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第三章第三章 概率概率第第1 1课时课时 随机事件的概率随机事件的概率根底梳理根底梳理一定会发生一定不会发生必然事件与不可能事件可能发生也可能不发生 1.事件(1)必然事件:(2)在条件S下,的事件,叫做相对于条件S的必然事件.(3)(2)不可能事件:(4)在条件S下,的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.(5)(3)确定事件:(6)统称为相对于条件S的确定事件.(7)(4)随机事件(8)在条件S下,的事件,叫做相对于条件S的随机事件.2.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中 为事件A出现的频数;称 为事件A出现的频率.由于A发生的次数至少为0,至多为n,因此频率总在0与1之间,即 3.概率(1)含义:概率是度量随机事件发生的 的量.(2)与频率联系:对于给定的随机事件A,事件A发生的频率 随着试验次数的增加稳定于 因此可以用 来估计概率P(A).事件A出现的次数事件A出现的比例可能性大小频率题型一题型一 事件与随机事件的概念问题事件与随机事件的概念问题例例1 1判断以下现象是否为随机现象判断以下现象是否为随机现象.1 1 某路口单位时间内发生交通事故的次数；某路口单位时间内发生交通事故的次数；2 2 四边形的内角之和为四边形的内角之和为360360；3 3某同学竞选学生会主席的成功性；某同学竞选学生会主席的成功性；4 4 姚明在每场篮球比赛中所得的分数；姚明在每场篮球比赛中所得的分数；5 5 太阳明天会西升东落太阳明天会西升东落.分析分析 判断一个现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性，判断一个现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性，假设一定发生或一定不发生，那么它就不是随机现象，否那么是随机现假设一定发生或一定不发生，那么它就不是随机现象，否那么是随机现象象.典例分析典例分析解解 1 1、3 3、4 4是随机现象，是随机现象，2 2(5)(5)不是随机现象不是随机现象.1.指出以下事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.(1)如果ab,那么a-b0;(2)某射手射击一次,击中10环;(3)在一个三角形中,大边对的角小,小边对的角大;(4)将一枚硬币连掷三次,结果出现三次正面;(5)从分别标有号码1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签;(6)导体通电后,发热.解析：解析：(1)(6)是在相应的条件下一定会发生的事件，为必然事件；(2)(4)(5)是在相应的条件下可能发生也可能不发生的事件，为随机事件；(3)是有相应的条件下不可能发生的事件，为不可能事件.题型二题型二 随机事件的概率问题随机事件的概率问题例2某地区近5年出生婴儿的调查表如下：出生频率 共计n=出生数4871722354052517675年总计934664522348243200695872462184965420059645646758496982004990984773351365200310228049473528072002女孩男孩 女孩男孩出生年份完成该地区近5年出生婴儿的调查表，并分别求出生男孩和生女孩概率的近似值.分析分析 利用公式 ，依次算出频率值，用频率估计男孩、女孩出生的概率.解解0.4830.5175年总计0.4840.51620060.4820.51820050.4850.51520040.4820.51820030.4840.5162002女孩男孩出生频率出生年份2.某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示:抽取球数n501002005001000 2000优等品数m45921944709541902优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保存到小数点后三位)解析：解析：(1)依据公式可算出表中乒乓球优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值虽然不同,但却都在常数0.950的附近摆动,所以抽取一个乒乓球检测时,质量检查为优等品的概率为0.950.第第2 2课时课时 概率的意义概率的意义根底梳理根底梳理可能性.规律性公平使得样本出现的可能性最大1.对概率的正确理解2.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有 ,认识了这种随机性中的 ,就能比较准确地预测随机事件发生的3.2.游戏的公平性4.尽管随机事件发生具有随机性,但当大量重复这一过程时,它又呈现出一定的规律性,因此利用概率知识可以判断一些游戏规则是否 .3.决策中的概率思想 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法,极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.4.天气预报的概率解释“明天本地降水概率为70%”是指本地降水的机会是70%,而不是本地70%的区域降水.