信号与系统教案第2章.ppt

信号与系统 第 2-1页 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于 0-和 0+初始值 三、零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应 2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解 2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性 点击目录 ，进入相关章节 信号与系统 第 2-2页 LTI连续系统的时域分析，归结为： 建立并求解线 性微分方程 。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t，故 称为 时域分析法 。这种方法比较直观，物理概念清楚， 是学习各种变换域分析法的基础。 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a 1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b 1f(1)(t) + b0f (t) 信号与系统 第 2-3页 2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解： y(t)(完全解 ) = yh(t)(齐次解 ) + yp(t)(特解 ） 齐次解 是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a 1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。 yh(t)的函数形式 由上述微分方程的 特征根 确定。 例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（ 1）当 f(t) = 2e-t， t0； y(0)=2， y(0)= -1时的全解； （ 2）当 f(t) = e-2t， t0； y(0)= 1， y(0)=0时的全解。 特解 的函数形式与激励函数的形式有关。 P43表 2-1、 2-2 齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的 固有响应 或 自由响应 ； 特解 的函数形式由激励确定，称为 强迫响应 。 信号与系统 第 2-4页 2.1 LTI连续系统的响应 解 : (1) 特征方程为 2 + 5+ 6 = 0 其特征根 1= 2， 2= 3。齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 由表 2-2可知，当 f(t) = 2e t时，其特解可设为 yp(t) = Pe t 将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 其中 待定常数 C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ， C2 = 2 最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 信号与系统 第 2-5页 （ 2） 齐次解同上 。 当激励 f(t)=e2t时 ， 其指数与特征根 之一相重 。 由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以 P1= 1 但 P0不能求得 。 全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 将初始条件代入 ， 得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一项的系数 C1+P0= 2，不能区分 C1和 P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI连续系统的响应 信号与系统 第 2-6页 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于 0-和 0+初始值 若输入 f(t)是在 t=0时接入系统，则确定待定系数 Ci 时用 t = 0+时刻的 初始值 ，即 y(j)(0+) (j=0,1,2 ， n-1)。 而 y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统 的历史信息。 在 t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值 y(j)(0-)反映 了 系统的历史情况 而与激励无关。称这些值为 初始 状态 或 起始值 。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y(j)(0-)设法求得 y(j)(0+)。下列举例说明。 信号与系统 第 2-7页 例 ： 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知 y(0-)=2， y(0-)= 0， f(t)=(t)，求 y(0+)和 y(0+)。 解 ： 将输入 f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （ 1） 利用 系数匹配法 分析：上式对于 t=0-也成立，在 0-t 0 信号与系统 第 2-11页 2.1 LTI连续系统的响应 （ 2） 零状态响应 yf(t) 满足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yf(0-) = yf(0-) = 0 由于上式等号右端含有 (t)，故 yf”(t)含有 (t)，从而 yf(t) 跃变，即 yf(0+)yf(0-)，而 yf(t)在 t = 0连续，即 yf(0+) = yf(0-) = 0，积分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0 0 0 0 d)(62d)( tttty f 因此， yf(0+)= 2 yf(0-)=2 对 t0时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6 不难求得其齐次解为 Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数 3， 于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3 代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ， t0 信号与系统 第 2-12页 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 由单位冲激函数 (t)所引起的 零状态响应 称为 单位冲 激响应 ，简称冲激响应，记为 h(t)。 h(t)=T0,(t) 例 1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应 h(t)。 解 根据 h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求 h(0+)和 h(0+)。 信号与系统 第 2-13页 2.2 冲激响应和阶跃响应 因方程右端有 (t)，故利用系数平衡法。 h”(t)中含 (t)， h(t)含 (t)， h(0+)h(0-)， h(t)在 t=0连续，即 h(0+)=h(0-)。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1 0 0 )( dtth 考虑 h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1 对 t0时 ， 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解 。 微分方程的特征根为 -2， -3。 故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) 代入初始条件求得 C1=1,C2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信号与系统 第 2-14页 2.2 冲激响应和阶跃响应 例 2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其冲激响应 h(t)。 解 根据 h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求 h(0+)和 h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含 (t) 故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含 (t) 的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式 (1)，有 信号与系统 第 2-15页 2.2 冲激响应和阶跃响应 a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) 整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用 (t) 系数匹配，得 a =1 ， b = - 3， c = 12 所以 h(t) = (t) + p1(t) （ 2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （ 3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （ 4） 对式 (3)从 0-到 0+积分得 h(0+) h(0-) = 3 对式 (4)从 0-到 0+积分得 h(0+) h(0-) =12 故 h(0+) = 3， h(0+) =12 信号与系统 第 2-16页 2.2 冲激响应和阶跃响应 微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始条件 h(0+) = 3， h(0+) =12 求得 C1=3， C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 结合式 (2)得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t) 对 t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0 二、阶跃响应 g(t)= T (t) ， 0 t tgthhtg t d )(d)(,d)()( 由于 (t) 与 (t) 为微积分关系，故 信号与系统 第 2-17页 2.3 卷积积分 2.3 卷积积分 一、信号的时域分解与卷积积分 1 .