大学线性代数习题册答案详解

大学线性代数习题册答案详解习题参考答案第一章行列式1.1二阶、三阶行列式一、计算下列行列式 1、1;2、0；3、4；二、1、x l l,x 2 3 2、x l 1,x 2 21.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式 1、0；2、2000；3、-8；4、-58；5、-192；6、512；二、计算下列行列式 1、4a b c d e f;2、x 4 y4；3、x 4 y4；4、a 2a 3 b 2b 3 a l a 4 b b l 4；5、0；三、计算下列n阶 行 列 式 1、a n 1 n Ib n；2、n 1 1 n 1；3、n 1 !；4、12；3；四、解下列方程：1、x l x 2 x 3 0,x 4 10；2、x l 2,x 2 3；3 x l 1,x 2 2,x 3 3；*五、计算下列行列式1、按 某 行（列）展开行列式解:按第一列展开x y 00y0 00O x O O x y 00D x (1)1 n x n (1)1 n ynn y00 x yO O yO00 0 x 00 x y2、化 为 上(下)三角形行列式计算n(n 1)223 n In解：把 D n 的各列加到第1 列上去得0 10D 00n02 2 00000 0(n 1)n(n 1)223 n In0 10 00 100 2 00(l)n 1 2(n 1)!000 0(n 1)n(n 1)223 n In解：把 D n 的各列加到第1 列上去得0 10D 00n 02 2 00000 0(n 1)n(n 1)223 n In0 10 00 0000(l)n 13、2 12(n 1)!递推法000 0(n 1)P P 倾 情 制 作 1解：按第一行展开得D n 3D n 1 2D n 2(1)设 D n x D n 1 y(D n 1 x D n 2)(2)比 较(1)与(2)系数得 x 1 x 2 x y 3,所 以 1 或2。y 2y Ix y 2 1 2n 2n D D 2(D D)2(D D)2n n In In 221 分 别 代 入(2)得(3)D 2D (D 2D)(D 2D)In In In 221 n其中 D I 3,D 2 7,消 去(3)中 D n 1 得 D n 2n 1 14、用范德蒙行列式计算解：此式不是范德蒙行列式.将第n+1行，第 n行，第 2 行分别向上与相邻行交换n次，n-1次，1 次，共交换了 n(n 1)次；将列也作同样的变换。这样一共交换了n(n 1)次，即偶数次，得 21a n(a n)(a n)n 121a n l(a n 1)(a n l)n 12l a 1(a 1)n 121a a 2 a n l a n D n 1(a 1)(a n)n(a n l)n(a 1)n由范德蒙行列式的计算公式得D n 1 1 2 n 1 2(n 1)2 1 2n 1 3n 2(n 1)2 n5、拆为多个行列式的和解：利用性质3 把行列式拆为两个行列式的和(最后一列拆项)x a lD n a la lala2x a2a2 a2a3a3x a3 a3 OO+Oxx alalal ala2x a2a2 a2a3a3 a3an an anx a3 an等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个最后一列提出an后，第 i 列减去最后一列的ai倍(i 1,2,n 1),即得xOOOxODn=xDn 1+a00 xn000 In Inn In lai l=xDn l+anx=x xi 1 16、解：先对D n 的 第 1 列提出公因数a l,然后将第J 列减去第1 列的aj倍(户2,3,n),即得PP倾 情 制 作 2blb2Dn alb3bn 1bnalb2 a2bl00alb3 a3bla2b3 a3b20 albn anbl a2bn anb3 a3bn anb30000 an Ibn anbn 10(l)n lalbn(alb2 a2bl)(a2b3 a3b2)(an Ibn anbn 1).(1)1.4 克莱姆法则一、解线性方程组1、xl二、f x n lalbn(aibi 1 ai Ibi).i In 1 11,x2 2,x3 2、xl l,x2 2,x3 1 22121x x 2 三、2 月.1 四、=2 或=1 有非零解；2 且 1 有 唯 一 解 22第二章矩阵2.1 矩阵定义及其运算一、填空题 1、1 2、A B B A 二、1、C 2、C 3、C 4、B 三、2 425511四、1、312643 310 39111661202、21604 3;4250142 3、2311682 31719 9219311179 7 4、3 12kl;0 15、k0;Ik1；23231五、A 2 AA 211111B 22B IB IBBII22442B 22B IB 2 2B I2B IB 2 I513*六、1、803 2、0212*七、设 A2.2 逆矩阵一、填空题 1、4,4,P P 倾 情 制 作 H11T T T A A A A A A A A T35212227三、12222116 2、1、1）可逆,110102 2222 2、11110-8 3、充要 4、I是反对称矩阵5、二、1、,是对称矩阵，B 2、C 4273 1312 2）、可逆，119 0153、x l l2,x 32 2,x 3 2 四、A 可逆，A 0 k AA 10k A(k 0),A T,A*,A 1 可逆；A*0,A T 0A*0,A 111AA k A11A 1,A T 1 A 1 T,A*1k1 1 AA,A 1 A五、1、证明：由 A 2两边取行列式A A B A (A B)A B B 2 0 得 A 2 A B B 2 即 A (A B)B 2B 2 1 n B 2又B可 逆，B 0,从而A 0,A B 0；A,A B都可逆。