当然降水机会是一个随机事件,随机事件在一定条件下可能发生,也可能不发生,因此降水概率为70%是指降水的可能性为70%,本地不一定必须下雨,也不一定不下雨,所以如果本地不下雨,并不能说天气预报是错误的.规律性题型一题型一 正确理解概率的意义正确理解概率的意义例1某种病的治愈率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？该如何理解治愈率是0.3呢？分析分析 概率反映了事件发生的可能性的大小.解解 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数量的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的；因此前7个人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没有治愈.治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有1 000人，那么我们根据“治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的.这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验条件下，随机事件发生的频率的稳定性.典例分析典例分析解析：解析：这种说法是不对的.虽然每次掷骰子出现6点的概率是 ,但连续掷6次骰子不一定会1,2,3,4,5,6各出现一次,可能出现某个数的次数多一些,其他的数少一些,这正好体现了随机事件发生的随机性.但随着试验次数的增加,出现1,2,3,4,5,6各数的频率大约相等,即都为试验次数的 左右.1.“一个骰子掷一次得到6的概率是 ,这说明一个骰子掷6次会出现一2.次6”,这种说法对吗?请说明你的理由.题型二题型二 概率在现实生活中的应用概率在现实生活中的应用例2设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的？分析分析 此类问题作出判断的依据是此类问题作出判断的依据是“样本发生的可能性最大样本发生的可能性最大.解解 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是 ，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是 .由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的.所以我们作出统计推断：该球是从甲箱中抽出的.2.在使用计算机输入法时,英语中某些字母出现的概率远远高于另一些字母.进一步深入研究之后,人们还发现各字母被使用的频率相当稳定,下面就是英文字母使用频率的一份统计表:字母空格ETOANI频率0.20.105.0710.06440.0630.0590.054字母RSHDLCF频率0.0530.0520.0470.0350.0290.0230.0221字母UMPYWGB频率0.02250.0210.01750.0120.0120.0110.0105字母VKXJQZ频率0.0080.0030.0020.0010.0010.001请你用概率的知识解释一下计算机键盘设计成现在形状的原因.解析：解析：从表中可以看出,空格键的使用频率最高,鉴于此,人们在设计键盘时,空格不仅最大,而且放在了使用最方便的位置.同理,其他的字母键的排列也是按其使用的频率的大小来放置的.第第3 3课时课时 概率的根本性质概率的根本性质根底梳理根底梳理发生一定发生包含不可能事件相等A=B1.事件的关系与运算(1)包含关系(2)一般地,对于事件A与事件B,如果事件A ,则事件B ,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作 .不可能事件记作,任何事件都 .特殊地,如果BA,且AB,那么称事件A与事件B ,记作 .B A或A B事件A发生或事件B发生(2)并事件若某事件发生当且仅当 ,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作AB(或A+B).事件A发生且事件B发生(3)交事件若某事件发生当且仅当 ,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作AB(或AB).不可能事件(4)互斥事件与对立事件互斥事件的定义若AB为 (AB=),则称事件A与事件B互斥.不可能事件必然事件对立事件的定义若AB为 ,AB是 ,则称事件A与事件B互为对立事件.0P(A)1必然事件不可能事件P(A)+P(B).102.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围 .(2)的概率为1,的概率为0.(3)概率加法公式如果事件A与B为互斥事件,则P(AB)=特殊地,若A与B为对立事件,则P(A)=1-P(B).P(AB)=,P(AB)=.题型一 互斥事件与对立事件的判断例1 从40张扑克牌红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张中任取1张.判断以下给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.1“抽出红桃与“抽出黑桃；2“抽出红色牌与“抽出黑色牌；3“抽出牌的点数为5的倍数与“抽出牌的点数大于9.分析分析 利用互斥事件和对立事件的定义进行判断.解解1 1 是互斥事件，不是对立事件是互斥事件，不是对立事件.