信号与系统-第三章离散系统的时域分析.ppt

第三章 离散系统的时域分析 绪论 第一节 LTI离散系统的响应 第二节 单位序列和单位序列响应 第三节 卷积和 总结 绪论 离散系统分析与连续系统分析在许多方面是互相平行的，它 们有许多类似之处。连续系统可用微分方程描述，离散系统可用 差分方程描述。差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是 相互对应的。在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在 离散系统分析中，卷积和也具有同等重要的作用。 与连续系统类似， LTI离散系统的全响应 也分为零输入响 应 和零状态响应 两部分，表示为： 本章主要讨论离散系统的零状态响应。 ky kyx ky f kykyky fx 第一节 LTI离散系统的响应 一 .差分与差分方程 差分定义 前向差分： 后向差分： 关系： 两者仅移位不同无原则区别，本书主要采用后向差分，简称差分。 .差分运算具有线性，即： .差分阶次： kfkfd e fkf 1 1 kfkfd e fkf 1 kfkf kfbkfakbfkaf 2121 112 kfkfkfkfkfkf 212 kfkfkf 11 0 1 kf j nkfk jn j nn n,1,0,! j jjn n j n .差分方程： 对线性系统： 其差分方程为： .差分方程的递推法求解： 例 1：某离散系统： ，初始条件 y(0)=0. y(1)=2,求输入 时的响应 解： 代入初始条件 该方法可以用迭代法计算，使用计算机运算比较方便，但不易得解析解。 0ky, n kykykF 或 0y,1, nkkykykG n为差分阶次 LTI离散系统 kf ky M j jM N i iN jkfbikya 00 kfkykyky 2213 kkf k 2 ky kfkykyky 2213 21,00 yy 10312233 2202132 fyyy fyyy 二 .差分方程的经典解 线性系统的一般差分方程： 经典解法： 1.齐次解： 由特征方程 特征根，再由特征根的形式定出齐次解的形式。 的形式 单根： 重根： 一对共轭： r重共轭根，形式如书。 2.特解：由输入形式定特解的形式。 所有特征根部不为 1 有 r重为的特征根 不为特征根 为单特征根 为 r重特征根 1, 00 n m j jm n i in ajkfbikya kykyky ph kyh kh Cky kkrrkrrh CkCkCky 02211 kDkCky kh s inc os 或 kA k c o s 其中共轭根： jejba 2,1 mkkf 011 PkPkP mmmm 011 PkPkPK mmmmr kakf kP kk PkP 01 kkrrkrr PkPkP 011 或 所有特征根不为 ， 3.全解： 由初始条件定系数。 注意：初始条件应为 y(j),j=0,1,2 ,而已知 y(j),j=-1,-2,-3,应由方程迭代出 y(j),j=0,1,2 的。 例 1： kkf cos ksin je kAkQkP c o ss inc o s kykyky ph n i p k ii kyC 1 单根 ky 为 r重根 1 kyCkC pn rj k ij r i kir i 11 1 由初始条件定系数 kkfyykfkykyky k 2,11,00,2414 求全解。 解： 1.求 kyh 2,2044 212 kkh CkCky 22 21 2.求 ky p 由输入 0,2 kPky k p 将 k p Pky 2 代入方程 0,2 4141 kkyP kp 3.全解 0,2 4 122 21 kCkCkykyky kkk ph 由初始条件 12 4 1221 0 4 10 21 2 CCy Cy 1 1 2 1 C C 例 2： 解：齐次解： 特解： 由输入 代入方程得： P=Q=1 全解： 一般对于稳定系统其自由响应一般为瞬态响应，其强迫响应即输入作用的 响应为稳态响应。 0,2412412 kkkky kkk 自由响应 强迫响应 kkkfyykfkykyky 2c o s10,11,00,2156 求全解 3122112 ,015 kkh CCky 312211 2s in2c o s kQkPky p 0,42c o s22s i n2c o s kkkkky p 0,2s i n2c o s312211 kkkCCkykyky kkph 由初始条件 3,2 21 CC kkkky kk 2s i n2c os32 3121 自由响应 (瞬态 ) 强迫响应 (稳态 ) 三 .零输入响应和零状态响应： 零状态响应 零输入响应 1.零输入响应：零输入时，差分方程 齐次方程，可求其特征根，当为单特 征根时： 2.零状态响应：为非齐次方程，当单特征根时，形式为： .全响应： kyf kyx 则 kykyky xf xiki n i xix CCky , 1 可由初始条件直接定出。 kyCky pkin i fif 1 fi p C ky 由输入定形式，代入非齐次方程定系数 由零初始条件定出 kyCCkyCkykyky pn i k ifi n i k ixip n i k iifx 111 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 i xi C C 仅由系统的初始条件决定。 不仅与系统的初始条件有关，而与输入也有关系 .