2、证明：将方程改写为 A 2 3A 2 1 则I1A 2 3A A(1A 31)2222A可逆，且 A 1A 2 32I 3、证明：将方程改写为 A 31 A I 7 1 则A 31,A I都可逆，A I117 A 31,A 31 117A I*六、解：由(3A)11A 1 ,A*A A 113 2A 1 得(3A)1 2A*1A 1 A 1 2A 1 (2)38116333A 1 27 A27*七、解：由题设得 C(2E C IB)A T E,即(2C B)A T E.2 3 4 由于12C B 0123,|2C-B=170,故 2C B 可逆，00120011000 1000于是 A (2C B)1T(2C B)T 1210010 3210 210 1 204321 101 212.3 初等变换与初等矩阵PP倾 情 制 作 41 1 1 1 100 2、001,1 一、1 11 010 01 9 2 三、1、9 29 29192 90 1 k 1010,k 00011 2 1009 1 4 3 2102 2、9 1 21 164 1 01 2填空题1、22 000 0 二、1、B 2、C1 5 3 3、9 0 00101 a l 4、00001a 2000000001a n11 a n 110 3 0 0 0 00 600 001四、0 五、010100 1 26 2 9 3001 七、030B A 21 A 107 2 六、12 8300 12.5 矩阵的秩一、填空题 1、0；2、3；3、R A R B4、C 5、A4、-3 5、1 二、1、A 2、C 3、A三、1、3 2、2；3、4；四、1)2 k 1五、当 2k 1,R Ak 1 2)当 k 1,R A3 11且 0,或 1,或1,当 k 1,R A 2,当 k 1,且,R A 2,其它情况，R A 3 22第三章向量 3.1 向量的概念及其运算1 1、2 91 514、1)371512 03 3 612、7 5 4 64 43 1761 3 23、2)145 14 75、R19112 315 23,R56 31 2 3 3,所以可以线性表示，3.2线性相关与线性无关5 P P 倾情制作一、判断向量组的线性相关性，并说明原因1、线性相关，2、线性无关3、线性无关4、线性相关5、线 性 相 关 二、1、2；2、a b c 0；3、三、1、C；2、C；四、1、解：考察向量方程k l 1 k 2(23)k 3()1 2 3 即(k l k 2 k 3)1(k 3k)2 k 233向 量 组 1,2,3 线性无关，k l k 2k 3 k 3 k 2 k 30 k l k 2k 3 01,12,12 3 线性无关。2、解:考察向量方程k l12)k 2(23)k 3(3 1 即(k)1(k l k 3 21k)2kk 323向量组1,2,3 线性无关,k l k 3k 2 k l k 3k 20 k l k 2k 3有非零解12,(2 3),(31）线性相关。3、解:考察向量方程k l(12)k 2(2 3)k m 1(m 1 m)k m(m1)即(k l k m)1(k l k 2)2(k m 1 k m)m向 量 组 1,2,m线性无关,k l k m k l k 2k m 1k m 0(1)11D 00100010001这是一个含有m个未知数m个方程的线性方程组，其系数行列式为0m 为 偶 数 m 10 1(1)2 O m 为奇数000 11(1)只 当 m为偶数时，(1)有非零解，则向量组1 2,2 3,m 1 m,m 1 线性相关；当 m为奇数时，有 零 解，向量1 2,2 3,m 1 m,m 1 线性无关。五、R 1 2 3 3,R 1 2 3 3,所以可以唯一线性表示，3 1 21 能 由 2,3 线性表示。事实上：因 为 已 知 2,3,4 线性无关线性无关。2,3 线性相关，3六、解(1)线性表示，且表示式唯一。(2)4 不 能 由 1,2,3 线性表示。性表示，即4 1 1 2 2 3 3,由(1),4(2 112)2(3 113)3,线性相关,与已知矛盾。因此，4 不能由3.3 向量组的秩一、1、无关；2、r l r 2 二、1、B 2、EP P 倾情制作6,所 以 2,又 因 为 1,故 证 得 1 能 由 2,3事实上：反证法。设4 可 由 1,2,3 线可 设 1 12 2 13 3,代入上式得：即4 可 由 2,3 表出，从 而 2,3,41,2,3 线性表示。；3、C 三、1、R 1 2 3 32、R101 a a 11 2 300a 2 a当 aO 且 a l,R 1 2 3 3；当 a O R 1 2 3 2；当a 1R 1 2 3 110 119四、1、1 2 3 015 119 1 与2 为极大无关组，=3-1 5 2 000 990001021212、1 2 3 4 5 010321 1 与2 为极大无关组。3=2 1 0 2 00000000001332 1 2 2,3=1 21232五、01101 2 3 4 001 1 k 9000k 91,2与3为极大无关组。4 3 1 2 3六、解：n维 单 位 向 量1,2,n可由n维 向 量 组1,2,n线性表出，n维 单 位 向 量1,2,n可由n维 向 量 组1,2,n线性表出，所以两个向量组等价，故1,2,n线性无关。七、k l 1证明：因为Rk 2 2 k 3 33所以3线性无关考察向量方程k l(2k l2k 12 1 3 2k 3)1 3(l kk 3 3k l k 2k 2(k 24k 22 4)25k 33)k 3(4k 2 50 20115k 3 33)即向 量 组1,2,3线性无关,3100,k l k 2 k 3 00451,2,3线性无关。102 31 2P P倾 情 制 作7*八、证:II3 4可由3唯一线性表示，设11R III5线 性 无 关k lk 2k 3 3 k 4k l 1 k 2k 3k 411k l k 4k 2k 4 2k 3 k 43 k 4 5因为k l k 40,k 2 k 4 2 0,k 3k 43 0,k 4所 以k l 0,1,2,3,k 2=0,k 3=0,k 4=0,R5 4的秩为4。