理由是：从理由是：从4040张扑克牌中任意抽张扑克牌中任意抽取取1 1张，张，“抽出红桃和抽出红桃和“抽出黑桃是不可能同时发生的，所以是互抽出黑桃是不可能同时发生的，所以是互斥事件斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方方块或者块或者“梅花，因此二者不是对立事件梅花，因此二者不是对立事件.2 既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌与“抽出黑色牌两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件.典例分析典例分析3 不是互斥事件，当然不可能是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数与“抽出牌的点数大于9这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.1.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报，事件B为“至少订一种报,事件C为“至多订一种报,事件D为“不订甲报,事件E为“一种报纸也不订.判断以下各对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.解析：解析：(1)(1)由于事件由于事件C“C“至多订一种报中可能只订甲报至多订一种报中可能只订甲报,即事件即事件A A与事与事件件C C有可能同时发生有可能同时发生,故故A A与与C C不是互斥事件不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报与事件E“一种报纸也不订是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件,由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E是对立事件.(3)事件B“至少订一种报中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报中有这些可能:“只订甲报,“只订乙报,“订甲、乙两种报.事件C“至多订一种报中有这些可能：“一种报纸也不订,“只订甲报,“只订乙报.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.题型二题型二 互斥事件与对立事件的概率互斥事件与对立事件的概率例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 ,取到方片(事件B)的概率是 .问:(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?分析分析 两互斥事件并的概率等于这两个事件的概率的和,即P(AB)=P(A)+P(B);两对立事件的概率的和为1,即P(A)+P()=1,故P(A)=1-P().解解(1)因为取到红心(事件A)与取到方片(事件B)不能同时发生,所以A与B是互斥事件,且有C=AB,故由互斥事件的概率的加法公式得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=.(2)因为当取一张牌时,取到红色牌(事件C)与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生,所以C与D也是互斥事件,又由于事件C与事件D必有一者发生,即CD为必然事件,所以C与D互为对立事件,所以P(D)=1-P(C)=.2.回答问题:（1）全运会中某省派出两名乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是 和 ，则该省夺取该项比赛冠军的概率是 吗？为什么？（2）某战士射击一次，击中环数大于7的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，则该战士击中环数大于5的概率是0.6+0.3=0.9.这种说法对吗？为什么？解析：解析：(1)对.因为两人分别夺取冠军是互斥事件,所以两人至少一人夺冠,即该省取得该项冠军的概率为 .(2)错.因该战士击中环数大于7与击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率公式计算.例3 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算：1 小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；2 小明考试及格的概率.分析分析 小明的成绩在小明的成绩在8080分以上可以看作是互斥事件分以上可以看作是互斥事件“80“808989分和分和“90“90分以分以上的并事件上的并事件;小明考试及格可看作是小明考试及格可看作是“60“606969分，分，“70“707979分，分，“80“808989分，分，“90“90分以上这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看作分以上这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看作“不不及格的对立事件及格的对立事件.解解 分别记小明的成绩在“90分以上”，“80 89分”，“70 79分”，“60 69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥.