求极限的方法及例题总结解读

1.定义:阐明：(1）某些最简朴的数列或函数的极限（极限值可以观测得到）都可以用上面的极限严格定义证明,例如:；()在背面求极限时，（1）中提到的简朴极限作为已知成果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。运用导数的定义求极限这种措施规定纯熟的掌握导数的定义。2极限运算法则定理1 已知，都存在，极限值分别为A,则下面极限都存在，且有（）(2)(3)阐明:极限号下面的极限过程是一致的；同步注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。运用极限的四则运算法求极限这种措施重要应用于求某些简朴函数的和、乘、积、商的极限。一般状况下,要使用这些法则，往往需要根据具体状况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等措施变形后，再运用极限运算法则求极限例1 解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例2 解：原式=。例3 解:原式。3.两个重要极限(1)(2）；阐明：不仅要可以运用这两个重要极限自身,还应可以纯熟运用它们的变形形式,例如：，；等等。运用两个重要极限求极限例解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7 解:原式=。4.等价无穷小定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时,下列函数都是无穷小（即极限是0），且互相等价,即有:。阐明:当上面每个函数中的自变量x换成时(）,仍有上面的等价关系成立,例如:当时,;。定理4 如果函数都是时的无穷小,且,，则当存在时,也存在且等于，即=。运用等价无穷小代换(定理）求极限例9解：，原式=。例10 解：原式=。注:下面的解法是错误的:原式=。正如下面例题解法错误同样：。例11 解:,因此，原式=。（最后一步用到定理2)五、运用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替代求极限常常行之有效。例 1. . 1/21洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大；(2)和都可导，且的导数不为0；(3)存在(或是无穷大）;则极限也一定存在，且等于,即=。阐明：定理称为洛比达法则,用该法则求极限时，应注意条件与否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）与否满足，即验证所求极限与否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件()则在求导完毕后可以懂得与否满足。此外，洛比达法则可以持续使用，但每次使用之前都需要注意条件。运用洛比达法则求极限阐明：当所求极限中的函数比较复杂时，也也许用到前面的重要极限、等价无穷小代换等措施。同步，洛比达法则还可以持续使用。例12 (例4）解:原式=。(最后一步用到了重要极限)例1 解:原式=。例14解:原式=。(持续用洛比达法则，最后用重要极限)例15 解：先用等价无穷小，再用洛必达法则例18解：错误解法：原式=。对的解法：应当注意,洛比达法则并不是总可以用，如下例。例9解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：,此极限不存在，而本来极限却是存在的。对的做法如下：原式(分子、分母同步除以x) （运用定理1和定理2)持续性定理6一切持续函数在其定义去间内的点处都持续,即如果是函数的定义去间内的一点，则有。运用函数的持续性(定理6）求极限例4 解：由于是函数的一种持续点,因此原式=。7极限存在准则定理7（准则1)单调有界数列必有极限。四、运用单调有界准则求极限一方面常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1 设，求极限。定理8(准则2)已知为三个数列,且满足：（1)（2)，则极限一定存在，且极限值也是a,即。1.夹逼定理运用极限存在准则求极限例2 已知，求解：易证:数列单调递增，且有界（），由准则1极限存在,设。对已知的递推公式两边求极限,得：,解得:或(不合题意,舍去）因此。例2 解：易见:由于，因此由准则2得:。9.洛必达法则与等价无穷小替代结合法对于某些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。 1.泰勒展开法 2.运用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限,因此某些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。 8.运用复合函数求极限十、运用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是:若级数收敛,则,故对某些极限，可将函数作为级数的一般项,只须证明此技术收敛,便有。例十一、运用幂级数的和函数求极限当数列自身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一种函数项级数(一般为幂级数,有时为Fouier级数)。使得规定的极限正好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求7等比等差数列公式应用(对付数列极限）(q绝对值符号要不不小于）8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)（对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如懂得Xn与X+的关系，已知Xn的极限存在的状况下，的极限与x+1的极限时同样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化11尚有个措施,非常以便的措施就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不同样的!！!！!！!！!x的次方快于x！ 快于指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢)!！!当x趋近无穷的时候她们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中1直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候,在分子上(x加减麽个值)加减（)的形式, 看见了有特别注意) 读书的好处1、行万里路，读万卷书。、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。3、读书破万卷，下笔如有神。4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。达尔文5、少壮不努力,老大徒悲哀。6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。颜真卿、宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。8、读书要三到:心到、眼到、口到9、玉不琢、不成器,人不学、不知义。10、一日无书，百事荒废。陈寿1、书是人类进步的阶梯。12、一日不读口生，一日不写手生。3、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。高尔基4、书到用时方恨少、事非通过不知难。陆游5、读一本好书,就犹如和一种崇高的人在交谈歌德16、读一切好书，就是和许多崇高的人谈话。笛卡儿17、学习永远不晚。高尔基1、少而好学,如日出之阳;壮而好学,如日中之光；志而好学，如炳烛之光。刘向19、学而不思则惘，思而不学则殆。孔子0、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。培根