1,2,3,向量组4R I2 2R331 242111123125 4 03522 23353 0004 43.4向量空间一、V I是向量空间，V 2不是向量空间,二、1、12323 22、分析：按 定 义 求 由 基 1,2,3 到基1,2,3 的过渡矩阵时，先 求 i(i 1,2,3)在 基 1,2,3 下的坐标2,3以 列 构 成 的 i (c i l,c i 2,c i 3)T。考虑向量方程i c i l 1 c i 2 2 c i 3 3,对应的线性方程组的系数矩阵恰好是1,1方阵A ,常数项构成的列向量恰好是i(i 1,2,3)以列构成的，解i (c i l,c i 2,c i 3)T 恰好等于 A乘以列向量i(i 1,2,3)。设1,2,3以列构成的方阵为B,i (c i l,c i 2,c i 3)T(i 1,2,3)以列构成的矩阵为C,则 C恰好是由1,2,3到 基 1,2,3的过渡矩阵。止 匕 时，C=A IB。解 设由基 1,2,3到 基 1,2,3的过渡矩阵为C,则1,2,3 =1,2,3 C,故基C 1,2,3 1 1,2,3 0 0 1=1 10 2 2 1 1I2 21 2 3 2 3 4 2 3 4 0 1 0 1 4 31 0 14 2 8 4三、1、1021四、1 06前x/6210 31021 2、x/2鼻9 0200 02 2730363 6333五、1V x|x2 3k l 14为四维向量，而Rk 2 2 k 3 3 k 41 2 3 4 4,4所 以1 2 3 4可以为向量空4 4间V的一组基,d i m Vd i mR 4,所以V RP P倾 情 制 作8第四章线性方程组、(4)k(2 2 3(1)=4;=3;(2)A32)1 1 4(E10;(3)2;2)k(l,0,0,l)T(,1,0,2)T(5);(6)x k(1 2)二、(DC;(2)B;(3)B.(4)A;三、1 1 11 1 11 1 3 0 2 212选x 3为自由未知量并令x 3 1,得该齐次方程的基础解系为1 2 3 41 2 3 41 3 1 1 0 1 4 511 1解系为1 4124 51 0选x 3,x 4为自由未知量可得该齐次方程的基础0 1四、B并令x 33 4 51 2 3 4 5 1 20 3 2 3 4 选x 3,x 4为自由未知量0,x 4 0,解得 1 1 1 1 173 3 33 4 7 4 x 1 ,x 2 ,于是该齐次方程的个特解为0 01 1 2 0 1 1 2 0 五、(1)B 2 1 6 1 0 1 2 1 由R(A)R(B)2 3知原方程组有无穷多组解。1 1 6 2 0 0 0 0其同解方程组为 x l x 2 2 x 3 0,选 x 3 为自由未知量并令x 3 0,解得x ll,x 2 1,于是该方程组的一个特x 2 x 1 3 21解为10 x lx l x 24,x 22 x 3 0其导出组的同解方程组为，选 x 3 为自由未知量并令x 3 1,解得2,于是导出组的x 2 x 0 3 2 P p 倾 情 制 作 9一个基础解系为02 o 故原方程组的通解为1 23 1 1 11 2 1 41 4 3001 27 3961 4 37 51 71 2 1 40 7 3 7 50 0 1 5 8 1 1(2)7 7R(A)R(B)3 4知原方程组有无穷多组解。x l 2 x 2知量并令x 4x 31,4 x 4 3 其同解方程组为 7 x 23 x 3(注意此处特解的取法)解得1 5 x 5 6 x7 x 4 5,选 x 4 为自由未1 1 3 4x4k421111B由3248031 x 3 3,x 2 l,x l 0,于是该方程组的一个特解为1x l2 x 2 x 3 4 x 4自由未知量并令x 4 1,0 其导出组的同解方程组为解得 1 5 x 5 6 x 0 3 47 x 2 3 x 3 7 x 4 0,选 x 4 为2 2 1 55 1 5 5 1 5 5 63 5 6 3 2 2 x 31 5,x 2 ,x l,于是导出组的一个基础解系为1故原方程组的通解为x k,其 中 k为任意常数。(3)B1 2 0 0 10 1 0 1 0由 R(A)R(B)2 4知原方程组有无穷多组解。先求原方程组一个特解，选 x 3,x 4 为自由未知量并令x 3 0,x 4 0,得 x 2 0,x l 1,于是该方程组的一个特解为1 0 0 0 P P 倾 情 制 作 1 0在其导出组中选x 3,x 4 为自由未知量并令 x 3 1 x l 0 得，,x 4 0 x 2 00 1 x3 0 xl得，于是导出组的一个基础解系为，4 2 0 11 0 1 令1 x 1 x 1 1 2 0故原方程组的通解为x kl 1 k2 2,其 中kl,k2为任意常数。六、1）解：因为A X b为三元方程组而R（A）1,所以A X 0的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，1 2 2 21,1 3 0 0 2均是A X 0的解，显然它们线性无关，可以构成A X 0的一个基础解系。由解的结构知A X b的通解为x kl 1 2 k2 1 3 1,其中kl,k2为任意常数。2）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解。由11 21 0。可得 1,所以当 1时原方程组有非零解。11当 1时，原方程组变为xl x2x2 1 x2 01x3 0 x3x3 0,选x2,x3为自由未知量并令并令x 1得，得11 11 1 ,2 0 xl 1。于是方程组的一个基础解系为0 1通 解 为x kl1 k2 2,其 中kl,k2为任意常数。3）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组 2有非零解。