z xy，则 y xz.当直线 y x z 经过 A 点时， z 取最小值1；经过 B 点时， z 取最大值3.故 x y 的取值范围是 1， 3E6基本不等式abab29、 2014 庆卷重 若 log4(3a 4b) log2ab，则 a b 的最小值是 ()A 6 23 B 7 23C6 43 D 7 439 D 解析 由 log4(3a 4b) log2ab，得4 3 1，所以 a b (a3a 4bab，则 ab434b3a4b3a4b3ab)b 7 a b 7 2a b 743，当且仅当 a b ，即 a 423，ab 23 3 时等号成立，故其最小值是743.162014 湖北卷 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆 /小时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/ 秒 )、平均车长 l(单位：米 )的值有关，其公式为F76 000vv2 18v 20l.(1)如果不限定车型，l 6.05，则最大车流量为_辆 /小时；(2)如果限定车型， l 5，则最大车流量比 (1)中的最大车流量增加_辆 /小时16 (1)1900 (2)100解析 (1) 依题意知， l0， v0，所以当 l 6.05 时，76 000v76 00076 000 1900，当且仅当 v 11 时，取等号Fv2 18v 121121121 182v v 18v v(2)当 l 5 时，76 000v76 000 2000，Fv2 18v 100100 18v v当且仅当 v 10 时，取等号，此时比(1) 中的最大车流量增加100辆 /小时14、2014 江苏卷 若 ABC 的内角满足 sin A 2sin B 2sin C，则 cos C 的最小值是_14.6 2 解析 设 ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c，则由正弦定4理得 a2b 2c.故a2 b2a 2b 231231cosC a2 b2 c224a22b2 2 ab4a2 2b22 2ab2ab2ab2ab4232124a 2b2 62，2ab44a2当且仅当3a2 2b2，即 b3时等号成立16 2014 辽宁卷 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a2 2ab b2 c 0 且使 |2a b|最大时， 1 2 4的最小值为 _abc4a2 2ab b2 c 0 ， 所 以 (2a b)2 c 6ab 16 1 解 析 因 为（ 2ab） 2b 2a，c 4a2 时， |2a b|取得最大3 2ab 34，所以 (2a b)2 4c，当且仅当2124 21 值故1 1 1，其最小值为 1.abcaa2a2221，2014 山东卷 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C：x2 y2 1(ab0) 的离心率为ab3，直线 y x 被椭圆 C 截得的线段长为 41025 .(1)求椭圆 C 的方程(2)过原点的直线与椭圆C 交于 A，B 两点 (A，B 不是椭圆 C 的顶点 )点 D 在椭圆 C 上，且 AD AB，直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M， N 两点(i) 设直线 BD， AM 的斜率分别为 k1， k2，证明存在常数 使得 k1 k2，并求出 的值；(ii) 求 OMN 面积的最大值21 解： (1) 由题意知，a2 b23，可得 a2 4b2.a2椭圆 C 的方程可简化为x2 4y2 a2.将 y x 代入可得 x 5a5 .因此 2 2 5a410，即 a2，所以 b 1，55x2所以椭圆 C 的方程为 4 y2 1.(2)(i) 设 A(x1， y1)( x1y1 0)， D( x2，y2)，则 B( x1， y1)y1因为直线 AB 的斜率 kAB，且 AB AD，所以直线 AD 的斜率 k x1.1y设直线 AD 的方程为 y kx m，由题意知 k 0，m 0.y kxm，由 x2消去 y，得 (1 4k2) x2 8mkx 4m2 4 0，4 y2 1，所以 x1 x28mk 2，1 4k因此 y1 y2 k(x1 x2) 2m2m .1 4k2由题意知 x1 x2，所以 k1y1y2 1 y1x1x2.4k 4x1y1所以直线 BD 的方程为y y1(x x1)令 y 0，得 x 3x1，即 M(3x1，0) y1可得 k2 .12x11所以 k1 2k2，即 2.因此，存在常数 1使得结论成立2(ii) 直线 BD 的方程 y y1 y1 (x x1)， 4x1令 x 0，得 y3 10，3y1.4y ，即 N4由 (i) 知 M (3x1， 0)，1 3所以 OMN 的面 S2 3|x1| 4|y1|98|x1|y1|.2|x|2x11| 2 ，等号成立，因 |x1|y1| 4 y121，当且 当 2 |y1此 S 取得最大 9，8所以 OMN 面 的最大 98.E7 不等式的 明方法20、2014 天津卷 已知 q 和 n 均 定的大于1 的自然数， 集合 M 0 ，1，2，q 1 ，集合 A x|x x1 x2q xnqn 1， xiM ， i1， 2， n (1)当 q 2， n 3 ，用列 法表示集合A.(2)设 s，t A，s a1 a2q anqn 1，t b1 b2q bnqn 1，其中 ai，biM，i 1，nn2， n. 