（1）小明的成绩在80分以上的概率为P（BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)方法一：小明考试及格的概率为PBCDE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是PA=1-0.07=0.93.答:小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率是0.69，考试及格的概率是0.93.3.一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.解析：解析：从盒中任取1球,记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到白球”，“得到绿球”分别为A,B,C,D,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.(1)因为“得到红球”与“得到黑球”互斥,由加法公式，得P(AB)=P(A)+P(B)=.(2)“取出1球是红球或黑球或白球”的对立事件是“取得1绿球”,即该事件概率P=1-P(D)=.第第4 4课时课时 古典概型古典概型根底梳理根底梳理试验结果互斥的根本领件只有有限个可能性相等1.基本事件(1)基本事件的定义:(2)一次试验中可能出现的 称为一个基本事件.所有的基本事件都有有限个,而且是试验中不能再分的最简单的随机事件.(3)(2)基本事件的特点:(4)任何两个基本事件是 ;(5)任何事件都可以表示成 的和.2.古典概型如果某类概率模型具有以下两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件 .(2)(2)每个基本事件出现的 .题型一题型一 根本领件的计数问题根本领件的计数问题例例1 1 连续掷连续掷3 3枚硬币枚硬币,观察落地后这观察落地后这3 3枚硬币是出现正面还是反面枚硬币是出现正面还是反面.写出这个试验的所有根本领件写出这个试验的所有根本领件;(2)“(2)“恰有两枚正面朝上这一事件包含哪几个根本领件恰有两枚正面朝上这一事件包含哪几个根本领件?分析分析 该问题属于古典概型该问题属于古典概型,每一个根本领件是等可能的每一个根本领件是等可能的.解解(1)(1)根本领件有根本领件有:(:(正正,正正,正正),(),(正正,正正,反反),(),(正正,反反,正正),(),(反反,正正,正正),),(正正,反反,反反),(),(反反,正正,反反),(),(反反,反反,正正),(),(反反,反反,反反).).(2)“(2)“恰有两枚正面朝上包含以下恰有两枚正面朝上包含以下3 3个根本领件个根本领件:(:(正正,正正,反反),(),(正正,反反,正正),(),(反反,正正,正正).).典例分析典例分析3.古典概型的概率公式对于任何事件A,基本事件的总数包含的基本事件的个数A）（AP=1.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.(1)共有多少个根本领件?(2)“两只都是白球包含几个根本领件?解析：解析：(1)(1)分别标记白球为分别标记白球为1,2,31,2,3号号,黑球为黑球为4,54,5号号,有以下根本领件有以下根本领件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共，共1010个个.(2)“(2)“两只都是白球包括两只都是白球包括(1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3)三个根本领件三个根本领件.题型二 古典概型概率的求法例2先后抛掷两枚骰子,观察向上的点数,问:(1)共有多少种不同的结果?(2)“所得点数之和是3的概率是多少?(3)“所得点数之和是3的倍数的概率是多少?分析分析 求古典概型概率先要求得试验所含的根本领件总数求古典概型概率先要求得试验所含的根本领件总数,再计算所求事再计算所求事件中所含根本领件数件中所含根本领件数,利用古典概型的概率公式便可得解利用古典概型的概率公式便可得解.解解(1)将骰子抛掷一次,它出现6种结果,先后抛掷两枚骰子,第一枚骰子出现6种结果,对每一种结果,第二枚又有6种可能结果,于是一共有66=36种不同的结果.(2)事件“所得点数之和是3”记为A,共有两种结果“第一枚点数为1,第二枚点数为2”和“第一枚点数为2,第二枚点数为1”.故所求概率为P(A)=.(3)第一枚抛掷向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个,第二枚抛掷时都可以有两种结果使两枚向上的点数和为3的倍数(例如,第一枚向上的点数为4,则当第二枚向上的点数为2或5时,两枚的点数之和都为3的倍数),于是共有62=12种不同的结果.因为抛掷两枚得到的36种结果是等可能出现的,记“向上的点数之和是3的倍数为事件A,那么事件A的结果有12种,故所求的概率为P(A)=.2.抛掷两颗骰子,求:(1)“点数之和是4的倍数的概率;(2)“点数之和大于5小于10的概率.解析：抛掷两颗骰子解析：抛掷两颗骰子,根本领件总数为根本领件总数为36.36.但所求事件的根本领件个数但所求事件的根本领件个数不易把握不易把握,很容易出现遗漏或重复很容易出现遗漏或重复,故可借助直观图形故可借助直观图形,以便更准确地把以便更准确地把握根本领件个数握根本领件个数.于是于是:作图作图.