由1 3 2 23 1 032 8142可得1或 3时原方程组有非零解。1 3 2 132 当 1时，原方程组系数矩阵为1 7 2 0 40,选x3为自由未知量，取x3 1,得，21440002 xl 2x 0 2 1方程组的一个基础解系为0通 解 为 x k，其中k 为任意常数。PP倾 情 制 作 111 3 2 1 3 2 1 3 23 时，原方程组系数矩阵为 1 5 21 ,选 x3为自由未知量，当0 8 4 022146 04 2 0 001 xl 1 取 x3 2,得，1,x 2 21 ,方程组的一个基础解系为其同解方程组为xl x2 2x3 0,xl l,x2 1,于是该方程组的一个特选 x3为自由未知量并令x3 0,解得x2 2x3 11 解为 10其导出组的同解方程组为 xl x2 2x3 0,xl 4,x2 2,于 是 导 出 组 的 x2 2x3 0选 x3为自由未知量并令x3 1,解得4 4 1x k 2 1一个基础解系为2 o故原方程组的通解为1 1 0k 4)解：B 11 k 31kllk 2Ilk k Ok 11 k 0k2 31 k2 2k k2 k3 k211 0300 kl k21 k 1 k2 43k(2 k3)1 k 12 k 23 212 3 k 1k 4 0当 R(A)R(B),即k 2 时，原方程组无解。12 k 1k 2 0 312 当 R(A)R(B)3,即 k 1k 4 0,k 1,2,2 时，原方程组有唯一解。312 k Ik 4程组有无穷多解。120 3 当 R(A)k 1 k 2R(B)2 3,即0 3k 1 或 者 k 2 时，原方1111 1110量，在对应的B0300当 k 1 时，原方程组中B中令 x3 1 得 0000 0000030 3,选 x3为自由未知PP倾 情 制 作 1211x1，导出组的一个基础解系 02 01在1111 1B 030 3 xl 1中令x3 1 得0000 x 1,一个特解 12 1于是方程组的通解为x k1124 11当 k 2 时，原方程组中B，其中k 为任意常数。03 3 10，选 x3 为自由未知量,在对应的B 030000 00X1X 3，导出组的一个基础解系 312 1 1在 B 112403 3 10中令x x 22 2233 0得 310000 x,一个特解 10,2 10 33 0于是方程组的通解为x k，其中k 为任意常数。all4 lbl3 lbl35)解：Blb l30 2 b 0 6 31 3 b l90 1 a b laO b O4 3 a0 1 a b l a 4 3 alb l30 b 0 3lb l3O i l a 4O i l a 4O O a b b 3 4 b当 R(A)R(B),即 a b b 0,b 0 或 33 4 b O a 1,b 4时，原方程组无解。当 R(A)R(A)R(B)R(B)3,即 a b b 0,a l,b 0时，原方程组有唯一解。当2 3,即 a b b 0,a 1 且 33 4 b O b 4时，原方程组有无穷多解。P P 倾 情 制 作 2 0 3 0 中令x 3 1 得 0 0 1 3 1 3当 a 1 且 b 时，原方程组中B 04 03 4 1 01 3 10 4 ,选 x 3 为 自由未知量，在对应的B 00 0 034101000 中令 x3 1001 x 1 1得 0，导出组的一个基础解系 0,x 2 1在1 B 00341013 0 x 1 004 中令x3 0 得 4,一个特解 4,x2 0 00于是方程组的通解为x k，其中k 为任意常数。6）将增广矩阵化为上阶梯形11 123 11 1234011231 行 变 换 0 1 1B3 1 1 2 a 0 0 3 2 7 a 32 3 lb 6 0 0 0 b 5 2 2 a 2讨论：1）当 b 5 2 0,而 a 1 0 ,即 a方 程 组（1）无解；l,b5 2 时，R A 3 R B 4 故2)当 b 5 2 0,即 b5 2 时，R(A)R(B)4,方程组有唯一解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为:4 (a 1)x l a x l 2 x 2 3 x 3 x 4代求解得1 8 (a 1)3 a 3 x 3 2 7 x 4a 1x 4 x 0 2 6(a l)a 3 x2 3 4 2 回x 3a 1)x 42(b 5 2 x 43）当 b 5 2 0,a 1 0,即 a组解，由阶梯形矩-l,b-5 2 时，R(A)R(B)n 4,方程组有无穷多1a 323阵得原方程组的一个同解方程组为：x l 2 x 2 3 x 3 x 4 1ITx 2 x 3 4 x 4 0令 x 4 0 得原方程组的一个特解为03 x 3 2 7 x 4 431 4 4 0将上述方程组中常数项都改为0,得原方程组导出组的一个同解方程组为:2 x l 2 x 2 3 x 3 x 4 01 3 x 2 x 3 4 x 4 0令 x 4 1 得其基础解系为9 3 x 2 7 x 0 3 41所以原方程组的通解为x 0 k ,k 为任意常数。7）证明：由于 A x l 2 x 3 A x l 2 A x 3 0 0 0,同理可以验证 x 2 2 x 3,x l 2 x 2也是A x 0的解，由题设知A x 0的一个基础解系中含3 个解向量，下面只需证明x l 2 x 3,x 2 2 x 3,x l 2 x 2 是线性无关的。PP倾情制作14设 kl xl 2x3 k2 x2 2x3 k3 xl 2x2 0整理得 kl k3 xl k2 2k3 x2 2kl 2k2 x3 0kl k3 0 由于 xl,x2,x3 线性无关，故有 k2 2k3 0 2k 2k 02 1101又系数行列式D 012 3 0,故 kl k2 k3 0110从而xl 2x3,x2 2x3,xl 2x2线性无关，是方程组Ax 0 的一个基础解系。