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第二章 连续系统的时域分析 微分方程的经典解法 0+和 0-初始值 零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 微分方程的经典解： y(t)(完全解 ) = yh(t)(齐次解 ) + yp(t)(特解） 齐次解 是齐次微分方程 yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 特解 的函数形式 与激励函数的形式有关。 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关， 而与激励 f(t)数形式无关，称为系统的 固有响应 或自由响应 ； 特解的函数形式由激励确定，称为 强迫响应 。 全响应齐次解 (自由响应 )特解 (强迫响应 ) 齐次解： 写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。 根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重 根）： 特解： 根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法 确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 用初始值确定积分常数。一般情况下， n 阶方程有 n 个常数， 可用个 n 初始值确定。 n i t ih ieCtr 1 )( i 为特征根 例 2.1.1描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)，求（ 1）当 f(t) = 2 ， t0 ； y(0)=2， y(0)= -1 时的全解；（ 2）当 f(t) = ， t0 ； y(0)= 1， y(0)=0时的全解。 te 2 te 解 : (1) 特征方程为 + 5+ 6 = 0 其特征根 1= 2， 2= 3。 齐次解为 2 tth eCeCty 2221)( 由表 2-2可知，当 f(t) = 2 时，其 特解 可设为 tttt ePePePe 26)(5 将其代入微分方程得 解得 P=1 于是特解为 全解为： tp ety )( t p Pety )( ttt ph eeCeCtytyty 3 2 2 1)()()( te 其中待定常数 C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ， C2 = 2 最后得全解 ttt eeety 32 23)( （ 2） 齐次解同上。 当激励 f(t)= 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0) 代入微分方程可得 P1 = te 2 所以 P1= 1 但 P0不能求得。全解为 te 2 te 2 te 2 ttt tttt teeCePC ePteeCeCty 23 2 2 01 2 0 23 2 2 1 )( )( 将初始条件代入，得： y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 C2= 1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数 C1+P0= 2，不能区分 C1和 P0，因而也不 能区分自由响应和强迫响应。 ttt teeety 2322)( 二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、 0 状态和 0 状态 0 状态称为零输入时的初始状态。 即初始值是由系统的储 能产生的； 0 状态称为加入输入后的初始状态。 即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从 0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 (t)及 其各阶导数。 如果包含有 (t)及其各阶导数，说明相应的 0 状态到 0 状态 发生了跳变 。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。 各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零 状态是指 0 状态为零。 2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（ 0）和（ 0）时刻值 的关系。 应用条件： 如果微分方程右边包含 （ t）及其各阶导 数，那么（ 0）时刻的值不一定等于（ 0） 时刻的值。 原理： 利用 t 0时刻方程两边的 （ t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（ 0） )(.)()()(.)()( )1(210)(10 tbtbtbbtyatyatya mmnn mn ，则设 0)(.)( )( . )(.)()( )(.)()( )1( )( 12 )2()1( 01 )1()( tyty Cty CtCtCty CtCtCty mn m mn m m n m m n mn，则设 1 )1( 12 )2()1( 01 )1()( .)()( . )(.)()( )(.)()( n nm m m m n m m n CtCty CtCtCty CtCtCty 将 y(t)及其各阶导数带入原方程，求出 C0 .Cm ; 对 y(t)及各阶导数求（ 0， 0）的积分 . 例 2.1.2： 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)，已知 y(0-)=2， y(0-)= 0， f(t)=u(t)， 求 y(0+)和 y(0+)。 解： 将输入 f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 列式得： 0)( )( )()( ty aty btaty 代入原方程得 a=2， b=0 由上可见，当微分方程等号 右端含有冲激函数 （及其各 阶导数）时，响应 y(t)及其各阶导数中，有些在 t=0处将发生 跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 20)0()0( 22)0()0( yy yy 0)0()0( 2)0()0( yy yy从 0-到 0+积分得： 0)( 2)( 0)(2)( ty ty tty 得： 三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （ 1）零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只有起始 状态所产生的响应。 （ 2）零状态响应： 不考虑起始时刻系统储能的作用，由 系统外加激励信号所产生的响应。 LTI的全响应： y(t) = yx(t) + yf(t) 2、零输入响应 （ 1）即求解对应齐次微分方程的解 特征方程的根为 n个单根 当特征方程的根 (特征根 )为 n个单根 (不论实根、 虚根、复数根 ) 1， 2， ， n 时，则 yx(t)的通解 表达式为 tnttx neCeCeCty .)( 21 21 特征方程的根为 n重根 当特征方程的根 (特征根 )为 n个重根 (不论实根、 虚根、复数根 ) 1= 2= =n 时， yx(t)的通解表达式 为 : tnnttx netCteCeCty 121 . .)( 21 （ 2）求 yx(t)的基本步骤 求系统的 特征根 ，写出 yx(t)的通解表达式。 将确定出的积分常数 C1， C2， ， Cn代入通解表达式， 即得 yx(t)。 