明：若 a b ， s t.20解： (1)当 q 2，n 3 ， M 0 ，1 ， A x|x x1 x22 x322，xi M，i 1，2， 3 ，可得 A 0 ，1， 2， 3， 4， 5， 6，7 (2) 明：由 s， t A， s a1 a2q an qn 1， t b1 b2q bnqn 1，ai， bi M，i1， 2， n 及 anbn，可得n 2n 1s t (a1b1) (a2 b2)q (an 1 bn1)q (an bn)q (q 1) (q1)q (q 1)q n 2 qn 1（ q 1）（ 1 qn 1） qn 11 q 10，所以 s 1），f(x)x a1 a x 1，2a 3xa 1 x a，2当 a2 时， f(x) x a 1 1 xa，2 3x a1（ x 1） .由图可知，当 x a时， fmin (x) f a a 1 3，可得 a 4.综上可知， a 的值为222 4 或 8.9 2014 福建卷 要制作一个容积为4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是 ()A 80 元B 120 元C160 元D 240 元9 C 解析 设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为 4 m3，高为 1 m得另一边长4为 xm.记容器的总造价为y 元，则4y 420 2 x x 1 104 8020 x x 8020 2x4x 160，4当且仅当 x x，即 x 2 时等号成立因此，当 x 2 时， y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为160 元，故选 C.19、 2014 苏卷江 已知函数 f(x) ex e x，其中 e 是自然对数的底数(1)证明： f(x)是 R 上的偶函数x m 1 在(0， )上恒成立，求实数 m 的取值范围(2)若关于 x 的不等式 mf( x) e(3)已知正数 a 满足：存在 x03a1与1， )，使得 f(x0)0)，则 t1 ，所以 m 2 t 1t t11对任意 t1成立1 1t 1 t 1因为 t 1 1 1 2（ t1） 1 1 3, 所以 1 1，t 1t 1131t 1t 1当且仅当t 2,即 x ln 2时等号成立m 的取值范围是1因此实数， 3 .(3)令函数g(x) ex 1x a( x3 3x)，则 g (x) ex 1x 3a( x2 1) ee当 x1 时， ex e1x0， x2 1 0.又 a0，故 g (x)0，所以 g(x)是 1， )上的单调递增函数， 因此 g(x)在 1， )上的最小值是g(1) ee 1 2a.3 3x0)0成立， 当且仅当最小值g(1)0 ，由于存在 x0 1， )，使 ex0 e x0 a( x011e e故 ee 2a.2令函数 h(x) x (e 1)ln x 1，则 h(x) 1e 1x . 令 h(x) 0, 得 x e 1.当 x (0，e 1)时， h(x)0 ，故 h(x)是 (e 1， )上的单调递增函数所以 h(x)在 (0， )上的最小值是 h(e 1)注意到 h(1) h(e) 0，所以当 x (1， e 1)? (0， e 1)时， h(e 1) h(x)h(1) 0；当 x (e 1， e)? (e 1， )时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1， e)成立e e1故当 a， e ? (1，e)时，h(a)0 ，即 a1(e 1)ln a，从而 ea 1h(e) 0，即 a 1(e 1)ln a，故 ea 1ae 1.1e ea11a 11综上所述，当a，e 时， eae 1.12、2014 辽宁卷 当 x 2，1时，不等式 ax3 x2 4x 3 0 恒成立，则实数a 的取值范围是 ()A 5， 3B. 6， 98C 6， 2D 4， 3x2 4x 3x2 4x 312 C 解析 当 2 x0 时，不等式可转化为 ax3，令 f(x)x3( 2 x0)，则 x2 8x 9（ x 9）（ x 1），故函数 f(x)在 2，1 上单调递减， 在 (f (x)x4x41， 0)上单调递增，此时有a fmin(x)f( 1)1 43 2.1当 x 0 时，不等式恒成立当 0x1 时， ax2 4x 3x3，x2 4x 3令 g(x)x3(0x 1)， x2 8x 9则 g(x)x4，故函数g(x) 在 (0 ， 1 上单调递增，此时有a gmax(x) g(1) 1 4 3 6.1综上， 6 a 2.m21、 2014 陕西卷 设函数 f(x) ln x x ，m R.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数g( x) f(x) 3x零点的个数；f（b） f（ a）(3)若对任意b a 0，1 恒成立，求m 的取值范围b a21 解： (1) 由题设，当 me 时， f(x) ln xe，则 f (x)x2e，xx当 x(0， e)时， f(x)0 ， f(x)在 (e， )上单调递增 x e 时， f(x)取得极小值 f(e) ln e e 2，e f(x)的极小值为 2.x 1 mx(2)由题设 g(x) f(x) 3 x x23(x0)，令 g(x) 0，得 m 1x3 x(x0) ， 3设 (x) 13x3 x( x 0)，则 (x) x2 1 ( x1)( x 1)，当 x (0，1) 时， (x)0， (x)在 (0， 1)上单调递增；当 x (1， )时， (x)23时，函数 g(x)无零点；2当 m 时，函数g(x)有且只有一个零点；2当 0m23时，函数g(x)无零点；当 m 2或 m 0 时，函数 g(x) 有且只有一个零点；3当 0ma0，1 恒成立，b a等价于 f(b) b0)， (*) 等价于 h( x)在 (0， )上单调递减由 h(x) 1 m2 1 0 在 (0， )上恒成立，x x得 m x2 x x12 1(x0) 恒成立，24 m 1对 m1， h（ x） 0仅在 x1时成立 ，442 m 的取值范围是 1， . 4E9单元综合62
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