Hb3 b3 4328b 1 11 1111 b2 3b3 8)证明：B 3417b2 01 24b2 3b3 01 241111b 0 1 24b 4b 00 48b b 7b 3 13 123由 于 R(A)R(B)3 4,故对任意实数bl,b2,b3原方程组都有解。b3 1111 11110 b2 3b3,选 x4为自由未知量，在对应的B1 01 240 中令 x4 I 对 B 01 2400 48b b 7b 00 480 1233 xl 3 0得 x2 0,导出组的一个基础解系为，2x2 3 13bl b2 5b3 4b3 1111 xl b3 b2 bl b2 3b3 中令x4 0 得 x2 在 B 01 2 4,原方程组的一个特解2 00 48b b 7b x 123 7b3 bl b2 3 43bl b2 5b3 4 b b b 321,于是方程组的通解为x k,其 中 k 为任意常数。2 7b3 bl b2 4 09)解：因为R(A)n 1,所以AX 0 的基础解系中只含有一个解向量。由解的性质，1 2 是 AX 0 的非零解，又题设中 是 AX 0 的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数kl,k2满足kl 1 2 k2 0,PP倾 情 制 作 15整理得kl 1 kl 2 k2 0,从而向量组，1,2 线性相关。1 0)解：考虑向量方程x l 1 x 2 2 x 3 3 X 4 4x 2 x 3 x 4 1 x l x 2 x 3 2 x 4 1 即4 x 4 b 3 2 x 1 3 x 2 (a 2)x 3x 3 (a 8)x 4 5 3 x 1 5 x 2对其增广矩阵进行初等变换，把其化成阶梯形矩阵得:1 02 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 a 1 3 a 2 4 b 3 2 b 1 0b 01 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 25 1 a 8 5 0 a 1 0 2 2 a 5 2 0 0 1O la 01所以：当 a l,b时，表示式唯-一,且0时，不能表示成2 b a b lb 11,2,3,4的线性组合；当 a2 3 0 4.a la la 11第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量一、填空题(1)3;(2)1,n维基本单位向量组的所有非零线性组合;(3)A 1 的 特 征 值 为 1,1 1,k A 的 特 征 值 为 k,2 k,4 k A 2 2 A 3 1 的特征值为6,3,1 1 2 4A T 的特征值为-1,2,4 A*的特征值为8,-4,2 ;(4)0或 1;二、(C):(2)(B);(3)(B);(4)(D);(5)D;三、1)解：特 征 方 程 为 0 5 特 征 植 为 1 4,2 21 1 1 1 1 当 1 4时，4 1 A5 5 0 0 ，对应齐次方程组为x l1 ,对应的特x 2 0,基础解系为征向量x k ,其中k为非零常数。1 5 1 5 1基础解系为5 x 1 x 2 0当 1 2时,5 ,对应2 1 A ,对应齐次方程组为,5 1 0 0的特征向量x k ,其 中 k为非零常数。3 122）解：特 征 方 程 为 I A 0 1 10 1 2 1特 征 植 为 1 0,2 0,3 32 3 01 20 1 111021,当1 。时，对应齐次方程组为2x2 x3 0 2 1 1 1 000 xl x2 x3,基础解系0 01 A1 ,0 2 1对应特征向量x k其 中 k 为非零常数。PP倾 情 制 作 1600 1 1 0 1 0 当 2 2 时，21 A01 11 0应特征向量x k 其 中 k 为非零常数。10 1 1 1 1 0 当 2 3 时，31 A01 12 0应特征向量x k,其 中 k 为非零常数。10 1齐 次 方 程 组 为，基础解系 1 ,对x3 0 0 00 0 1 1 xl x3 01 1基础解系 1,对x2 x3 0 1 00 xl x2 001,对应对 应 齐 次 方 程 组 为，3）解：特 征 方 程 为 1 A 4 1002 023 4 12特 征 植 为 1 2321 0 2 1021 A 4 2012 2 02 10 对 2,000,对应齐次方程组为2x1 x20,基础解系0 1 2 1 0 0 0 0对应特征向量x k l 1 k 2几何重数）。2,其 中 k l,k 2 为不全为零的常数（此题中代数重数大于4）解：特征方程为5 1 2 01 1 0 2 2 3 3 03 52I3A071 0 1特 征 植 为 1 231221 3 1 2I A 5 2x 2 x 3 0 131 0 11 0 1O i l0 0 0 x l x 3 0 对1,对 应 齐 次 方 程 组 为，基础解系1 ,对应特征向量x k,其 中 k为非零常数。（此题中代数重数大于几何重数）。四、解：由于B A A*A I,故 I B I A IA nB的 特 征 植 为 1 A2A,又组1,k l,k 2,i l B A I A I 0,对应方程组为o X2,n,故 B的特征向量为x k l,k n 为不全为零的常数。0,可选一个基础解系为基本单位向量1 k 2 2k n n,其中五、证:设 为 A的任一特征值,x为对应于的特征向量,贝 ij A x x所 以 A x A (A x)A(x)A x2 又 A 2 x A x x,x x)x2 2n,即(，2但 x ，所以1 0 ,即0或1 .（2）因T不是A的特征值，故 0IA (1)1 A,即 I A 0,I A可逆。In 六、证：（1）由 条 件 知 有 非 零 向 量;满 足 两 端 左 乘 以 A,得&=A（A;）,由 于&为 非 零 向 量，故 入#0,于 是 有 A 1P P 倾情制作 1 1 1 7 据特征值的定义，数 由 于 A 1 1-1 为矩阵A的特征值。