连续介质力学几个定律汇总

第二章 持续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了持续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出持续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2. 应力矢量与应力张量 在物体的运动中,物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在持续介质力学中我们重要研究三种类型的力：()一种物体的两部分之间的接触力;(2)由外界作用于物体边界上的接触力;(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此一般把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力,或简称面力;由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点,因此一般把它称为体积力,或简称体力。 在持续介质力学中重要的公理之一就是有关接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之相应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为 (2.10）一般，我们规定指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图.1) 目前不管在X和面与面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面截断成两部分A和B，如图23所示。此时面就是A和B互相作用的接触面，部分对A部分一点的作用，便可以用A部分截面上的表面力来表征,我们称之为应力矢量。反过来，考虑部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量。它与作用于同一平面上的同一点处,并且大小相等，方向相反。即 (2.1） 对于物体内部的一点P,通过它可以有无穷多种方向的截面,而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同,这种复杂状况只有引进应力张量的概念才干充足地加以描述。为了刻画一点的应力状态,设想在一点P的附近任意给定一种单位法矢量为 （2.10)的平截面。相应地，过点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一种微小四周体，如图2.4所示。在这个微小四周体的每一种面上，都受有物体的其他部分给它的作用力，不妨设在ABC上受到的作用力为,在PBC,CA与PB上的作用力分别为、与，其中与分别为各微小平面的面积,作用于微小四周体CP上单位质量的体力为b。 目前假设对物体的任何部分，特别是对微小四周体ABCP而言,动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(由于牛顿第二定律只合用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证,由于不也许做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其他量的观测推知。描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。对于微小四周体ACP，柯西定律给出 (0) 其中为物体的密度，为P点到ABC面的距离，并且考虑到微小四周体的体积 (.05） .104式也可写成 （.16) 当微小四周体体积趋于零时，即，则有 (2.107) 考虑到.13式，并令 (10) 则式2107可写成 (2.19） 当对称时,则 (2.10) 其中 (2.111) 称为应力张量,其矩阵形式为 (2.12) 如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式2.12可以得到通过该点的任何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。 由面上的应力矢量的定义可知，而由式2.18知 ,因此式2.09变为 (2.113)上式就是柯西假设的具体形式,常称之为柯西基本定理。 下面我们研究应力张量T的各分量的力学意义。考虑到 故知,代表作用于方向截面上的应力矢量在方向上的分量,如图2所示。我们从图25看到，应力张量的对角线元素位于所作用平面的法线方向内,故称之为法向应力分量；应力张量的非对角线元素位于所作用的平面内,故称为剪切应力分量。. 质量守恒定律 物质无论通过如何形式运动，其总质量是不变的，这就是古典持续介质力学中的最重要规律之一质量守恒定律。下面我们研究质量守恒定律的数学体现式。 