如图,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共有9个:(1,3),(2,2),(3,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),所以P(A)=.(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件共有20个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=.题型三题型三 复杂概型的概率计算复杂概型的概率计算例例3 3 从从4 4名男生和名男生和2 2名女生中任选名女生中任选3 3人参加演讲比赛人参加演讲比赛.1 1 求求“所选所选3 3人都是男生的概率；人都是男生的概率；2 2 求求“所选所选3 3人中恰有人中恰有1 1名女生的概率；名女生的概率；3 3 求求“所选所选3 3人中至少有人中至少有1 1名女生的概率名女生的概率.解解 男生编号为男生编号为1 1、2 2、3 3、4 4号，女生编号为号，女生编号为5 5、6 6号号.从从6 6个人中选个人中选3 3人的人的方法有方法有1 1，2 2，3 3、1 1，2 2，4 4、1 1，2 2，5 5、1 1，2 2，6 6、2 2，3 3，4 4、2 2，3 3，5 5、2 2，3 3，6 6、3 3，4 4，5 5、3 3，4 4，6 6、4 4，5 5，6 6、1 1，3 3，4 4、1 1，3 3，5 5、1 1，3 3，6 6、1 1，4 4，5 5、1 1，4 4，6 6、1 1，5 5，6 6、2 2，4 4，5 5、2 2，4 4，6 6、2 2，5 5，6 6、3 3，5 5，6 6，共，共2020种方法种方法.（1）“所选3人都是男生”有（1，2，3）、（1，2，4）、（2，3，4）、（1，3，4），共4种方法，故“所选3人都是男生”的概率为 .（2）“所选3人中恰有1名女生”有（1，2，5）、（1，2，6）、（2，3，5）、（2，3，6）、（3，4，5）、（3，4，6）、（1，3，5）、（1，3，6）、（1，4，5）、（1，4，6）、（2，4，5）、（2，4，6），共12种方法，故“所选3人中恰有1名女生”的概率为 .（3）“所选3人中恰有2名女生”有（1，5，6）、（2，5，6）、（3，5，6）、（4，5，6）,共4种方法，则“所选3人中至少有1名女生”的方法共有12+4=16（种）,所以“所选3人中至少有1名女生”的概率为 .3.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，假设从中任意选取3个，那么“所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少?解析解析：设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选三球包括：(1，2，3)，(1，2，4），(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6），(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)共20种，其中“至少有1个红球”的情形包括:(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)共16种，所以“所选3个球中至少有1个红球”的概率为 .第第5 5课时课时 (整数值整数值)随机数随机数(random numbers)(random numbers)的产生的产生根底梳理根底梳理大小形状充分搅拌确定算法周期性周期随机数真正的随机数1.随机数2.要产生1 n(nN*)之间的随机整数,把n个 相同的小球分别标上1,2,3,n,放入一个袋中,把它们 ,然后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数.3.2.伪随机数4.计算机或计算器产生的随机数是依据 产生的数,具有 (很长),它们具有类似 的性质.因此,计算机或计算器产生的并不是 ,我们称它们为伪随机数.题型一题型一 用随机模拟法估计概率用随机模拟法估计概率例1 用模拟试验的方法，估计抛掷硬币正面向上的情况出现的概率.分析分析 方法一：用计算器产生方法一：用计算器产生(0(0，1)1)之间的随机数，如果这个随机数之间的随机数，如果这个随机数在在0 00.50.5之间，那么认为硬币正面朝上；如果这个随机数在之间，那么认为硬币正面朝上；如果这个随机数在0.50.51 1之之间，那么认为硬币正面朝下间，那么认为硬币正面朝下.记下正面朝上的频数及试验总次数，就记下正面朝上的频数及试验总次数，就可可以得到正面朝上的频率了以得到正面朝上的频率了.方法二：利用随机函数产生从整数0到整数1的随机数，记0为正面向上，1为反面向上，分别统计0和1出现的次数，然后计算频率.典例分析典例分析解解 方法一：计算器模拟抛掷硬币的试验结果见下表：试验次数正面朝上的次数正面朝上的频率520.41030.31560.42090.4525120.4830120.435160.45740200.545210.46750230.4655270.49160290.483试验次数正面朝上的次数正面朝上的频率65310.47770320.45775350.46780380.47585430.50690470.52295500.526100540.5410005030.503200010110.50551000050540.5054100000505590.50559方法二：利用随机函数产生0，1随机数，记0为硬币正面向上，模拟抛掷硬币的试验，得下表：0.50189501891000000.50735073100000.51551510000.5142575000.495992000.5252100正面朝上的频率正面朝上的次数试验次数通过上表可以看出，正面向上的频率在0.5附近变动，故所求概率为0.5.