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精品资料 欢迎下载 导数证明不等式构造函数法类别 1、移项法构造函数【例1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(xxxg，从其导数入手即可证明。【解】1111)(xxxxf 当01x时，0)(xf，即)(xf在)0,1(x上为增函数 当0 x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数 故函数()f x的单调递增区间为)0,1(，单调递减区间),0(于是函数()f x在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf，因此，当1x时，0)0()(fxf，即0)1ln(xx xx)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(xxxg，22)1()1(111)(xxxxxg则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(xgxxgx时当时，即)(xg在)0,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，故函数)(xg在),1(上的最小值为0)0()(mingxg，当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx 111)1ln(xx，综上可知，当xxxx)1ln(111,1有时 2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数.ln21)(2xxxf 求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的 图象的下方；分析：函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方)()(xgxf 不等式问题，即3232ln21xxx，只需证明在区间),1(上，恒有3232ln21xxx成立，设)()()(xfxgxF，),1(x，考虑到061)1(F 要证不等式转化变为：当1x时，)1()(FxF，这只要证明：)(xg在区间),1(是增函数即可。精品资料 欢迎下载【解】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，则xxxxF12)(2=xxxx)12)(1(2 当1x时，)(xF=xxxx)12)(1(2 从而)(xF在),1(上为增函数，061)1()(FxF 当1x时 0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例 3】（20XX年，山东卷）证明：对任意的正整数 n，不等式3211)11ln(nnn 都成立.分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令xn1，则问题转化为：当0 x时，恒 有32)1ln(xxx成立，现构造函数)1ln()(23xxxxh，求导即可达到证明。【解】令)1ln()(23xxxxh，则1)1(31123)(232xxxxxxxh在),0(x上恒正，所以函数)(xh在),0(上单调递增，),0(x时，恒有，0)0()(hxh 即0)1ln(23xxx，32)1ln(xxx 对任意正整数 n，取3211)11ln(),0(1nnnnx，则有【警示启迪】当()F x在,a b上单调递增，则xa时，有()F x()F a如果()f a()a，要证明当xa时，()f x()x，那么，只要令()F x()f x()x，就可以利用()F x的单调增性来推导 也就是说，在()F x可导的前提下，只要证明()Fx即可 4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：a)(afb)(bf 【解】由已知 x)(xf+)(xf0 构造函数)()(xxfxF，则)(xF x)(xf+)(xf0，从而)(xF在R上为增函数。ba )()(bFaF 即 a)(afb)(bf 数的单调递增区间为单调递减区间于是函数在上的最大值为因此当时即的图象在函数的图象的下方分析函数的图象在函数的图象的下方不等式故在区间上函数的图象在函数的图象的下方换元法构造函数证明例年山精品资料 欢迎下载【警示启迪】由条件移项后)()(xfxf x，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF，求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(xfxf x，则移项后)()(xfxf x，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数 例（全国）已知函数xxxgxxxfln)(,)1ln()(1)求函数)(xf的最大值；(2)设ba 0,证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag.证明：对xxxgln)(求导,则1ln)(xxg.在)2(2)()(bagbgag中以 b 为主变元构造函数,设)2(2)()()(xagxgagxF,则2lnln)2(2)()(xaxxagxgxF.当ax 0时，0)(xF,因此)(xF在),0(a内为减函数.当ax 时,0)(xF,因此)(xF在),(a上为增函数.从而当ax 时,)(xF 有极小值)(aF.因为,0)(abaF所以0)(bF,即.0)2(2)()(bagbgag 又设2ln)()()(axxFxG.则)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG.当0 x时,0)(xG.因此)(xG在),0(上为减函数.因为,0)(abaG所以0)(bG,即2ln)()2(2)()(abbagbgag.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例已知函数21()2xf xaex (1)若 f(x)在 R上为增函数,求 a 的取值范围;(2)若 a=1,求证:x 0 时,f(x)1+x 解：(1)f(x)aex，（）在上为增函数，f(x)对恒成立，即-对恒成立 记（）-，则()-=(1-x)e-x，当时，（），当时，（）知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,g(x)在 x=1 时,取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e,a1/e,即 a 的取值范围是1/e,+)(2)记 F(X)=f(x)(1+x)=)0(1212xxxex 则 F(x)=ex-1-x,令 h(x)=F(x)=ex-1-x,则 h(x)=ex-1 当 x0 时,h(x)0,h(x)在(0,+)上为增函数,又 h(x)在 x=0 处连续,h(x)h(0)=0 数的单调递增区间为单调递减区间于是函数在上的最大值为因此当时即的图象在函数的图象的下方分析函数的图象在函数的图象的下方不等式故在区间上函数的图象在函数的图象的下方换元法构造函数证明例年山精品资料 欢迎下载 即 F(x)0,F(x)在(0,+)上为增函数,又 F(x)在 x=0 处连续,F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x 7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当2111)1(,0 xxexx 时 8.构造形似函数 例：证明当abbaeab证明,例：已知 m、n 都是正整数，且,1nm 证明：mnnm)1()1(数的单调递增区间为单调递减区间于是函数在上的最大值为因此当时即的图象在函数的图象的下方分析函数的图象在函数的图象的下方不等式故在区间上函数的图象在函数的图象的下方换元法构造函数证明例年山精品资料 欢迎下载【思维挑战】1、设xaxxxfaln2ln1)(,02 求证：当1x时，恒有1ln2ln2xaxx 2、已知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中a0，且aaabln32522，求证：)()(xgxf 3、已知函数xxxxf1)1ln()(，求证：对任意的正数a、b，恒有.1lnlnabba 4、)(xf是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足)()(xfxf x0，对任意正数a、b，若a b，则必有 （）（A）af(b)bf(a)（B）bf(a)af(b)（C）af(a)f(b)（D）bf(b)f(a)【答案咨询】1、提示：xaxxxf2ln21)(，当1x，0a时，不难证明1ln2xx 0)(xf，即)(xf在),0(内单调递增，故当1x时，0)1()(fxf，当1x时，恒有1ln2ln2xaxx 2、提示：设bxaaxxxfxgxFln3221)()()(22则xaaxxF232)(=xaxax)3)()0(x 0a，当ax 时，0)(xF，故)(xF在),0(a上为减函数，在),(a上为增函数，于是函数)(xF 在),0(上的最小值是0)()()(agafaF，故当0 x时，有0)()(xgxf，即)()(xgxf 3、提示：函数)(xf的定义域为),1(，22)1()1(111)(xxxxxf 当01x时，0)(xf，即)(xf在)0,1(x上为减函数 当0 x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为增函数 因此在)(,0 xfx时取得极小值0)0(f，而且是最小值 于是xxxfxf1)1ln(,0)0()(从而，即xx111)1ln(令abxbax1111,01则 于是abba 1ln 因此abba1lnln 数的单调递增区间为单调递减区间于是函数在上的最大值为因此当时即的图象在函数的图象的下方分析函数的图象在函数的图象的下方不等式故在区间上函数的图象在函数的图象的下方换元法构造函数证明例年山精品资料 欢迎下载 4、提示：xxfxF)()(，0)()()(2xxfxxfxF，故xxfxF)()(在（0，+）上是减函数，由ba 有bbfaaf)()(af(b)bf(a)故选（A）数的单调递增区间为单调递减区间于是函数在上的最大值为因此当时即的图象在函数的图象的下方分析函数的图象在函数的图象的下方不等式故在区间上函数的图象在函数的图象的下方换元法构造函数证明例年山
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