设为物体的密度,表达物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，因此 （2.1)展开有 (220)又由式 (2.03)于是式.202可写成 (2.04)其不变性形式为 (205) 其中 （2206） 把上式代入式2.204,则得 (2.20)其不变性形式为 (.208） 式2.205和式228就是质量守恒定律的数学体现式质量守恒方程，在持续介质力学中常称为持续性方程。 在正交曲线坐标系中,运用式:，持续性方程可写为 (2.9） 在直角坐标系中,持续性方程为 (20) 在柱面坐标系中，运用第第一部分二章式2.13.3，持续性方程为 (.21） 在球面坐标系中，运用第一部分二章式式2.13.04,持续性方程为 (2212） 持续性方程也可用物质描述法表达。在这种状况下质量定恒定律规定 (2213)其中是物质在现时刻所占据的体积,而是物质在时刻所占据的体积。于是 (224)由于这个关系式对任意体积都必须成立，故得 (221)它表达与时间无关，即 （2.216)这就是物质形式的持续性方程。2. 动量平衡定律 欧拉把下列关系作为在持续介质中普遍成立的一般性原理: (2.1) 它称为欧拉第一运动定律。上式阐明任意物体具有的动量的变化率等于作用于该物体上的合力f。 设所研究物体在其体积V上受有持续分布的体力和在其体积的边界面S上持续分布的接触力,因此物体上所受合力为 (2.3)其中 （2.303) (.304)物体的动量为 (2305) 于是将式.02和式.305代入式2.301则 (2.306) 其中表达点的加速度。由式.09,可将上式改写为 （2.07) 运用高斯公式 (2308) 则得 （2.09)即 （2.310)考虑到的任意性，则 （2.31)即 (2.31)需要指出的是,这里的散度是对于空间坐标的。上式称为柯西第一运动定律。其指标形式为 (231) 展开得 (.31） (.315) (2.31）特别地，在静止的状况下,物体的加速度为零，则式2.31化为 (2.317)在弹性力学中，上式称为平衡方程。在柱面坐标系中，运用第一部分第二章2.3.d可得上式化为 (218) (2.31) (220）在球面坐标系中，运用第一部分第二章2.4.,则2.17式可化为 (.321） (2.22) （323) 24 动量矩平衡定律 对于任意物体下列关系式成立: (2.0)其中表达物体绕点的动量矩,表达作用于物体上的力对点的合力矩。上式称为欧拉第二运动定律。 设作用于物体上的力矩只是由体力和接触力引起的，故其合力矩为 (240) 而物体的动量矩为 (2403) 将式2402和式2.43代入式2.401,并考虑到 (2.40) (405)可得 (246）其中表达x点的加速度。考虑到式2110和高斯公式,则 （2.47)考虑到体积V的任意性，得 (2.408)因此,必须对称张量,即 (2.49）或 (2.410） 上式叫做柯西第二运动定律。柯西第二运动定律限定应力张量为对称张量,其中只有六个独立分量。. 能量守恒定律 在持续介质中,如果只研究力学量的影响，而不考虑热学效应，那么持续介质的能量守恒定律可以直接由运动方程导出。一方面，将运动方程 (.501)点乘速度矢量v (.02）在体积上积分 (.50)考虑到 （2.)上式表达在体积V中的总动能的时间变化率。此外，考虑到 (2.505) 这里运用了反称张量W与对称张量T之间的双重点积为零的性质。 把式.504和式2.505代回到式2.03中去，则得 (.5） 运用高斯公式把上式右边第一体积分化为面积分，并运用柯西假设，则 (2.07)将上式代入式2.506,于是我们得到在纯力学作用下的能量方程 (2508)其中方程左边两项分别表达持续介质的动能和内能(应力生热)的时间变化率,右边两项分别表达接触力和体力所做的功率。若令表达内能，则能量方程508也可简洁地写成 (2.5)其中表达接触力和体力的功率，记号表达这个量不一定能写成某个函数的全微分形式。 如果同步考虑机械能和非机械能，那么就必须用能量守恒定律的一般形式。能量守恒定律的一般形式可以表述为：动能加上内能对时间的变化率等于总功率加上在单位时间内供应物体的多种其他形式的能量。这些能量涉及热能、化学能、电磁能等等。本书只考虑机械能和热能,于是能量守恒定律就化为出名的热力学第一定律的形式。 对于热力持续介质(themmecaicacntinua)来说,一般把内能的时间变化率写成 (.51)其中u称为比内能，表达每单位质量的内能密度。此外,我们定义矢量f为在单位时间内每单位面积的热通量，函数q为在单位时间内每单位质量的热辐射量，于是物体总热量的增量变化率为 (2.11)其中n为物体表面的外法向,热通量矢量f由傅立叶定律给出，即 (2.512）这里k为热传导系数，T为温度。 于是热力持续介质的能量方程可以写成 （2.513)或写成积分形式 (2.51）把上式右边面积分化为体积分后再移到左端,则有 (2515) 由于体积V是任意的,故有 (.516）运用式2.50,则上式化为 (2.51) 整顿得 (.58)考虑到运动方程成立,则有 (2.19）或 (2.50)上式表达物体内能的时间变化率等于应力功率和吸取的热量之和。 式513、式2.514、和式2.都是能量守恒定律的体现形式。.6 状态方程熵定律 完整地表征一种热力学统称做是对这个系统状态的描述。