中考数学专题题库∶二次函数的综合题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B，求O AB的面积【答案】（1）y=x22x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A、B的坐标由于OAB不规则，可用面积割补法求出OAB的面积【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，5）代入得：a=1，该函数的解析式为：y=（x+1）2+4=x22x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A（2，4），B（5，5），SOAB=（2+5）92455=15【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2已知，抛物线yax2+ax+b（a0）与直线y2x+m有一个公共点M（1，0），且ab（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求DMN的面积与a的关系式；（3）a1时，直线y2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围【答案】（1）b=2a，顶点D的坐标为（，）；（2）；（3） 2t【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据ab，判断a0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围【详解】解：（1）抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），a+a+b=0，即b=-2a，y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，抛物线顶点D的坐标为（-，-）；（2）直线y=2x+m经过点M（1，0），0=21+m，解得m=-2，y=2x-2，则，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=-2，N点坐标为（-2，-6），ab，即a-2a，a0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，抛物线对称轴为，E（-，-3），M（1，0），N（-2，-6），设DMN的面积为S，S=SDEN+SDEM=|（ -2）-1|-（-3）|=a，（3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，由，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，G（-1，2），点G、H关于原点对称，H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，=1-4（t-2）=0，t=，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2t【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大3在平面直角坐标系中，有两点、，若满足：当时，；当时，则称点为点的“友好点”.（1）点的“友好点”的坐标是_.（2）点是直线上的一点，点是点的“友好点”.当点与点重合时，求点的坐标.当点与点不重合时，求线段的长度随着的增大而减小时，的取值范围.【答案】（1）；（2）点的坐标是或；当或时，的长度随着的增大而减小；【解析】【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线上，得到；当点和点重合，得解出即可，当点A和点B不重合， 且所以对a分情况讨论，1、当或时，所以当a时，的长度随着的增大而减小，即取2当时，当时，的长度随着的增大而减小，即取 综上，当或时，的长度随着的增大而减小【详解】（1）点，41，根据“友好点”定义，得到点的“友好点”的坐标是（2）点是直线上的一点，根据友好点的定义，点的坐标为， 当点和点重合，解得或 当时，；当时，点的坐标是或 当点A和点B不重合，且当或时， 当a时，的长度随着的增大而减小，取当时， 当时，的长度随着的增大而减小，取 综上，当或时，的长度随着的增大而减小【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB的长用a进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论4如图，直线y-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线yax2+bx3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DEx轴于点E，连接AD，DC设点D的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若EADOBC，请直接写出此时点D的坐标【答案】(1)yx2+x3；(2)SADC=(m+3)2+；ADC的面积最大值为；此时D(3，)；(3)满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，根据SADCSADF+SDFC求出解析式，再求最值；（3）当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在yx3中，当y0时，x6，即点A的坐标为：(6，0)，将A(6，0)，B(2，0)代入yax2+bx3得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2+x3；(2)设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，设DE与AC的交点为点F.DFm3(m2+m3)m2m，SADCSADF+SDFCDFAE+DFOEDFOA(m2m)6m2m(m+3)2+，a0，抛物线开口向下，当m3时，SADC存在最大值，又当m3时，m2+m3，存在点D(3，)，使得ADC的面积最大，最大值为；(3)当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，由，解得或，此时直线AD与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21) 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题.5如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P（1）当抛物线F经过点C时，求它的解析式；（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1x2-2，比较y1与y2的大小.【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）根据抛物线F：y=x2-2mx+m2-2过点C（-1，-2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得yP的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小.【详解】(1) 抛物线F经过点C（1，2），. m1=m2=-1. 抛物线F的解析式是. (2)当x=-2时，=. 当m=-2时，的最小值为2. 此时抛物线F的表达式是. 当时，y随x的增大而减小. 2，.