高三数学辅导讲座函数三

函数（三）函数（三）例例1 1 已知函数已知函数 (a a 0 0 且且a a 1)1)在其定义域在其定义域 1,1 1,1 上是减函数，则实数上是减函数，则实数 a a 的的取值范围是取值范围是_._.六、幂函数、指数函数与对数函数六、幂函数、指数函数与对数函数【讲讲解解】由由a0且且a1知知t3ax是是减减函函数数，从从而而lg(3ax)也也是是减减函函数数，故只有故只有a1时，时，f(x)才是减函数；才是减函数；另外，另外，x 1，1 时时，要保证要保证 3ax0，为此只须考虑最小值：，为此只须考虑最小值：x1时时,tmin=3a，要要3a0，则则a3，综上知，综上知1a3 例例2 如果不等式如果不等式 x2 0 在区间在区间 上恒成立，那么实数上恒成立，那么实数a 的取值范围是的取值范围是_【讲解】【讲解】设设yx2 y 当当a1时，函数时，函数在在 上取负值，上取负值，因此因此 不可能有不可能有x2 成立成立在在 上函数上函数的最大值是的最大值是 ，在在 上，当上，当0a1时，时，的最小的最小 值是值是 ，在在 上，上，x2 恒成恒成立立 当当0a1时，由时，由 ，得得例3.化简(1)(2)(3)略解：(1)x的指数是0,所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1(3)原式=例4.若，求解：因为所以f(x)+f(1-x)=1解：令121995=a0则所以例6.已知函数f(x)=logax(a0,a1,xR+)若x1,x2R+,试比较 与的大小例7.已知y1=，y2=当x为何值时(1)y1=y2(2)y1y2(3)y1y2例8.对于自然数a,b,c(abc)和实数x,y,z,w若(1)ax=by=cz=70w (2)求证：a+b=c例例9.9.已知已知A=6lgA=6lgp p+lg+lgq q，其中，其中p p,q q为素数，为素数，且满足且满足q q-p p=29=29，求证：，求证：3A43A4证明：由于证明：由于p p、q q为素数，其差为素数，其差q q-p p=29=29为为奇数，奇数，p p=2,=2,q q=31=31A=6lg2+lg31=lg(6431)=lg1984A=6lg2+lg31=lg(6431)=lg198410001984100001000198410000故故3A43A0,a1)且(为锐角)，求证：1a1又f(15)=sin+cos故a15 综合得：1a15证：因为0a0,ay0由平均值不等式故例11.已知0a00且且a a1,1,求证：方程求证：方程a ax x+a a-x x=2=2a a的根不的根不在区间在区间-1,1-1,1内内解：设解：设t=ax,则原方程化为：则原方程化为：t2-2at+1=0(1)由由=4a2-40得得a21,即即a1令令f(t)=t2-2at+1,f(a)=a2-2a2+1=1-a20下略例例16.16.解方程：lg2x-lgx-2=0(其中x表示不大于实数x的最大整数)解：由x的定义知，xx，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-20即-1lgx2当-1lgx0时，lgx=-1，于是原方程为lg2x=1 当0lgx1时，lgx=0，原方程为lg2x=2，均不符合lgx=0当1lgx0且a1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为例18.当a为何值时，不等式有且只有一解因为f(4)=log3(2+1)log5(4+1)=1所以(1)等价于u4,即x2+ax+54此不等式有无穷多解(1)当0a0时，均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数由f(4)=1知，(2)等价于0u4，即0 x2+ax+54从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即=a2-4=0，a=2时，不等式0 x2+ax+54有唯一解x=-1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解(2)当a1时，不等式化为(2)例19.