由于激励为零，所以零输入的初始值： 确定积分常数 C1， C2， ， Cn )0()0( )()( ixix yy 3、零状态响应 （ 1） 即求解对应 非齐次微分方程的解 （ 2）求 yf(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式 yfh(t)。 根据 f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解 yfp(t) 将确定出的积分常数 C1， C2， ， Cn代入全解表达式， 即得。 求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时， 根据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数 C1， C2， ， Cn )0()( ify 几种典型自由项函数相应的特解 例 2.1.3： 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t),已知 y(0-)=2， y(0-)=0， f(t)=u(t)。求 该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。 解： （ 1） y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得： y(t)=a(t) +b， y(t)=a ， y(t)=0 代入原方程得 a=2， b=0 20)0()0( 22)0()0( yy yy 根据微分方程经典求法： 齐次解： 齐次解形式为： 特解 ,根据特解形式得到 : 解得 B 3 解得 全响应 为： 022 tth eCeCty 221)( Bty p )( 3)( 221 tt eCeCty 利用初始值解得： 全响应为： 0 1 2 1 C C 3)( 2 tety 瞬态分量 稳态分量 （ 2） 零输入响应 yx(t), 激励为 0 ， yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0 根据特征根求得通解为： ttx eCeCty 221)( 4 2 2 1 C C 解得系数为 代入得 0,42)( 2 teety tt x （ 3）零状态响应 yf(t) 满足 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利 用系数匹配法解得： 00)0()0( 22)0()0( ff ff yy yy 对 t0时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6 其齐次解为 其特解为常数 3 ， 于是有 根据初始值求得 : 4 1 2 1 C C tftffh eCeCty 221)( 3)( 221 tftff eCeCty 034)( 2 teety ttf ， 自由响应强迫响应 (Natural+forced) 零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state) 暂态响应 +稳态响应 (Transient+Steady-state) 四系统响应划分 相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。 0)34()42()()( 3)( 22 2 teeeetyty ety tttt fx t ， 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 H t th 一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号 (t) 作用下产生的 零状态响 应 ，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用 h(t)表 示。 2.2 冲激响应和阶跃响应 例 2.2.1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其 冲激响应 h(t)。 解： 根据 h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =a (t)+b h(t) =a h(t) =0 解得： a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1 微分方程的特征根为 故系统的 冲激响应 为 代入初始条件求得 C1=1,C2=-1, 所以 3 2 2 1 )()()( 3221 tueCeCth tt )()()( 32 tueeth tt 对 t0时， h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激响应为 齐次解。 例 2.2.2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)，求其冲激响应 h(t)。 解：根据 h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2 (t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求 h(0+)和 h(0-)，根据冲激函数匹配法得： h”(t) = a ”(t) +b (t) +c(t)+ d h(t) = a (t) +b(t) + c h(t) = a(t) + b 带入方程求得： a =1 ， b = - 3， c = 12， d=-42 故 h(0+) = 3， h(0+) =12 对 t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0 微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为 3 2 2 1 )()()( 3221 tueCeCth tt 所以 : h(t) = (t) + b h(t) = (t) - 3(t) + c h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ d 代入初始条件 h(0+) = 3， h(0+) =12 求得 C1=3， C2= 6, 所以 结合式 h(t) = (t) + b 得 : )()63()( 32 tueeth tt )()63()()( 32 tueetth tt 系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程 的右端将包含阶跃函数 u(t) ，所以除了 齐次解外，还有特解项 。 我们也可以根据线性时不变系统特性， 利用冲激响应与阶 跃响应关系求阶跃响应 。 二阶跃响应 1定义 系统在 单位阶跃信号 作用下的 零状态响应 ，称为单位阶跃响 应，简称 阶跃响应， 一般用 g(t)表示。 H tu tg tt 0 , 对因果系统： 积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的 2阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性 t tttu d)()( t tthtg d)()( 解： s由 1转向 2后， 列写 回路方程： R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2 列写 结点方程： i(t)=Cvc(t)+iL(t) 例 2.2.4电路如图所示，求电流 i(t)对激励 e(t)=u(t)的阶 跃响应， t 0时， s由 1转向 2。 