|A|A|1 1 1*，故数为A的特征值。A*,故(1)中的结论可写为A*,即 A*|A|A|(3)取 A的关于人的特征向量为X,则 A X=X X,于是有A 2X A(A X)A X 2X.七、证：必要性：因 A X=O 有非零解，故|A|=0,又因|0 E A|A|(l)n|A 0.A =0 是 A的特征值。充分性：因 0为 A的特征值，故0 E A|A (l)n|A|0/.|A|=0,因而A X=O 有非零解。xl八、解：(1)设 xl 1 x2 2 x3 3 1 2 3 x2,x3把此方程组的增广矩阵作初等行变换1111 1111 1 123 1231 0 120014 9 3 0 38 2 0得唯一解(2,-2,1),故有 P=2 l-2 2+U(2)由于 A W i=入 i&i,故 A n i ni i：因此A n A n(2 1 2 2 3)2(A n 1)2(A n 2)A n 31 1 1 2 2n 1 3n2 n12 123n 32 2n 2 3n 11 4 9 2 2n 3 3n 2 5.2 相似矩阵、矩阵的对角化一、填 空 题 2,-1,4,-3,24;(2)1二、(1)(B;(2)(C);(3)(A);(4)(0;三、1)A 1(1)2 212)由于 P 1AP 1,故 P 12A3 5A2 3IP 042 1即 P IBP 04,所以B 的特征值为0,-4,-1。13)A 51 1 5(1 5)2 5 721 10四、1)解：特 征 方 程 为 I A 0 2 1 000 3特 征 值 为 1 1,2 2,3 3PP倾 情 制 作 111 120 011 18故 A可对角化，A22）解：特 征 方 程 为 I A10 1 02002特 征 值 为 12320 10对2 1 A x 0,系 数 矩 阵 00 1，秩为2,说明A只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，000不相似与所给的对角矩阵。23）解：特 征 方 程 为 I A110 31 2 11211211 0 32302特 征 值 为1 0,2 3 30 0 0对3 1 Ax 0,系 数 矩 阵0 0 0 ,秩 为1,说 明A有两个线性无关的特征向量，故它 可 对 角 化，相似1 11与 所 给的对角矩阵。五、1）解：特征方程为3I A7 61110 7 3 6 2 30 15624 1 04 2特 征 值 为1 4,2 3 20 0 1对 21 A X 0,系 数 矩 阵6 6 1,秩 为2,说 明 此 时A只有一个线性无关的特征 向 量，故它不可对6 6 0角 化。12）解：特 征 方 程 为 I A 33 3 160 3563 36特 征 值 为 1 4,2 3 242 3 02 433 3 11 1对 21 A X 0,系数矩阵 33 3 0 0 0 ,秩 为 1,的特征向量，6 6 6 0 0 01 1故它可对角化。对此齐次方程组取一个基础解系1 1 20 133 3 11 1说明A有两个线性无关0对 41 Ax的特征向量，0,系数矩阵 39 30 2 1，秩 为 2,说明A有一个线性无关6 6 0 0 0 0PP 倾情制作191取一个基础解系3121 112取 P1,2,310 1，有 P 1A P20 1243）解:特征方程为3I A 44 10 0210218 2特征值为12,23 12 10特 征 向 对 1210A X 0,20系数矩阵44 8 30 10 30 0 0 ，秩 为 2,说明此时A只有一个线性无关的量，故它不可对角化。六、解：由于A有 3 个互不相同的特征值，故它可对角化。12 2 10 0 1 取 P p l,p 2,p 3 2 2 1,有 PA P 0 0 021 0 0 1 210 0 30 6 11 从而 A P 0 0 0 P 0 369 0 0 1 6 6 05.3实对称矩阵的对角化一、填 空 题(1)线 性 无 关，正 交；(2)3二、解：特征方程为1I A 24 24 2450 24 2特 征 值 为 1 4,2 3 54 24 212方程组取一个基础解系对4 245 10 0 0A X 0,系 数 矩 阵 2120 0 0 ，对应的齐次1012220143114 124 1A5 2X 0,2系数矩阵1，对应的齐次方程组取一个基础解系2 8 2024 25 00 0 PP倾 情 制 作 20452正交化:121122211,153101 324单位化:15 522211211121531115 0 3 214 25 213P 2211,2,3取 5 3 5 0 05 212 1,有 PA P 0 50 0213 0 0 410 0 10 00 0 2 0 20三、解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故 0 110 0 21 0 1 1 2 2解 方 程 组 得 1 1,2 1四、解：1）由于相似矩阵有相同的特征值，A的特征值为0,1,2 从而有0 A 0,1 A 0,21 A 0 0 A 2即0I A 2 0,解得 021 A 2 010 12）此 时 A01010110 1 1 1 0 A 0 1001010,其一个基础解系1 01010001I A 00 1000 001 02 1 100 100000，其一个基础解系010 1 10 121 A 010 1010，其一个基础解系3 0 101 0001 PP倾 情 制 作 211 1 222 1 ,10 1 03 0单位化：12 2 01 1 0PAP 01022 000 P10 2 002 21,2,3 01011，有五、解：特征方程为I2A11 1 1 1 4 1 0 2 2 1 2特 征 值 为 1 4,2 3 11 1 1 111 对I A X 0,系数矩阵1 1 1 