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四边形 常见辅助线 提高【题型一】若一个四边形的一组对角为直角，且其中一个直角的两边相等，则可以作两条垂线，可以构造出一个正方形 其实，这个图也可以看做是把AND旋转以后得到的正方形，应用举例1如图，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A2B3CD发散思维：也可以连接BD，旋转BDC会得到一个什么形？2.如图，在四边形ABCD中，A=90， ABC与ADC互补.（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图5上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值.3在ABC中，ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)若AB=AC，BAC=90那么 如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是 （直接写结论） 如图二，当点D在线段BC的延长线上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由。（2）若ABAC，BAC90。点D在线段BC上，那么当ACB等于多少度时，线段CF与BD之间的位置关系仍然成立。请画出相应图形，并说明理由。 图（一） 图（二）【题型二】四边形一边上的动点到两对角线距离之和1已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值2如图，矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，P是AD上任一点，PEAC于点E，PFBD于点F。求PE+PF的值。3如图，ABC中，AB=AC，AD、AE分别是BAC及其外角CAF 的平分线，CEAE（1）求证：AB=DE（2）若，AD=8，P为线段CE上的动点，设x为点P到直线AC的距离，y为点P到直线AB的距离，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围【题型三】正方形内部有垂直线段，则一定有全等或可以构造全等；1（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90.求证：BECF.(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF4.求GH的长. 图1 图22如图1，在正方形中，分别为边上的点，连接交点为如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 图1 图2矩形内部有垂直线段，则一定有相似或可以构造相似；3小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形中，作交于，交于，求证：；（2）如图2，正方形中，点分别在上，点分别在上，且，求的值；（3）如图3，矩形中，点分别在上，且，求的值 图1 图2 图34如图，矩形ABCD，M为CD中点，点E在线段MC上运动，GH垂直平分AE，垂足为O，分别交于AD、BC于点G、H，AB=3，BC=4（1）求AE：GH；（2）设，四边形AHEG的面积为，求关于的函数关系式；当取最大值时，判断四边形AHEG的形状，并说明理由 【题型四】连接四边中点所得到的四边形1顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形2顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形3顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形4顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【题型五】有角互余，则暗示应该构造直角三角形：让这组互余角成为一个三角形的内角1如图，在梯形ABCD中，DCAB，AB=90。若AB=10，AD=4，DC=5，则梯形ABCD的面积为 。2已知在梯形ABCD中，AD/BC，B与C互余，AD=5，BC=13，c=60,则该梯形的面积为 3上底长为3，下底长为15，若此两个底角，则两底中点间的距离为 【题型六】线段旋转90，必有全等三角形1在直角坐标系中，已知点A，O是坐标原点若连接OA，将OA绕点O逆时针得到OB，则点B的坐标是 2如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将BA绕点B顺时针得到BA，则点A的坐标是 图1 图23 如图2，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至DE，连接AE、CE，ADE的面积为3，则BC的长为 【题型七】直角顶点在正方形中心，必有全等；直角顶点在矩形中心，必有相似1.如图，两个正方形的边长均为1，其中一个的顶点在另一个的中心，则两个正方形重合部分的面积为_ 2.一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：（1）把正方形ABCD与等腰RtPAQ如图1所示重叠在一起，其中PAQ=90，点Q 在边BC上，连接PD，求证：ADPABQ（2）如图2，O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM=ON（3）如图3，将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的关系式 图1 图2 图3【能力提升】1如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，BDDC，BD=DC，CE平分BCD，交AB于点E，交BD于点H，ENDC交BD于点N，下列结论：BH=DH；CH=EH；.其中正确的是（ ） A B只有 C只有 D只有 图3 图42如图4，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 3. （2011湖北武汉市）如图5，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H下列结论：（ ） AEDDFB；S四边形BCDG= CG2；若AF=2DF，则BG=6GF其中正确的结论A只有 B只有 C只有 D 图5 图64.已知：如图6，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点若， 下列结论：；点到直线的距离为；其中正确结论的序号是（ ）A B C D 5. （2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB45，CD 2，BDCD 过点C作CEAB于E，交对角线BD于F点G为BC中点，连结EG、AF(1)求EG的长；(2)求证：CF AB AF6如图，在中，点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点过点作交直线于点，设直线的旋转角为 （1）当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由7如图，在梯形ABCD中，ADBC,E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，C=，点P是BC边上一动点，设PB长为x.(1)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.(2)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形. (3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.8. （2011湖北咸宁，22，10分）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长 9（2010 江苏连云港）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图1，梯形ABCD中，ABDC，如果延长DC到E，使CEAB，连接AE，那么有S梯形ABCDSADE请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，SADCSABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由 图1 图2 10（2011营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明） 图（1） 图（2） 图（3）11（2009山东德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 图 图 图【厦门中考】1(9分)已知四边形ABCD，ADBC，连接BD(1)小明说：“若添加条件BD2BC2CD2，则四边形ABCD是矩形”你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明(2)若BD平分ABC，DBCBDC，tanDBC1，求证：四边形ABCD是正方形2如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，.(1) 求证：四边形是平行四边形(2) 若,求证.3已知：如图，四边形ABCD中，BAC=ACD=90，B =D。（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3厘米，BC=5厘米，AE=AB，点P从B点出发，以1厘米/秒的速度沿边BCCDDA运动至A点停止。从运动开始，经过多少时间，以点E、B、P为顶点的三角形成为等腰三角形10 / 10
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