《空间曲线及其方程》PPT课件.ppt

第八章 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、空间曲面或立体在坐标面上的 投影 . 的交线和可看成是两个曲面空间曲线 21 SSC 一、空间曲线的一般方程 x y z O 1S 2S C . ,),(: ,),(: C zyxGSzyxFS 它们的交线为 为设两个曲面的方程 00 21 .),( ,),( , 0 0 zyxG zyxF C 所以应满足方程组 的方程标应同时满足两个曲面 上任何点的坐因为曲线 ., , , 程组所以它的坐标不满足方时在两个曲面上 那么它不可能同上不在曲线如果点反之 CM .),( ,),( 0 0 zyxG zyxFC 的一般方程空间曲线 x y z O 1S 2S C ? 632 ,122 表示怎样的曲线方程组 zx yx . 632 1 22 表示二者的交线 zx yx 例 1 , 122 表示圆柱面因为 yx . 632 表示平面 zx 解 x z y1 o C 2 -5 0 5 x -5 0 5 y -10 -5 0 5 10 z -5 0 5 x -5 0 5 y -10 -5 0 5 10 z 例 2 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线 C. y x z a : 函数 的表示为参数、上动点的坐标如果将 tzyxC ).( ),( ),( tzz tyy txx . );,( , 1111 上的全部点的变动便可得到曲线随着 上的一个点就得到时当给定 Ct zyxCtt 这样的方程组叫做空间曲线的参数方程 . 二、空间曲线的参数方程 z yx o vbt ,令 bh 2上升高度 , 称为 螺距 . M . ), ( , 222 的轨迹曲线叫螺旋线 那么点都是常数、其中轴的正方向上升 沿平行于同时又以线速率轴旋转绕角速率 上以在圆柱面如果空间一点 Mvz vz ayxM , 为参数取时间 t 例 3. 则螺旋线的参数方程为 例 4 将下列曲线化为参数方程表示 : 解 : (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 .0),( ,0),( zyxG zyxF C 的一般方程为设空间曲线 .0),( yxH z 后得到方程从方程组中消去变量 三、空间曲线在坐标面上的投影 . , , 面上 所表示的曲上的所有点都在由方程这说明曲线 必定满足方程、满足方程组时和、当 C yxzyx z y x C C .0),(0),( ,0),( yxH zyxG zyxF z消去变量 . , 0),( C z yxH 含曲线 这个柱面必定包轴的柱面平行于 表示一个母线方程 . 面的投影柱面关于 轴的柱面叫做曲线平行于 为准线、母线以曲线 xO y Cz C ., 简称投影面上的投影曲线 在面的交线叫做空间曲线投影柱面与 Cx O y Cx O y z y x C C . 0),( 面的投影柱面 关于所表示的柱面必定包含方程 x O y CyxH . 0 ,0),( 面上的投影 在曲线必定包含空间曲线 所表示的方程 xO yC z yxH z y x C C 则 C 在 xoy 面上的投影曲线 C为 0 0),( z yxH 面上的投影的曲线方程在包含曲线 x O zC 面上的投影的曲线方程在包含曲线 y OzC .0 ,0),( 0),( ,0),( x zyR zyxG zyxF x消去 .0 ,0),( 0),( ,0),( y zxT zyxG zyxF y 消去 投影曲线的研究过程 空间曲线 投影柱面 投影曲线 . ,1)1()1( ,1 222222 面上的投影方程在求它们的交线 已知两球面的方程为 x OyC zyxzyx 例 5 ,1 , yz z 得到 从方程组中消去解 方程得 再代入其中任意一个 ,022 22 yyx z y x C 1 o .程面的投影柱面方关于这就是交线 x O yC .0 ,022 22 z yyx x Oy 面上的投影方程为于是两球面的交线在 -1 -0.5 0 0.5 1 x 0 0.25 0.5 0.75 1 y -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 z z y x C 1 o -1 -0.5 0 0.5 1 x -1 0 1 2 y -1 0 1 2 z z x y o 1 C 在 xoy 面上的 投影曲线 . 例 6 求曲线 .0 ,122 z yx 所以曲线 C在 xoy 面的投影曲线为 解 : 从方程组消去 z, 得 . 2 1 1222 在坐标面上的投影求曲线 z zyx 4 3 )1( 22 yxz 后得消去变量 -1 -0.5 0 0.5 1 x -1 -0.5 0 0.5 1 y -0.5 0 0.5 1 z .0 , 4 322 z yx x Oy 面上的投影为圆周在 例 6 解 ,21)2( 上的圆周空间曲线为平面 z . 2 3 ,0 , 2 1 x y zx Oz 面上的投影为线段所以在 面上的投影也为线段在 y O z)3( . 2 3 ,0 , 2 1 y x z z x y o 1 C 四、空间曲面或立体在坐标面上的投影 所围的立体在 xoy 面上的 投影区域为 : 如上半球面 和锥面 在 xoy 面上的 投影曲线 二者交线 .0,122 zyx 所围圆域 : 二者 交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 求两曲面交线 求投影曲线 求投影曲线 所围区域 在各坐标面上的投影椭圆抛物面 zyx 222 -10 -5 0 5 10 x -10 -5 0 5 10 y 0 20 40 z 单叶双曲面在各坐标面上的投影 内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如 , 圆柱螺线 ) 思考与练习 P37 题 1， 2， 7（ 展示空间图形 ） P37 题 1 (2) o z y x o 1 2 1x 2y (1) 224 yxz 0 xy x z yo 2 答案 : (3) z x y o a a 222 azx 222 ayx P37 题 2 (1) o z y 15 xy 3 xy 15 xy 3 xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y z 2x 3 思考 : by 对平面 交线情况如何 ? 交线情况如何 ? P37 题 2(2) 1 94 22 yx 3y P37 题 7 0 22 z axyx 0 )0,0(222 y zxazx y x z a y x z a . 1283 442 22 22 程轴的柱面方程的交线方轴与行于 化成母线平把曲线方程 zx zxzy zxzy 轴的柱面方程得母线平行于消去 xx , 面的交线方程为 轴的柱轴与母线平行于于是所给曲线方程化为 zx ,04 , 2 xyzz 轴的柱面方程得母线平行于消去 ,4)2( ,2055 2222 zyzzy 即 .04 ,4 2 22 xy zzy 思考： 解