000,对应的齐次方程组取一个基础解系1 1 1 0001 1 112 00 11 2 1 1 11 2 12 1 01 1 41 A X 0,系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系3 11 1 12 0001 11 100 100 P 1,2,3 101,有P 1AP 010，故 A P 010 P 1011004004100100100 lk 1 1A P010PP010P P010 从而P0040040044k 24k 14k 1 100 11 kkk P 010 P 4 14 24 13 k kk 004k 4 14 14 2六、证明：1）设 A为幕零矩阵，有 特 征 值，即 Ax x,x 0Akx Ak 1 Ax Ak 1 x Ak lx kx,又 Ak 0,带入上式得Ox k x,即0 k x 0,又 x 0,只 有 k 0从而 0足 P 1AP B,有 A PBP 1 POP 1 0,与题设A为非零矩阵矛盾，假设错误A不能相似于对角矩阵。第六章二次型PP倾 情 制 作 22 2)反证法：假 设 A相似于对角矩阵B,由于相似矩阵有相同的特征值，故 B为零矩阵，且存在可逆矩阵P 满 6.1 二次型及其矩阵表达式6.2化二次型为标准形1 10 0 1 2 222一、填空题 110 ;(2)10 3,3;(3)2;(4)x1,1 2x1x2 t x2 3x30 230 0 0二、(1)D;210 xl三、解：(1)xl,x2,x3 120 x20 0 3 x 3(2)特征方程为2I A 110 01 3 0223特 征 值 为 1 1,2 3 31 10 1 10对3 1 Ax 0,系数矩阵 110 0 0 0 ,对应的齐次方程组取一个基础解系0 000 001 0 112 00 111 10 110I A X 0,系数矩阵 1 10 002,对应的齐次方程组取一个基础解系3 10 0 000 0 2由 于 1,2,3 相互正交，只需对它们单位化:1 0 1 111111,12 2 0 101 102 211 xl P 1,2,31,2 2 0,3单位化:22取，作正交变换xP y,即 010 x222则 x Py将 f 化为标准形f 3yl2 3y2 y3四、2222解：(1)f(xl,x2,x3)xl x2 x3 x2 x3 2x2x3 2x2 7x3 6x2x3222 xl x2 x3 x2 6 x3 4 x2x322xl x2 x3 x2 2x3 2x322121yl yi11y3y322x3 y2Pp 倾 情 制 作 23yl xl x2 x3 xl yl y2 y 3 令 y2 x2 2x3,显然它是一个可逆变换，它 的 逆 变 换 x2 y2 2y3 也是可逆线性变换，这个线性变 y3 x3x3 y3222换 将 f 化为标准形f yl y2 2y3该二次型是一个秩为3 的二次型。22(2)f (xl,x2,x3)xl x2 2x3 4 x2 8 x3 4 x2x3 22 xl x2 2x3 2x2 x3 9 x3 2215 x y y y312 1 yl xl x2 2x322 1令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将f y 2x x 223 x2 y2 y3 2 y3 x3 x3 y322化为标准形f yl 2 y2 9 y3该二次型是一个秩为3 的二次型。22(3)f(xl,x2,x3)xl 2x2 2x2 4 x2x3 3x322 xl 2x2 2 x2 x3 5 x322yl xl 2x2 xl yl 2y2 2 y 3令y2 x2 x 3,显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将f化x2 y2 y 3 y x x3 y3332 2 2为标准形f yl 2y2 5 y3该二次型是一个秩为3的二次型。2(4)f(xl,x2,x3)xl 2x2 4 x2 8 x2x3 22 xl 2x2 4 x2 x3 4 x322yl xl 2x2 xl yl 2y2 2 y 3令 也 是 可 逆 线 性 变 换，这个线性变换将f化y2 x2 x 3,显然它是一个可逆变换，它 的 逆 变 换x2 y2 y 3 y x x3 y3332 2 2为标准形f yl 4 y2 4 y3该二次型是一个秩为3的二次型。xl yl y2(5)令 x2 yl y2x y332f (xl,x2,x3)yl 2 y2 2yl y3 10 y2y322 yl y3 y2 y3 10 y2y3 22 yl y3 y2 5 y3 24 y322zl yl y3 yl zl z3 xl yl y2 令，它的逆变换，带入z y 5 yy z 5 z 2 2 x2 yl y2 2323 z y y z x y333333作24P P倾情制xl zl z2 6 z3 2 2 2得 x2 zl z2 4z 3,这个线性变换将f化为标准形f zlz2 24 z3 x3 z3该二次型是一个秩为3的二次型。(6)f(xl,x2,x3)xl 2x2 2x3 2x1x2 2x1x3 4 x2x3 222(xl x2 x3)2(x2 x3)2yl xl x2 x3令 y2 x2 x3xl y l即 x2 y2 y 3 显然是可逆的线性变换,y3 x3x3 y322且在该可逆变换下有f(xl,x2,x3)yl y2该二次型是一个秩为2 的二次型。l a i xl l a i 五、解：(1)f xl,x2,x3 a l b x2,该二次型的矩阵为A a l b ,l b 3 x l b 3 322它可经过正交变换X QY 化为标准形f y 2,故 0,1,2 是矩阵A的三个特征值。