学案5离散型随机变量及其分布列2

学案学案5 5 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 离散型离散型随机变随机变量及其量及其分布列分布列(1)(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的认识分布列刻画随机现象的重要性重要性,会求某些取有限个值的离散型随机会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列变量的分布列.(2)(2)了解超几何分布了解超几何分布,并能进行简单应用并能进行简单应用.返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 求简单随机变量的分布列求简单随机变量的分布列,以及由此分布列求随机以及由此分布列求随机变量的期望与方差变量的期望与方差.这部分知识综合性强这部分知识综合性强,涉及排列、涉及排列、组合、二项式定理和概率，仍会以解答题形式出现，组合、二项式定理和概率，仍会以解答题形式出现，以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以所有取值可以 的随机变的随机变量，称为离散型随机变量量，称为离散型随机变量.一一列出一一列出 名师伴你行返回目录返回目录 2.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X可能取的不同值为可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值取每一个值xi（i=1,2,n）的概率）的概率P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下：，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为的概率分布列，简称为X的分的分布列布列.根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：下性质：X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n名师伴你行 ;.3.两点分布 如果随机变量如果随机变量X的分布列是的分布列是 ，则这样，则这样的分布列称为两点分布列的分布列称为两点分布列.如果随机变量如果随机变量X的分布列为两的分布列为两点分布列，就称点分布列，就称X服从两点分布，而称服从两点分布，而称p=P（X=1）为为 .返回目录返回目录 pi0,i=1,2,n X01P1-pp成功概率成功概率名师伴你行 4.超几何分布 一般地一般地,在含有在含有M件次品的件次品的N件产品中，任取件产品中，任取n件，其件，其中恰有中恰有X件次品数，则事件件次品数，则事件X=k发生的概率为发生的概率为 其中其中m=minM,n，且，且nN,MN,n,M,NN*.称分布称分布列列 为超几何分布列为超几何分布列.如果随机变量如果随机变量X的分布列为超几何分的分布列为超几何分布列，则称随机变量布列，则称随机变量X服从服从 .返回目录返回目录 超几何分布超几何分布 X01mP名师伴你行考点考点考点考点1 1 随机变量分布随机变量分布随机变量分布随机变量分布投掷均匀硬币一次投掷均匀硬币一次,随机变量为随机变量为 .掷硬币的次数掷硬币的次数出现正面的次数出现正面的次数出现正面或反面的次数出现正面或反面的次数出现正面与反面次数之和出现正面与反面次数之和返回目录返回目录 名师伴你行 【分析分析分析分析】在一次随机试验中在一次随机试验中,用来描述此随机试验用来描述此随机试验的随机变量的形式多种多样的随机变量的形式多种多样,但不论选其中的哪一种形但不论选其中的哪一种形式式,它对应的都是随机试验所有可能出现的结果它对应的都是随机试验所有可能出现的结果.同时同时,随机变量在选定标准之后随机变量在选定标准之后,它是变化的它是变化的.【解析解析解析解析】掷一枚硬币掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上可能出现的结果是正面向上或反面向上或反面向上.以一个标准如正面向上次数来描述这一随以一个标准如正面向上次数来描述这一随机试验机试验,那么正面向上的次数就是随机变量那么正面向上的次数就是随机变量,的取值是的取值是0,1,故选故选.而而中掷硬币的次数就是中掷硬币的次数就是1,不是随机变量不是随机变量;项中标准模糊不清项中标准模糊不清;中出现正面和反面次数的和必中出现正面和反面次数的和必是是1,对应的是必然事件对应的是必然事件,试验前便知是必然出现的结果试验前便知是必然出现的结果,也不是随机变量也不是随机变量.返回目录返回目录 名师伴你行 在一次随机试验中在一次随机试验中,随机变量的取值实质是随机试随机变量的取值实质是随机试验结果对应的数验结果对应的数,但这个数是预先知道所有可能的值但这个数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一个值而不知道究竟是哪一个值,这便是这便是“随机随机”的本源的本源.本本题容易误选题容易误选C，认为出现正面记为，认为出现正面记为=1，出现反面记为，出现反面记为=0，则随机变量，则随机变量是表示出现正面或反面的次数是表示出现正面或反面的次数.返回目录返回目录 名师伴你行将一颗骰子掷将一颗骰子掷2次次,两次掷出的最大点数为两次掷出的最大点数为Z,写出写出Z的所的所有可能的值有可能的值.可能出现的值为可能出现的值为1,2,3,4,5,6.返回目录返回目录 名师伴你行考点考点考点考点2 2 求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列某人参加射击，击中目标的概率为某人参加射击，击中目标的概率为 .