已知a0且a1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即即又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-,-1)U(0,1)分别解关于的不等式、方程得：(k0时）所以解得k-1或0k0得，x0,所以函数的定义域为(-,0)令3x=t,则t(0,1)，于是故当x=-1时，得y的最小值-2+2log23 例例22 已已知知函函数数f(x)和和g(x)都都是是奇奇函函数数，且且 F(x)=a f(x)+b g(x)+2，若若在在(0,+)上上F(x)有有最最大大值值8,则则在在(,0)上上F(x)有有 (A)最小值最小值8 (B)最小值最小值4 (C)最小值最小值6 (D)最大值最大值8【解】【解】设设x0，则，则x0，依题意依题意F(x)af(x)+bg(x)+28 f(x)和和g(x)是奇函数是奇函数af(x)bg(x)+28 a f(x)+bg(x)6 F(x)af(x)+bg(x)+24故故F(x)在（在（，0）上有最小值）上有最小值4应选（应选（B）例例23 求求函函数数 的值域的值域 【讲讲解解】和和 这这两两项项的的平平方方和和是是常常数数，而而平平方方之之积积是是二二次三项式次三项式 据这个特点可以演变出下面多据这个特点可以演变出下面多种解法种解法【解法【解法1】易知定义域为易知定义域为 0 x1，0 x1 x2+x 的值域是的值域是 0，的值域是的值域是 0，的值域是的值域是1，1+xx+1 2 且且 时，时，等号成立等号成立【解法【解法2】又由又由0 x1知知x2x,，且且x1或或0 时等号成立时等号成立综合以上结果知，综合以上结果知，的值域是的值域是 1，【解法【解法3】设设 ，t 0，1则则整理，得整理，得2t 22yt+y 2 1=0由于该方程有非负实根，由于该方程有非负实根，所以所以 解之，得解之，得 当当y1时时x1或或0，时，时，故两个等号皆成立，故值域为故两个等号皆成立，故值域为【解法【解法4】且且 设设 ，则则 值值域域为为1，例例24 已已知知函函数数 ,定定义义域域为为 ,且且ab，求求函数的最小值函数的最小值 【讲解】【讲解】若把定义域扩大为若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，那么用平均值不等式知，xb时，时，y 有最小值有最小值2b,而当而当 时，时，,于是猜想，在于是猜想，在 上函数递减，当上函数递减，当然在然在 上也是减函数于是有下上也是减函数于是有下面的解法面的解法1和和2 0 xab a xb20 且且 xa0 且且 xa 时，时，等号成立故等号成立故y 的最小值为的最小值为 【解法【解法1】【解法【解法2】令令0 x1x2ab，则则x1x20 且且x1 x2b2，f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)即即 f(x)在在 上是减函数，上是减函数，xa 时，时，y 最小且最小且 【讲讲解解】另另一一个个途途径径就就是是对对函函数数解解析析式式做做出出变变形形，一一方方面面可可以以变变换换为为 x的的一一元元二二次次方方程程，用用根根的的判判别别式式建建立立 y的的不不等等式式，另另一一方方面面可可以以创创造造条条件件使使用用均均值值不不等等式式，或或配配方方，以以构构造造 y的的不不等等式式，另另外外，函函数数解解析析式式变变形形后后，可可以以和和三三角角公公式式相相联联系系，寻寻求求三三角角代代换换的的方方法法 【讲解【讲解3】函数式化为函数式化为x2yx+b20依题意，该方程在依题意，该方程在 上有实根，于是上有实根，于是=y24b20，即，即y2b而函数而函数 (x)x2yx+b2图像的对称轴为图像的对称轴为 因因此此，函函数数 (x)在在 上上递递减减，故故只只能能有有一一个个实实根根，该该实实根根存存在在的的充充要条件是要条件是 (a)0即即a2ay+b20，y 且且xa 时，等式成立，时，等式成立，故故 ，xa 时等号成立，时等号成立，而而 在在 上是减函数上是减函数,xa 时时,其值最小，其值最小，故故xa 时时,y 有最小值，有最小值，【解法【解法4】【解法【解法5】由由0 xab 得得且且bxba0 当当xa 时，时，【解法【解法6】令令 =tan，0 xab，且且 时，时，即即