用来描述这个状态的物理量称状态参数。状态参数随着时间变化表征一种热力学过程。但是，在一般状况下，这些状态参数并不全是独立的,它们之间存在着某种关系。这种关系就称为状态方程。如果某个状态参数可以通过其他几种状态参数表出，则称它为状态函数。 目前,我们考虑一种均匀的热力学系统，它处在平衡状态，即在没有外界影响的条件下,系统的各部分在长时间内不发生任何变化。描述这样一种热力学系统的状态参数为:几何参数(体积）、力学参数（压力)及热力学参数T(温度)。联系这三个量的关系的状态方程可写成 （2601) 这里需要指出的是，对于一定的物质来说，状态方程是普遍合用的,也就是说，构成热力学系统的物质一经选定,状态方程的具体形式也就拟定了。 例如对于完全气体而言，状态方程的具体形式可写成 （2.602)其中为气体的质量，为分子量,是克分子气体常数。 在上一节我们曾论述过热力学第一定律,它公设机械能和热能可以互相转换,但是，只根据热力学第一定律还不能鉴定这种转换过程与否可逆。事实上,所有的真实过程都是不可逆的,但可逆过程却是一种非常有用的假设，由于在许多状况下,能量耗损是可以忽视不计的。可逆性判据由热力学第二定律给出。 热力学第二定律公设存在两个独立状态函数：绝对温度T和熵。它们有如下性质：绝对温度T为一正量，它仅仅是经验温度（即我们一般见到的温度)的函数,熵S和体积V同样，是一种广延量,而温度是与熵相相应的强度量，正如压强是与体积相相应的强度量同样。一种物体的强度量代表物质的内在性质,与物体的质量大小无关,而一种物体的广延量则可分解为物体上各个子部分上的广延量之和。因此，一持续介质的总熵S可写成下列形式: （2.63)这里表达持续介质中的熵密度,即每单位质量中的熵。 一种系统的熵既可由于与外界互相作用而发生变化，也可由于系统内部发生变化而变化,因此 (2.04)这里ds是熵密度的增量,是由于与外部互相作用而引起的熵密度增量。是由于系统内部发生变化而引起的熵密度的增量。决不能为负值。它在可逆过程中为零,在不可逆过程中为正,即 (不可逆过程) (2605) （可逆过程) (266） 在可逆过程中,如果令表达供应系统的每单位质量的热量,则可表达为 （可逆过程) （2.67） 按照热力学第二定律，在持续介质所占据的物理空间中总熵的时间变率不不不小于通过持续介质表面流入的熵与持续体内部源产生的熵之和。在数学上,这个熵原理可以以积分形式表达为 (2.）称之为克劳修斯杜姆不等式,其中e为单位质量中的局部熵源。上式中的等号成立时表达可逆过程,不等号成立时代表不可逆过程。 运用质量守恒定律 和高斯公式 考虑到体积V的任意性，则由式260可得克劳修斯杜姆不等式的微分形式 (.0). 主应力最大剪应力 表达物体中一点周边不同方向上的应力矢量公式，当应力张量已知时,在给定的任何一种方向n上的应力矢量就由给出。下面，我们将要讨论的问题是，对于某给定点来说，在什么方向上法向应力取驻值。这个问题归结为在为单位矢量的条件下,即 (201)时,求的条件极值问题。运用人们所熟知的拉格朗日乘子法,有 (.702）其中f为约束条件 (.703)考虑到，则由式2.可得 (704)将上式代入式2.7,则 (2.75）或写成不变性形式,即 (2706)或 (2.77）写成展开形式，则为 (.708)上列方程中具有非零解的充足必要条件是它的系数行列式为零，即 (2.9) 或 (2.710)其中 (2711） （2.712） (2.713)这里,是应力张量的三个主不变量,分别称为第一、第二、第三应力不变量。方程的解，为特性值，,为特性矢量。其中若,则。 事实上,在方向上法向应力值就是所相应的特性值。将式2.06与点乘，得 (2.1)则就是方向上的应力，称为主应力,而称为主方向，主方向所拟定的平面称为主平面。 若和不两个不同的主方向,则在面上方向的剪应力为 （271) 故主应力平面上的剪应力为零。若以(,，)为坐标单位基矢量,并令,则应力张量矩阵具有下列形式: (276）即 (2717） 目前我们来讨论最大剪切应力问题。为了计算以便,不妨将坐标系选用在主方向上,即取（，）为主方向。设是通过物体内一点的某一平面的单位法向矢量,则 (2.718)作用于该平面的应力矢量分量为 (279） (2.720)在该平面上的法向应力为 (.721)若以表达该平面的总剪应力的大小(如图2.6）,则 (2.7）即 (2.723) 我们仍运用拉格朗日乘子法计算的驻值,考虑到n为单位矢量，令 (724)则 （2)其中 （2.726) (2727)于是 (2.729)即 (730)运用条件2.74，则方程组2.70显然有一组解 , , ， （.73)但是这组解所拟定的平面就是主平面,而在主平面上,这不是我们所规定的解。 假定在式2.730中，,，则 (2.32）将上列两式相减,则有 (2.33）故得 (.73)把它代入式2.721中并与联立，则可解得 , (2.735）这时方向与主方向，成45度角。 同样,若设，,和，,则相应的值分别为 , (.736）和 ,， (2）考虑到上列三组驻值,则 当时, （.738) 当时, (2.739) 当时, (40）因此，剪切应力的最大值由下列三个值中的最大值给出 ， （274）或 (2.74)