（1）设）设为他射击为他射击6次击中目标的次数，求随机变量次击中目标的次数，求随机变量的的分布列；分布列；（2）若他连续射击）若他连续射击6次，设次，设为他第一次击中目标前没为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求有击中目标的次数，求的分布列；的分布列；（3）若他只有）若他只有6颗子弹，若击中目标，则不再射击，颗子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数否则子弹打完，求他射击次数的分布列的分布列.返回目录返回目录 名师伴你行 【分析分析分析分析】这这4个小题中的随机变量的意义都很接近，个小题中的随机变量的意义都很接近，因此准确定义随机变量的意义是解答的关键因此准确定义随机变量的意义是解答的关键.【解析解析解析解析】（1）随机变量）随机变量服从二项分布服从二项分布B(6,)，而，而的的取值为取值为0,1,2,3,4,5,6,则则 (=k)=(k=0,1,2,3,4,5,6).故的分布列为：故的分布列为：0123456P返回目录返回目录 名师伴你行 （2）设）设=k表示前表示前k次未击中目标，而第次未击中目标，而第k+1次击中次击中目标，目标，的取值为的取值为0,1,2,3,4,5，当，当=6时表示射击时表示射击6次均未次均未击中目标，则击中目标，则 P(=k)=(k=0,1,2,3,4,5)，则，则P(=6)=.故故的分布列为：的分布列为：0123456P返回目录返回目录 名师伴你行 （3）设）设=k表示前表示前k-1次未击中，而第次未击中，而第k次击中，次击中，k=1,2,3,4,5,P(=k)=(k=1,2,3,4,5)；而；而=6表表示前示前5次未击中，次未击中，P(=6)=.故故的分布列为：的分布列为：123456P返回目录返回目录 名师伴你行 从上面各小题可以看出求随机变量的分布列，必须从上面各小题可以看出求随机变量的分布列，必须首先弄清首先弄清的含义及的含义及的取值情况，并准确定义的取值情况，并准确定义“=k”,问题解答完全后应注意检验分布列是否满足问题解答完全后应注意检验分布列是否满足第二条性质第二条性质.注意射击问题与返回抽样问题是同一类问注意射击问题与返回抽样问题是同一类问题题.返回目录返回目录 名师伴你行从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同.在下列三种在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列的分布列.（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批 产品中产品中.返回目录返回目录 名师伴你行（1）的取值为的取值为1,2,3,4.当当=1时，即只取一次就取得合格品，时，即只取一次就取得合格品，故故P（=1）=.当当=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故故P（=2）=.类似地，有类似地，有P（=3）=,P(=4)=.所以，所以，的分布列为：的分布列为：返回目录返回目录 名师伴你行1234P返回目录返回目录 名师伴你行（3）的取值为的取值为1,2,3,4.当当=1时，即第一次就取到合格品，故时，即第一次就取到合格品，故P(=1)=.当当=2时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时，这批产品有第二次再取时，这批产品有11个合格品，个合格品，2个次品个次品,故故P(=2)=;类似地，类似地，P(=3)=,P(=4)=.返回目录返回目录 名师伴你行1234P因此，因此，的分布列为：的分布列为：返回目录返回目录 名师伴你行考点考点考点考点3 3 分布列的应用分布列的应用分布列的应用分布列的应用袋中装着标有数字袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各的小球各2个个,从袋中任取从袋中任取3个小球个小球.按按3个小球上最大数字的个小球上最大数字的9倍计分倍计分,每个小球被每个小球被取出的可能性都相等取出的可能性都相等,用用X表示取出的表示取出的3个小球上的最大个小球上的最大数字数字.求求:(1)取出的取出的3个小球上的数字互不相同的概率个小球上的数字互不相同的概率;(2)随机变量随机变量X的概率分布列的概率分布列;(3)计分介于计分介于20分到分到40分之间的概率分之间的概率.返回目录返回目录 名师伴你行 【分析分析分析分析】(1)是古典概型是古典概型;(2)关键是确定关键是确定X的所有可能取值的所有可能取值;(3)计分介于计分介于20分到分到40分之间的概率等于分之间的概率等于X=3与与X=4的概率之和的概率之和.【解析解析解析解析】(1)解法一解法一:“一次取出的一次取出的3个小球上的数个小球上的数字字互不相同的事件记为互不相同的事件记为A，则，则P（A）=返回目录返回目录 名师伴你行 解法二解法二：“一次取出的一次取出的3个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A，“一次取出的一次取出的3个小球上有两个数字个小球上有两个数字相同相同”的事件记为的事件记为B，则事件，则事件A和事件和事件B是对立事件，是对立事件，因为因为P（B）=.所以所以P(A)=1-P(B)=1-=.(2)由题意由题意,X所有可能的取值为所有可能的取值为2,3,4,5.P(X=2)=;P(X=3)=;返回目录返回目录 名师伴你行P(X=4)=;P(X=5)=.