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题6如图，抛物线yax2+bx+4与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE2：1，求E点坐标；（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）点P的坐标P1（1，0）或P2（7，0）或P3（，0）或P4（，0）【解析】【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D点在对称轴时是DAC周长最小的点，先求出直线BC，然后D点横坐标是1，直接代入直线BC求出纵坐标即可 （3）作EHAB交BC于H，则FABFEH，FBAFHE，易证ABFEHF，得,得EH=2，设E（x，），则H（x2，），yEyH，解出方程x1或x2，得到E点坐标 （4）PBN是等腰三角形，分成三种情况，BPBC时，利用等腰三角性质直接得到P1（1，0）或P2（7，0），当NBNP时，作NHx轴，易得NHBCOB，利用比例式得到NH、 BH从而得到 PHBH，BP，进而得到OP，即得到P点坐标，当PNPB时，取NB中点K，作KPBN，交x轴于点P，易得NOBPKB，利用比例式求出PB，进而得到OP，即求出P点坐标【详解】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入yax2+bx+4，得 解得a，b，抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴为直线x1，D的横坐标为1，由（1）可得C（0，4），B（3，0），直线BC：DADB，DAC的周长AC+CD+ADAC+CD+BD，连接BC，与对称轴交于点D，此时CD+BD最小，AC为定值，此时DAC的周长，当x1时，y1+4，D（1，）；（3）作EHAB交BC于H，则FABFEH，FBAFHE，ABFEHF，AF：FE2：1，AB4，EH2，设E（x，），则H（x2，）EHAB，yEyH，=解得x1或x2，y或4，E（1，）或（2，4）；（4）A（1，0）、B（3，0），C（0，4）AB4，OC4，点M运动到点A时，BMAB4，BN4，PBN是等腰三角形，BPBC时，若P在点B左侧，OPPBOB431，P1（1，0），若P在点B右侧，OPOB+BP4+37，P2（7，0）；当NBNP时，作NHx轴，NHBCOB，NHOC， BHBC，PHBH，BP，OPBPOB，P3（，0）；当PNPB时，取NB中点K，作KPBN，交x轴于点P，NOBPKB，PB，OPOBPB3P4（，0）综上，当PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（1，0）或P2（7，0）或P3（，0）或P4（，0）【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键7如图1，二次函数的图像与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点.（1）求二次函数的表达式及点、点的坐标;（2）若点在二次函数图像上，且，求点的横坐标;（3）将直线向下平移，与二次函数图像交于两点(在左侧)，如图2，过作轴，与直线交于点，过作轴，与直线交于点，当的值最大时，求点的坐标.【答案】（1）y，A（1，0），B（4，0）；（2）D点的横坐标为2+2，22，2；（3）M（，）【解析】【分析】（1）求出a，即可求解；（2）求出直线BC的解析式，过点D作DHy轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M作MGx轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2m3），N（n，n2n3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据MENF，求出m+n4，再确定ME+MNm2+3m+5m（m）2+，即可求M；【详解】（1）yax23ax4a与y轴交于点C（0，3），a，yx2x3，与x轴交点A（1，0），B（4，0）；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，yx3；过点D作DHy轴，与直线BC交于点H，设H（x，x3），D（x，x2x3），DH|x23x|，SABC，SDBC6，SDBC2|x23x|6，x2+2，x22，x2；D点的横坐标为2+2，22，2；（3）过点M作MGx轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2m3），N（n，n2n3），则E（m，m3），F（n，n3），MEm2+3m，NFn2+3n，EFMN，MENF，四边形MNFE是平行四边形，MENF，m2+3mn2+3n，m+n4，MGnm42m，NMGOBC，cosNMGcosOBC,B（4，0），C（0，3），OB4，OC3，在RtBOC中，BC5，MN（nm）（42m）5m，ME+MNm2+3m+5m（m）2+，0，当m时，ME+MN有最大值，M（，）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.8如图，抛物线的图象过点.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等又因为M在x轴上方，故有由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点 可设交点式 把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小如图1，连接PB、BC点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称当C、P、B在同一直线上时，最小最小设直线BC解析式为把点B代入得：，解得：直线BC：点使的周长最小，最小值为（3）存在满足条件的点M，使得SPAMSPAC当以PA为底时，两三角形等高点C和点M到直线PA距离相等M在x轴上方，设直线AP解析式为 解得：直线直线CM解析式为：解得：（即点C），点M坐标为【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单9如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）（1）求点B，C的坐标；（2）判断CDB的形状并说明理由；（3）将COB沿x轴向右平移t个单位长度（0t3）得到QPEQPE与CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围【答案】()B(3，0)；C(0，3)；()为直角三角形；().【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标（2）分别求出CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定CDB为直角三角形（3）COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：当0t时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；当t3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形【详解】解：()点在抛物线上，得抛物线解析式为：，令，得，；令，得或，.()为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点的坐标为.如答图1所示，过点作轴于点M，则，.过点作于点，则，.在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：.，为直角三角形. ()设直线的解析式为，解得，直线是直线向右平移个单位得到，直线的解析式为：；设直线的解析式为，解得：，.连续并延长，射线交交于，则.在向右平移的过程中：(1)当时，如答图2所示：设与交于点，可得，.设与的交点为，则：.解得，.(2)当时，如答图3所示：设分别与交于点、点.，.直线解析式为，令，得，.综上所述，与的函数关系式为：.10如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为求抛物线的解析式点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【答案】；当时，PBE的面积最大，最大值为；点N的横坐标为：4或或【解析】【分析】点B、C在直线为上，则B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，因此抛物线解析式：；先求出点P到BC的高h为，于是，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，所以解得（舍去），解得，（舍去），解得（舍去），【详解】解：点B、C在直线为上，B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，抛物线解析式：；由题意，得，由知，点P到BC的高h为，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，；，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键