初始条件： 各初始条件中，不仅包含有零输入响应的初始值 ，也包含零状态响应 的初始值 ，不便分开，不能去定 。而当 时，这时 激励还未加入，则 时，有 即当给定初始条件的 j不为负值时，可由方程迭代入 再上式得 由它定系数 和 例 1 ： 求零状态响应，零输入响应，全响应。 解： 由初始条件 零状态响应 ： 由输入： 代入方程定出 1-n,2,1,0, jjyjyjy fx jyx jyf xiC nj ,2,1 021 nyyy fff 11 xyy ,22 xyy ,2,1, jjy ,2,1, iiy x xiC fiC 212,01,0,2,2213 yykkfkfkykyky k kCCky kxkxx 212,1023 21212 2122,011 yyyy xx kkyCC kkxxx 2212,1 21 kyf 021,2213 ffff yykfkykyky kfp Pky 2 kfp kyP 23131 由特征根 得 代入 k 0 的初始条件 迭代出 由它们定出系数 系统的全响应： 注意：求零状态和零输入响应时， y(j)初始条件， j为 0,1， 正的取值才可以 . 例 2: 求零输入响应的初始条件 和零状态响应的初始条件 解： 零状态初始条件 （零状态下 -1， -2时无输入） 代入方程迭代出 2,1 21 kkfkffh CCky 221 311 2 02,01 ff yy 1,0 ff yy kkyCC kkkfff 2211, 31312311 kkykyky kkkkkfx 221221 3131 零输入 零状态 自由响应 强迫响应 21,00,0,2,2213 yykkfkfkykky k 1,0 xx yy 1,0 ff yy 021 ff yy 1112031 1022130 fyyy fyyy fff fff 312111 110000 fx fx yyy yyy 当已知 求 22,01 yy 1,0,1,0 ffxx yyyy 02 01 f f y y 迭代 1112031 1022130 fyyy fyyy fff fff 迭代 12112031 3022130 fyyy fyyy 13111 4000 fx fx yyy yyy 第二节 单位序列和单位系列响应 一 .单位序列和单位阶跃序列 1.单位序列（单位脉冲序列）： 定义： 与 对应，但 不为奇异信号 波形： 位移： 性质： 2.单位阶跃序列： 定义： 波形： 移位： defk 0,0 0,1 k k t k ik ik ik ,0 ,1 k k ikifikkf k 0,1 0,0 k k ik ik ik ,1 ,0 k k 因果信号表示： 3.两者关系： 二 .单位序列响应和单位阶跃响应： 1.单位序列响应： 求法 由差分方程求解 也可由 Z变换求，对方程做 Z变换后求解 方法： 只在 k=0处为 1， k0为齐次方程，由特征根定形式，并定出系数。 ikkf k 2 ik ikk ,0 ,2 0 1 j k i ikik kkkk LTI k kTth ,0 k kh 例 1：求单位序列响应 解 :列出差分方程，并确定 初始条件。 .求 ，在 k0 时， 特征方程： D D kf ky 1ky 2ky 1 2 + + + kfkykyky 221 kfkykyky 221 则： kkhkhkh 221 21,10 221021 hh kkhkhkhhh kh 0221 khkhkh 2,102 212 0,21 21 kCCkh kk 32,31 21 CC kkkh kkkk 2321310,232131 代入初始条件 例 2：如图系统求其单位序列响应。 解： .列方程：设中间 变量 .单位序列响应： 初始条件： 可先求输入为 的 ： 而 作用后的 根据时不变性有 D D kf ky kx 1kx 2kx 1 1 2 + + + + 1 kx kfkxkxkx 221 kfkxkxkx 221 2 kxkxky 422 311 kxkxky kxkxky 得： 2221 kfkfkykyky 2221 kkkhkhkh 021 hh k kh1 021 221 1 111 hh kkhkhkh 同上题 kkh kk 2 3 21 3 1 1 2k kh2 2232131 222 kkh kk 2232131232131 2221 kkkhkhkh kkkk 二 .阶跃响应 ： 求法： .可以用经典的方法求解 ： 类似 求解，定形式（除齐次解部分，加上特解），并定出系数。 .利用： 与 关系： 由线性时不变： 这样在 已知时可求出 ，也由 利用 例 3：求上例的单位阶跃响应： 解： 1.经典法： 则： 初始条件 ，而定系数需求 的值。 由方程迭代得： LTI k kg 即： kTkg ,0 kg kh k k 0j k i jkik 0j k i jkhihkg kh kg kg kgkh 1 kgkg 求 kh kfkykyky 221 kkgkgkg 221 021 gg 1,0 gg 211201 102210 ggg ggg 特征方程： 而由输入 则 代入方程定出 代入初始条件： 2. 