所以随机变量所以随机变量X的概率分布列为的概率分布列为:X2345P返回目录返回目录 名师伴你行 (3)“一次取球所得计分介于一次取球所得计分介于20分到分到40分之间分之间”的的事件记为事件记为C，则，则 P(C)=P(X=3或或X=4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.把所求事件的概率转化为分布列中的基本事件或由基本把所求事件的概率转化为分布列中的基本事件或由基本事件组成的事件的概率问题是用分布列解决问题的关键事件组成的事件的概率问题是用分布列解决问题的关键.返回目录返回目录 名师伴你行一袋装有一袋装有6个同样大小的黑球，编号为个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,现从现从中随机取出中随机取出3个球，以个球，以表示取出的球的最大号码，求表示取出的球的最大号码，求的分布列及的分布列及P(4).随机变量随机变量的取值为的取值为3,4,5,6.从袋中随机地取从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为个球，包含的基本事件总数为 ，事件，事件“=3”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 ，事件，事件“=4”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 ；事件；事件“=5”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 ；事件；事件“=6”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 ,从而有从而有返回目录返回目录 名师伴你行P(=3)=，P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=.随机变量随机变量的分布列为：的分布列为：或或P(4)=P(=4)+P(=5)+P(=6)=+=或或P(4)=1-P(4)=1-=.3456P返回目录返回目录 名师伴你行考点考点考点考点4 4 超几何分布超几何分布超几何分布超几何分布在一次购物抽奖活动中，假设某在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券张券中有一等奖券1张，可获价值张，可获价值50元的奖品；有二等奖券元的奖品；有二等奖券3张，每张可张，每张可获价值获价值10元的奖品；其余元的奖品；其余6张没有奖张没有奖.某顾客从此某顾客从此10张中任抽张中任抽2张张.求：求：（1）该顾客中奖的概率）该顾客中奖的概率;（2）该顾客获得的奖品总价值）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列（元）的概率分布列.返回目录返回目录 名师伴你行 【分析分析分析分析】利用超几何分布公式计算，注意分清利用超几何分布公式计算，注意分清N，M，n,k的取值分别是多少的取值分别是多少.【解析解析解析解析】（1)P=1-.或或P=即该顾客中奖的概率为即该顾客中奖的概率为 .返回目录返回目录 名师伴你行 （2）X的所有可能值为的所有可能值为:0,10,20,50,60(元元)，且，且P(X=0)=,P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=50)=,P(X=60)=.故故X的分布列为的分布列为:X010205060P返回目录返回目录 名师伴你行本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力的能力.返回目录返回目录 名师伴你行某校组织一次冬令营活动某校组织一次冬令营活动,有有8名同学参加名同学参加,其中有其中有5名男同名男同学学,3名女同学名女同学,为了活动的需要为了活动的需要,要从这要从这8名同学中随机抽名同学中随机抽取取3名同学去执行一项特殊任务名同学去执行一项特殊任务,记其中有记其中有X名男同学名男同学.(1)求求X的分布列的分布列;(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率求去执行任务的同学中有男有女的概率.返回目录返回目录 名师伴你行(1)XH(3,5,8),X可取可取0,1,2,3.P(X=0)=P(X=1)=(X=2)=P(X=3)=X的分布列为的分布列为:(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为：去执行任务的同学中有男有女的概率为：P(X=1)+P(X=2)=+=.X0123P返回目录返回目录 名师伴你行 1.1.离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：p pi i0(i=1,2,n)0(i=1,2,n)与与与与 是确定分布列中参数值的是确定分布列中参数值的是确定分布列中参数值的是确定分布列中参数值的依据依据依据依据.2.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定况确定况确定况确定 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知的取值情况，然后利用排列、组合与概率知的取值情况，然后利用排列、组合与概率知的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出识求出识求出识求出 取各个值的概率取各个值的概率取各个值的概率取各个值的概率.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行