信号的时域分解 (1) 预备知识 p ( t ) 1 t0 2 2 (a) f 1 ( t ) A t0 2 2 ( b ) 问 f1(t) = ? p(t) 直观看出 )(A)(1 tptf 信号与系统 第 2-18页 2.3 卷积积分 (2) 任意信号分解 2 2 f ( t ) t 0 2 3 - 1 0 1 2 )( tf f ( 0 ) )(f )( f “0”号脉冲高度 f(0) ,宽度为， 用 p(t)表示为 ： f(0) p(t) “1”号脉冲高度 f( ) ,宽度为 ，用 p(t - )表示为： f( ) p(t - ) “-1”号脉冲高度 f(- ) 、宽度为，用 p(t + )表示为 ： f ( - ) p(t + ) n ntpnftf )()()( d)()()()(lim 0 tftftf 信号与系统 第 2-19页 2.3 卷积积分 2 .任意 信号作用下的零状态响应 L T I 系统 零状态 yf(t) f (t) 根据 h(t)的定义： (t) h(t) 由时不变性： (t -) h(t -) f ()(t -) 由齐次性： f () h(t -) 由叠加性： d)()( tf d)()( thf f (t) yf(t) d)()()( thfty f 卷积积分 信号与系统 第 2-20页 2.3 卷积积分 3 .卷积积分的定义 已知定义在区间（ ， ）上的两个函数 f1(t)和 f2(t)， 则定义积分 dtfftf )()()( 21 为 f1(t)与 f2(t)的 卷积积分 ，简称 卷积 ；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意 ：积分是在虚设的变量 下进行的， 为积分变量， t为参变量。结果仍为 t 的函数。 )(*)(d)()()( thtfthfty f 信号与系统 第 2-21页 2.3 卷积积分 例 ： f (t) = e t,（ -t)， h(t) = (6e-2t 1)(t)， 求 yf(t)。 解 ： yf(t) = f (t) * h(t) d)(1e6e )(2 tt 当 t t时， (t -) = 0 t tt tf ty d)eee6(d1e6e)( 32)(2 ttttttt tt t eeee2ee2e ded)e6(e 3232 32 信号与系统 第 2-22页 2.3 卷积积分 二、卷积的图解法 dtfftftf )()()(*)( 2121 卷积过程可分解为 四步 ： （ 1） 换元 ： t换为 得 f1()， f2() （ 2） 反转平移 ：由 f2()反转 f2()右移 t f 2(t-) （ 3） 乘积 ： f1() f2(t-) （ 4） 积分 ： 从 到 对乘积项积分。 注意： t为参变量。 下面举例说明。 信号与系统 第 2-23页 2.3 卷积积分 例 f (t) ,h(t) 如图所示，求 yf(t)= h(t) * f (t) 。 解 采用图形卷积 。 f ( t -) f ()反折 f (-)平移 t t 0时 , f ( t -)向左移 f ( t -) h() = 0， 故 yf(t) = 0 0t 1 时 , f ( t -)向右移 2 0 4 1d 2 1)( tty t f 1t 2时 4 1 2 1d 2 1)( 1 tty t tf 3t 时 f ( t -) h() = 0， 故 yf(t) = 0 f ( t ) t0 2 1 1 t h ( t ) 2 2 h(t)函数形式复杂 换元为 h()。 f (t)换元 f () f (- ) f (t - ) t-1 t t-1 t t-1 t t y f ( t ) 20 1 3 4 1 4 3 t t-1 t t-1 2t 3 时 4 3 2 1 4 1d 2 1)( 22 1 ttty tf 0 h ( ) f ( t - ) 20 1 3 信号与系统 第 2-24页 2.3 卷积积分 图解法 一般比较繁琐，但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。 确定积 分的上下限是关键。 例 ： f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求 f(2) =？ t f 2 ( t ) -1 1 3 1 -1 f 1 ( t ) t2-2 2 f1(-) f 1(2-) f 1 (2 - ) f 2 ( ) 2 2 -2 解 ： d)2()()2( 12 fff （ 1）换元 （ 2） f1()得 f1() （ 3） f1()右移 2得 f1(2) （ 4） f1(2)乘 f2() （ 5）积分，得 f(2) = 0（面积为 0） 信号与系统 第 2-25页 2.4 卷积积分的性质 2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下 面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律 ： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律 ： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律 ： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t) 信号与系统 第 2-26页 2.4 卷积积分的性质 二、奇异函数的卷积特性 1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证： )(d)()()(*)( tftftft f(t)*(t t0) = f(t t0) 2. f(t)*(t) = f(t) 证： )(d)()()(*)( tftftft f(t)*(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*(t) t ftf d)(d)()( (t) *(t) = t(t) 信号与系统 第 2-27页 2.4 卷积积分的性质 三、卷积的微积分性质 1. n n n n n n t tftftf t tftftf t d )(d*)()(* d )(d)(*)( d d 2 12 1 21 证：上式 = (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2. d)(*)()(*d)(d)(*)( 212121 ttt ftftffff 证：上式 = (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在 f1( ) = 0或 f2(1)() = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信号与系统 第 2-28页 2.4 卷积积分的性质 例 1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)， 求 f1(t)* f2(t) 解 ：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)= 1eded)(e 00 注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的 。 例 2： f1(t) 如图 , f2(t) = et(t)，求 f1(t)* f2(t) )()e1()(e)(ded)(e)( 00)1(2 ttttf tttt f 1 ( t ) t20 1 解法一 ： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信号与系统 第 2-29页 2.4 卷积积分的性质 解 ： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 四、卷积的时移特性 若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例 ： f1(t) 如图 , f2(t) = et(t)，求 f1(t)* f2(t) f 1 ( t ) t20 1 利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信号与系统 第 2-30页 2.4 卷积积分的性质 例 ： f1(t), f2(t)如图，求 f1(t)* f2(t) t1 1 -1 f 1 (t) t10 2 f 2 (t) 0 解 ： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2) 信号与系统 第 2-31页 2.4 卷积积分的性质 求卷积是本章的重点与难点。 求解 卷积的方法 可归纳为： （ 1） 利用定义式，直接进行积分 。对于容易求积分的 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （ 2） 图解法 。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （ 3） 利用性质 。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 信号与系统 第 2-32页 2.4 卷积积分的性质