从而 有 2y30 A 0,1 A 0,21 A 0 0 A a b 2 0 QP I A 2a b 0,解得a b 021 A a b 2 01 a 11 六、解：该二次型的矩阵为A 10 b ,由题设1是矩阵A的特征向量，故存在特征值 满足A ,0 Ib la 1 即 A 1，可得 a 0,b l,11 b 00 11 此时A 10 1,特 征 方 程 I A 0解得特征值为1 1,2 3,3 3 111222二次型f的标准形为f yl y2 3y3 6.3 二次型的规范形、惯性定律 6.4正定二次型一、填 空 题(1)不是，不是，不是；(2)a 7;(3)2 t二、(1)A;(2)A;(3)C;(4)C;(5)D;(6)D.2 PP 倾情制作 25三、(1)该二次型的矩阵为A 2111 6 0,因为a l l 2 0,二次型f非正定。10 41 121(1)该二次型的矩阵为A 130 320 9 6 ,1 3 6 191 1因为a l 0,1 211 13 2 0,130 6 0,20 91 121A 130 320 9 6 24 0,二次型f正定。1 3 6 19l a 1四、(1)该二次型的矩阵为A a l 2125要使得二次型f正定，只有：l a 2a l l 1 0,l a a l 1 a 2 0,a l 2 5 a 22254 a 0同时成立,所以二次型f正 定 可 得 45 a O o2 1(2)该二次型的矩阵为A 125 11 la要使得二次型f正定，只有：al212 111 1 0,25 1 0,25 1 a 2 0 同时成立，1 la所以二次型f正定可得a 2。22 2(3)二次型f的矩阵为A2t0,其顺序主子式分别为 20tAl 2A2 2(t 2)A3 2t(t 4)由于f正定，得 2(t 2)02t(t 4)0,t 4.五、证明：设A的 特 征 值 为1,2,n,x i为i对应的特征向量(i 1,2,n)Axi i x i,又(A tl)xi ixi txi(i t)xi,PP 倾情制作26 A t l的 特 征 值 为1 t,2 t,n t。取t max 1,2,n ,则A t l的所有特征值均大于0,又A为n阶实对称矩阵，有A t l也为n阶实对称矩阵，所以，当t充分大时，A tl为正定矩阵。线性代数试题(三)答案一、填空题(每小题4分，共20分)1、8 2、10 3、唯一 4、a 0,b 1 5O67/2二、选 择 题（每小题4分，共 20 分）1、C 2、B 3、A 4、C 5、Dx yxxxyO O x三、（8分）解：Dxx 2yxx0 2yxxxx 2yx 00 0 2yx xxxx 3y 3y0 0 x 3yyO O x 0 2y0 x0 0 2yx 4 y3 2x 3y 8 xy3 12y4 0 0 0 2x 3y四、（10 分）212 4 1 1 12 2 11 2 解：11 121212 4 1281 20 14 1 2 2 012 13 12 10 12 13 312114 1211 40 12 1 4211 12 20 14 8 1 22，于是 40 0 6 9 231 2 2 30 0 0 0 4 23所以：1,3,2 01,2,3,4的一个极大线性无关组为：1,2,4),且 40 1 2 3(或 3 0 11 3 4)五、(12 分)3(或 1,2,2 4,4,1 110 11111111 13解:11 130 31111 110 0 03 22 31)当0时,方程组无解;2)当当0且3 时，方程组有唯一解；3)当3 时，方程组为:xl x2 2x3 33 时，方程组有无穷多解.x2 x3 2PP倾情制作27令：x 得特解为：12 1（或 令：x3 0 2 0得特解为：0）0 21导出组 xl x2 2x3 0 x 的基础解系为：x2 3 0 11所以，方程组有无穷多解时其通解为：x k （其中k为常数）.六、（12 分）-11解：I-A 0 20 2 2 0,则 1 0,2 3 210 1将 0代入 I A X 得基础解系为：111 0 （这里 x2 0,xl x3)11将 A X 得基础解系为：2 3 2 代入 12 0,31 x3 0)1 0令：T2 2 1,0,1,33 0,1,0 T2,220将72正72V21,2,3单位化得：1 0,01 (这里x3,27?2 0,3 100令：P 0 0 1，则 P 1A P 020 2七、（1 0分）解:（1）二次型的矩阵表达式为A=f x,x 2 20 xl1,x2,x3 xl,x23 21 2x20 20 x3(2)f x,x2212,x3=2x1 x2 4 x1x2 4 x2x3=2 x222221 2x1x2 x2 x2 4 x2x3 4 x3 4 x3PP 倾情制作 28=2 x2 x221 x2 2 2x3 4 x3yl=xl-x2 xl=yl y2 2y3 令 yx2=2 2x3,易验证它是个可逆变换，其逆变换：x2=y2 2y 3 y3 x3 x3 y3这个线性变换化f x2221,x2,x3 为标准型：2yl y2 4 y32 20(3)令：A21 2,则 A的顺序主子式为：0 20201 0,2 2221 2 0,21 2 8 0,所以此二次型不是正定二次型.0 20八、(8 分)证 明：考虑向量方程k k l 1 k 2 2,则 A k k l 1 k 2 2，即：k A k l A 1 k 2A 2 因为：A ,A 1 b,A 2 b,所以：k l k 2 b ,得：k l k 2 0,从而：k l k2,将 k l k 2代入(*)式得：k k l 1 2而，1 2 都是A X 的非零解，且 R(A)n 1,因 此，1 2 线性相关，即：k,k l 不全为零，从而存在不全为零的数k,k l,k 2使(*)式成立，所以：向量组,1,2 线性相关.线性代数试题(四)答案一、(20 分)1、(A)2、(B)3、(C)4、(D)5、(D)231二、(20 分)1、1 2、12A 124 6 8 3、3 4、4 5、1 t 18 124三、计 算 题(16 分，每小题8分)PP倾情 制 作 295 11111111111、15 11110 0