列方程解决实际问题

列方程解决实际问题 制作人：张少轩 一、内容概述 1、根据具体问题中的数量关系列二元一次方程组解应用题 2、列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （ 1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； （ 2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x、 y）； （ 3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系； （ 4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组 成方程组； （ 5）解：解所列方程组，得未知数的值； （ 6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。 3、在列方程解应用题时，常遇到的等量关系有： （ 1）行程问题：在行程问题中有三个量：速度、时间、距离。 其关系式是：速度 时间 =距离。 （ 2）工程问题：工程问题中也有三个量：工作效率、工作时间、工作量。 其关系式为：工作效率 工作时间 =工作量 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地将工作 总量设为 1，也可以设为 a，应根据题目的特点合理选用。工程问题也经常利用线段图或列 表法进行分析。 （ 3）几何问题：初中数学学习过程中，许多几何问题是借助代数知识解决的，这样就出 现了几何与代数 的综合性题目。这类题目是近几年中考及竞赛中常见的题型，学习时应引起注意。 （ 4）利率问题：利息 =本金 利率 时间。 （ 5）利润问题：利润率 = 100% （ 6）数字问题： =100a+10b+c。 二、知识归纳 1、常见的行程问题可分为四种情况，它们分别是：平路；上、下坡路；环路； 水路。常见的行程问题分成两大类型：相遇问题和追击问题。 （ 1）相遇问题：两人从不同地点出发，相向而行，直到相遇。 （ 2）追击问题： 两人同地不同时，同向而行，直到后者追上前者，其等量关系是：两人 所走路程相等，（两人所用时间不同） 两人同时不同地，同向而行，直到后者追上前者，其等量关系是：两人 所走的路程之差等于已知两地距离。（两人所用时间相同） 两人不同时不同地，同向而行，直到后者追上前者，其等量关系是：两 人所走路程之差等于两地的距离。（两人所用时间不同） 注意环路与直路的区别，例如在环路问题中，若两人同时同地出发，同向 而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长。 水路行船问题：顺水速度 =静水速度 +水流速度； 逆水速度 =静水速度 -水流速度。 解行程问题的应用题时，通常采用线段图或列表进行分析，从而正确地找 出等量关系，列出方程（组）解决问题。 2、解有关增长率问题时，要掌握下面的基本等量关系式： 原量 （ 1+增长率） =增长后的量， 原量 （ 1-减少率） =减少后的量。 3、解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组） 求解题。 4、含有两个未知量的应用题，一般列出二元一次方程组比列一元一次方程 要容易些，解应用题时要养成检验的良好习惯，一是检验所求得解是否符合 方程组，二是检验是否符合实际意义。 三、典型例题 例 1、已知某电脑公司有 A型、 B型、 C型三种型号的电脑，其价格分别为 A型 每台 6000元， B型每台 4000元， C型每台 2500元，我市东坡中学计划将 100500 元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36台，请你设计 出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。 分析：运用分类讨论的数学思想，借助方程组的数学模型求解 解：设购买 A型、 B型、 C型三种型号的电脑分别为 x台， y台， z台。 （ 1）如果只购买 A型和 B型电脑，依题意，得 不合题意，舍去 （ 2）如果只购买 B型和 C型电脑，则有 符合题意； （ 3）如果只买 A型和 C型电脑，则 符合题意； 综上所述，有两种方案可选择； 即购买 B型电脑 7台， C型电脑 29台，或购 A型电脑 3台， C型电脑 33台。 例 2、张华到银行以两种形式分别存了 2000元和 1000元，一年后全部取出，扣除利 息所得税后可得到利息 43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储 蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税 =利息全额 20%） 解：设 2000元、 1000元的年利率分别为 x%和 y%，则根据题意，得方程组 解方程组， x=2.25， y=0.99， 答：两种储蓄的年利润分别为 2.25%和 0.99%。 注意：与利息相关的实际应用问题是中考中的热点题型，同学们千万要注意。 例 3、某家具厂生产一种方桌，设计时 1立方米的木材可做 50个桌面，或 300条桌腿， 现有 10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好 配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有 1个桌面， 4条桌腿） 解：设用 x立方米的木材做桌面， y立方米的木材做桌腿，根据题意， 经检验符合题意， 此时，可做方桌为 50 6=300（张） 答：用 6立方米的木材做桌面， 4立方米的木材做桌腿，可做 300张方桌。 例 4：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为 600米的圆形轨道上运动。甲车的速度 较快，当两车反向运动时，每 15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每 1分钟相遇 一次，求两车的速度。 解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒 y米，根据题意，得 经检验，符合题意 答：甲、乙两车的速度分别为 25米 /秒， 15米 /秒。