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2.3.1双曲线的标准方程第2章 2.3双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 双曲线的定义思考已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？答案答案梳理梳理把平面内与两个定点F1，F2距离的 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做 ，叫做双曲线的焦距.差的绝对值双曲线的焦点两焦点间的距离思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？知识点二 双曲线的标准方程在双曲线标准方程中，x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关.答案思考2 如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OBb吗？以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OBb.答案梳理梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程 (a0，b0)(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0,c)，F2(0,c)焦距F1F22c，c2a2b2题型探究例例1求下列双曲线的标准方程：类型一 求双曲线的标准方程解答(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，所以c13，所以b2c2a225.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解答待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0).反思与感悟(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程：(1)c ，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；解得a25或a230(舍).b21.解答(2)经过点P(4，2)和点Q(2 ，2 )；解答设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解答例例2已知0180，当变化时，方程x2cos y2sin 1表示的曲线怎样变化？类型二 由方程判断曲线的形状解答反思与感悟像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：定型：以x2和y2的系数的正负来确定；定量：以a、b的大小来确定.解得m0，解得0m16，即m的取值范围为(0,16).此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(4,0).(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标.解答命题角度命题角度1焦点三角形问题焦点三角形问题类型三 双曲线的定义及应用答案解析4a2m由双曲线的定义，知AF1AF22a，BF1BF22a.又AF2BF2AB，所以ABF1的周长为AF1BF1AB4a2AB4a2m.(2)已知双曲线 的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_.答案解析由定义和余弦定理，得PF1PF26，所以102(PF1PF2)2PF1PF2，所以PF1PF264.引引申申探探究究 在本例(2)中，若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.解答反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a；利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值；特特别别提提醒醒 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1PF2|2a的变形使用，特别是与，PF1PF2间的关系.跟跟踪踪训训练练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左，右焦点，点P在C上，F1PF260，则PF1PF2_.4设PF1m，PF2n，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即PF1PF24.答案解析命题角度命题角度2由双曲线定义求轨迹方程由双曲线定义求轨迹方程答案解析例例4已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.由PF1F1F22PF2，PF2PF14，得PF16，PF210.又F1F214，答案解析F1PF2120.120当堂训练123451.已知双曲线中的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_.答案123451由a0,0a24，且4a2a2，可解得a1.答案解析12345(5,10)答案解析由题意得(10k)(5k)0，解得5k10.4.设F1，F2分别是双曲线x2 1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积为_.答案解析1234524又由F1F210，可得PF1F2是直角三角形，5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4，焦点在x轴上；12345解答由题设知，a3，c4.由c2a2b2，得b2c2a242327.因为双曲线的焦点在x轴上，(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)；12345解答由已知得c6，且焦点在y轴上.因为点A(5,6)在双曲线上，|135|8，则a4，b2c2a2624220.12345解得a23，b25.解答1.在双曲线定义中|PF1PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.规律与方法本课结束
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