利用单位序列响应求： 上例已经求出为 2,102 212 0,21 21 kCCkg kkh 0,1 kk Pkg p 2 1P 0,21 kkg p 0, 2 121 21 kCCkgkgkg kk php 3 4, 6 1 21 CC kkg kk 21234161 kh kkh kk 23 21 3 1 则： k i ik i ik i ihkg 00 232131 由几何级数求和公式得： 12212 21 21 2 11 2 1 11 2 1 11 11 1 1 1 0 1 1 0 kk kk i i kk kk i i 考虑到 k0 则 kkg kkkk 2123416112232112131 常用的几种数列求和公式： k j ja 0 1,1 1, 1 1 1 ak a a a k 2 1 k kj ja 1,1 1,1 12 121 akk aaaa kk 0, 6 121 0 2 kkkkjk j 0, 2 1 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 k kk j a a a a a a a k j k kj j j j 12 1212 , 2 12 1 kkkkkkj k kj 第三节 卷积和 一 .卷积和： 1.分析 任意一个序列可分解为单位序列的组合。 系统 ，由时不变 系统 系统 由线性得 即 等于 与 的卷积和。 LTI kf ky f ikkf kfkfkfkfkfkf -i 221101122 k kh ik ikh kf kyf 221101122 khfkhfkhfkhfkhfky f ikhif i kyf kf kh 2.卷积和定义： 两个序列 和 的卷积和定义为： 计算时，换元，其一反转，平移，乘积后求和。 二 .卷积和图示： 例 1： 为 为 解： 先换元为 i 对 反转，如图： 平移不同 K值计算： kf1 kf2 i ikfifde fkfkfkf 121 kf1 k kf2 k ififkfkf 2121 , if2 k if2 0,0 21 kfkfkfk 10000,0 20 0 11 ffififfk i 3011011,1 21211 0 ffffififfk i 共 个不为零，本例为 6个不为零 计算时可用 P105 表： 写出相同 K的对角线的元素之和即为结果 对有序序列卷积可用该方法计算， 对无限序列卷积有： 若 为因果序列： 若 为因果序列： 若 都为因果序列： 例 2： 解： 11 iNN 1 2 3 0 1 1 1 1 kf1 01f 11f 21f 31f kf 2 02f 12f 22f 32f 1 4 2f 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 kf1 kf2 kfkf 21 , ikfifkf i 2 0 1 ikfifkf k i 21 ikfifkf k i 2 0 1 kkfkfkkf k 32211 ,1,求 kfkfkfkf 3121 , kiikfkf i i i i ,2 1 11 210 2 1 2 121 121 2 1 1 2 1 0 2 1 2 1 31 121 1 k kk i i i i ikikfkf 三 .卷积和的性质： 1.类代数的性质： 交换律： 分配律： 结合律： 物理意义： 2.与 卷积的性质： kfkfkfkf 1221 kfkfkfkfkfkfkf 3121321 kfkfkfkfkfkf 321321 kf kh1 kh2 kf kh1 kh2 kh2 kh1 并联 khkhkh 21 串联 khkhkhkh 1221 k kfkkf 11 kkfkkkf 2121 kkkfkkkkf 例 3：如图复合系统由两个子系统级联而成： a， b为常数 求；复合系统的单位序列响应 解： , 21 kbkhkakh kk kh kf kh2 kh1 kxf ky f kh khkfkx f 1 khkhkfkhkhkfkhkxky ff 21212 ikbiakhkhkh ik i i 21 0, 1 1 111 00 k ab abb b abba kk b a k b akik i k k i iki 即 bakbk bak ab ab k kk ,1 , 11 例 4：如图离散系统，初始条件 激励 求全响应： 解：写出系统的方程： .求 特征方程 .求 612,01 yy kkkkf k 1c o s ky D D kf + + + ky 1 2 kykykykfkykyky fx ,221 kyx 2,102 212 kxkxx CCky 21 21 02 01 y y 在零输入 02 01 x x y y 代入方程迭代出 31 3 1 1 0 x x y y 并求 922911 , xx CC 则 0,21 9291 kky kkx kyf khkfky f 先求 kh 021 221 hh kkhkhkh 由例 3.2.1 kkh kk 21 3231 全响应： kk kkkk kkkfkhky kkk kkkk kkk f 211 1211 121 9 4 9 5 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 kykyky fx kk kk 212 3231 本章总结 差分的定义 差分方程： 求解： 由特征根定形式 系数待定 由输入定形式 带入方程定系数 由初始条件定系数 1 1 kfkfkf kfkfkf 关系： ikfbikya m j jm n i in 11 kyh kyp kykyky ph 求解 由特征根定形式 由 为正的值 经典解类 的求法 用卷积： 求法：变元，反转，平移，乘积，求和 卷积 定义： 性质： 类代数性质 与 卷积 kyx kyf kykyky ph nkhnfkhkfky n f kykyky fx nkhnfkfkfkf n 21 k iiyx