整理得到： i(t)+7i(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+e(t) 阶跃响应满足： )(4)(6)()(10)(7)( tutttgtgtg g(0+)=g(0-)=0 ,得 0,)( 5221 tBeAeAtg tt 特解 B代入得： 10B 4， B 2/5 利用冲激函数匹配法求解初始值， 所以： a=1,b=-1,c=1 得： g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=-1 得到： A1+A2+2/5=1 -2A1-5A2=-1 解得： A1=2/3, A2=-1/15 得： )(5/2)15/1()3/2()( 52 tueetg tt 2.3 卷积积分 一、信号的时域分解 1、任意信号的分解 dtf ktkftftf n k a )()( )()()()( 1 0 )1()()()()( 1 0 ktuktukftftf n k a )()( dthfty f 2、任意信号作用下的零状态响应 3、卷积积分 （ 1）定义： 已知定义在区间（ ， ）上的两个 函数 f1(t)和 f2(t)，则定义积分 21 )()( dtfftf tftftf 21)( )(*)()()( thtfdthfty f 记为 ： 任意信号的零状态响应即为： （ 2）卷积积分的求解 例 2.3.1求卷积： )()( tutue t dtuuetutue t )()()()( - )0( 1 0 te t )( 11 tue t 解： det 0 )(2 )(16 )()(*)()( dtuee dthfthtfty t f 例 2.3.2： 解： )( ),()16()(),(,)( 2 ty tuethtetf f tt 求 t tf deety )(2 16)( ttttt eeee 32 2 （ b）卷积积分的图解： 卷积过程可分解为四步： （ 1）换元： t换为 得 f1() ， f2() （ 2）反转平移： 由 f2() 反转 f2() 右移 t f2(t-) （ 3）乘积： f1() f 2(t-) （ 4）积分： 从 到 对乘积项积分。 例 2.3.3 f (t) ,h(t) 如图所示，求 yf(t)= h(t) * f (t) 。 解： 例 2.3.4： f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求 f(2) . 解： 1221 )2()()()()2( dfftftfy （ 1）换元 （ 2） f1() 得 f1() （ 3） f1() 右移 2得 f1(2) （ 4） f1(2) 乘 f2() （ 5）积分，得 f(2) = 0（面积为 0） 三、卷积积分的性质 1、卷积的代数性质 交换律： 1(t)2(t)=2(t)1(t) 分配律： 1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t) 结合律： 1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t) 2、主要性质： 微分性质： )()()()()( 2121 tftftftftf )()()()()( 2)1(1)1(21)1( tftftftftf 积分性质： )()()()()( )1(212)1(1 tftftftftf 微积分性质： 注： 应用 (1),(3) 性质的条件是 )()( 11 tfdf t 必须成立 0)()(lim 11 ftft即必须有； 否则不能应用。 )()()()( )()()( )()()( )1( 2 121 )( 2 )( 1 )( 21 tftftftf tftftf tftftf jiji 特例： 若 f(t)与阶跃函数的卷积： dftutf t )()()( f(t)与冲激函数的卷积： (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) f(t)与冲激偶函数的卷积： (t)(t)= f(t)(t)= (t) (t)(t)=(t) dfdtfttutf ttt )()()()( 000 时移性质 若 1(t)2(t)=(t)， 则 有 1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2) 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 可使卷积积分的计算大大简化， 下面举例说明。 例 2.3.6 计算下列卷积积分： )2()1()2( )2()1()1( tttu tutu 解 ： (1) 先计算 u(t)*u(t)。 因为 u(-)= 0， 故可应用卷积运算的 微积分性质求得 根据时移特性得 )()()( ttututu )1()1()2()1( tuttutu (2) 利用卷积运算的分配律和时移性质， 可将给定的卷积计 算式表示为 )()() ) *()()( ttttutttu )3()3()2()1( tttttu 3 )()()()( )2()1()1()2()1( )2()1()1()1( )2()1( tt tttuttu ttutttu ttuttu tttu )()(*)()()( tttuttu 例 2.3.7： 解： 通常复杂函数放前面，代入定义式得 )(*)(),()(,1)( 2121 tftftuetftf t 求 1 )()(*)( 0 012 e deduetftf 注意：套用 显然是错误的。 0)(*0)(*)()(*)( )1(2)1(2121 tftftftftf 例 2.3.8求图所示两函数的卷积积分。 t tfdftftfty )()()()()( 2121 解： t tttde0 )3()1(3)(22 = )3()1(3)(2)()22( ttttUe t = )3(22)1(223)()22(2 )3()1( tUetUetUe ttt= 例 2.3.9已知 求 f1(t) 。 解 : 将原式等号两端同时求一阶导数得 )1(1)()1()(*)( )1(1 tuetuetuetf ttt 本章总结： 1、 LTI连续系统的响应： 全响应齐次解 (自由响应 )特解 (强迫响应 ) 2、关于 0-和 0+初始值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有 (t)及其各阶导数， 说明相应的 0状态到 0状态发生了跳变。 冲激函数匹配法 : m i m m n m m n Cty CtCtCty CtCtCty )( )(.)()( )(.)()( )( 12 )2()1( 01 )1()( 3、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) 自由响应强迫响应；暂态响应 +稳态响应；零输入响应零 状态响应 4、冲激响应和阶跃响应 5、卷积积分 卷积过程可分解为四步： （ 1）换元： t换为 得 f1() ， f2() （ 2）反转平移：由 f2() 反转 f2() 右移 t f2(t-) （ 3）乘积： f1() f2(t -) （ 4）积分： 从 到 对乘积项积分。 6、卷积积分的性质 dtffdtfftftftftf )()()()()(*)()(*)( 12211221 )(*)()(*)()()(*)( 3121321 tftftftftftftf dftfdftfdff ttt )()()()(* 122121 1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t) dt tdftfdt tdftftftfdtd )()()()()()( 122121 )( tft）t）f )( )( tft）tft）t）f dft）Ut）f t )( )( 212211 TTty）Ttf）Ttf
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