由此可见，正面向上的概率为0.51.在一个袋中装有红、黄、蓝三个大小相同、颜色不同的小球，求摸一次摸中红球的概率.方法二:在0到2之间产生随机数(整数值),若随机数为0,认为摸到红球;为1时摸到黄球;为2时摸到蓝球.利用随机函数产生0、1、2随机数,记下0的个数及试验总次数,加大试验次数,记下所有数据就可计算出摸到红球的频率,可以看到频率在 附近变动,故摸中红球的概率为 .解析：解析：方法一:将(0,1)分成三段 用计算器产生随机数.若随机数在 内时认为是红球,在 内时为黄球,在 内时为蓝球,记下落在 内的数的个数及试验总次数,就可以得到摸中红球的频率了,频率在 附近变动,故摸中红球的概率为 .题型二 用随机模拟法解决实际问题例2 在一次抽奖活动中，中奖者必须从一个箱子中取出一个数字来决定他获得什么奖品.5种奖品的编号如下：一次欧洲旅行；一辆摩托车；一组高保真音响；一台数字电视；一台微波炉.用模拟方法估计：(1)“他获得去欧洲旅行的概率是多少?(2)“他获得高保真音响或数字电视的概率是多少?(3)“他不获得微波炉的概率是多少?分析分析 5种奖品被抽得的可能性相同，这是古典概型问题，我们可以用抽签法、随机数表法或用计算机产生整数随机数模拟.解解 设事件设事件A“A“他获得去欧洲旅行，事件他获得去欧洲旅行，事件B“B“他获得高保真音响或数字电视他获得高保真音响或数字电视，事件，事件C“C“他不获得微波炉他不获得微波炉.(1)用计算器的随机函数RAND(1，5)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，5)产生1到5之间的整数随机数表示它获得的奖品号码.(2)统计试验总次数N及其中1出现的次数 ，出现3或4的次数 ，出现5的次数 .解析：利用计算器或计算机产生解析：利用计算器或计算机产生0 0到到9 9之间取整数值的随机数之间取整数值的随机数,我们用我们用0 0代表不代表不成活成活,1,1至至9 9的数字代表成活的数字代表成活,这样可以表达成活率是这样可以表达成活率是0.9.0.9.因为是种植因为是种植5 5棵棵,所以所以每每5 5个随机数作为一组个随机数作为一组,可产生可产生3030组随机数组随机数.69801 66097 77124 22961 74235 31516 2974769801 66097 77124 22961 74235 31516 2974724945 57558 65258 74130 23224 37445 4434424945 57558 65258 74130 23224 37445 4434433315 27120 21782 58555 61017 45241 4413433315 27120 21782 58555 61017 45241 4413492201 70362 83005 94976 56173 34783 1662492201 70362 83005 94976 56173 34783 1662430344 0111730344 01117(3)计算频率 ，即分别为事件A，B，C的概率的近似值.2.种植某种树苗,成活率为0.9,假设种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率.这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0,则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率为 第第6 6课时课时 几何概型几何概型根底梳理根底梳理构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例概率模型无限多相等1.几何概型的定义2.如果每个事件发生的概率只与 ,则称这样的 为几何概率模型,简称几何概型.3.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有 个.(2)(2)每个基本事件出现的可能性 .3.几何概型的概率公式 P(A)=）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A 题型一题型一 与长度有关的几何概型问题与长度有关的几何概型问题例1 平面上画了一些彼此平行且相距2a的平行线.把一枚半径ra的硬币任意投掷在这平面上,求硬币不与任一条平行线相碰的概率.分析分析 把问题转化为圆心到平行线的距离，从而找到问题的突破口.解解 方法一:设事件A:“硬币不与任一直线相碰”,为了确定硬币的位置,由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M.如图,显然OM的取值范围是0,a,当线段OM的长度满足rOMa时,硬币不与平行线相碰,这时OM的长度就是构成事件A的区域长度.故P(A）=典例分析典例分析方法二:如图,在两相邻平行线间画出与平行线间距为r的两平行虚线,那么当硬币中心落在两虚线间时,与平行线不相碰.故P(A)=1.取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么“剪得两段的长都不少于1 m的概率有多大?解析：解析：如图，记“剪得两段绳长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ，所以事件A发生的概率P(A)=.题型二题型二 与角度有关的几何概型问题与角度有关的几何概型问题例2如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M.求AMAC的概率.分析分析(1)设等腰直角三角形各边长数值一定，AM的长度取决于ACM扫过的度数，故该题型是与角度有关的几何概型.(2)要使AMAC,可先找到AM=AC时ACM的度数，再找出相应的区域角，利用几何概型的概率公式求解即可.解解 在AB上取AC=AC,则ACC=67.5.设A=在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AMAC,则所有可能结果的区域角度为90，事件A的区域角度为67.5，故P(A)=.2.如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率.解析：解析：设事件A为“AOC和BOC都不小于30”，则事件A表示区域角度为30,所有可能结果的区域为90,所以P（A）=.题型三题型三 与面积有关的几何概型问题与面积有关的几何概型问题例3 在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖.设投镖击中线上或没有投中木板都不算,可重投,问:(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?分析分析 飞镖落点区域是边长为飞镖落点区域是边长为16 cm16 cm的正方形的正方形,而需击中区域为三个不同而需击中区域为三个不同的圆面的圆面,故该题型为与面积有关的几何概型问题故该题型为与面积有关的几何概型问题.解答此题只需分别计算解答此题只需分别计算各区域的面积各区域的面积,以公式求解即可以公式求解即可.解解 则(1)投中大圆的概率(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率为 .(3)投中大圆之外的概率为 3.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?解析：解析：在该试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为14 的大圆内,而当中靶点落在面积为14 的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率为P(B)=0.01,即射中黄心的概率是0.01.题型四题型四 与体积有关的几何概型问题与体积有关的几何概型问题例例4 4在在1 1升高产小麦种子中混入了升高产小麦种子中混入了1 1粒带麦锈病的种子，从中随机取出粒带麦锈病的种子，从中随机取出1010毫升，毫升，那么那么“取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少?分析分析 带麦锈病的种子在这带麦锈病的种子在这1 1升种子中的分布可以看作是随机的，取得升种子中的分布可以看作是随机的，取得的的1010毫升种子可视作构成事件的区域，毫升种子可视作构成事件的区域，1 1升种子可视作试验的所有结升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用果构成的区域，可用“体积比公式来计算概率体积比公式来计算概率.解解 取出10毫升种子，其中“含有麦锈病种子”记为事件A，则P(A)=0.01,故“含有麦锈病种子”的概率为0.01.4.在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：解析：由于草履虫在水中什么位置是随机的,而取水样也具有随机性,所以取哪一部分水样的可能性都相等,所以取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关,这符合几何概型的条件.记事件A=在取出的2 mL水样中有草履虫,由几何概率公式得:P(A)=.第第7 7课时课时 均匀随机数的产生均匀随机数的产生根底梳理根底梳理RAND“rand().随机模拟计算机产生随机数模拟试验1.均匀随机数的产生(1)计算器上产生0,1上的均匀随机数的函数是 函数.(2)(2)Excel软件产生0,1区间上均匀随机数的函数为(3)2.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(4)(1)方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果.(5)(2)的方法:用Excel软件产生0,1区间上均匀随机数进行模拟.注意操作步骤.题型一题型一 用随机模拟估计长度型几何概率用随机模拟估计长度型几何概率例例1 1取一根长度为取一根长度为3 m3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，的绳子，拉直后在任意位置剪断，“那么剪得那么剪得两段的长都不小于两段的长都不小于1 m1 m的概率有多大的概率有多大?分析分析 在任意位置剪断绳子，那么剪断位置到一端点的距离取遍在任意位置剪断绳子，那么剪断位置到一端点的距离取遍0 0，3 3内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任因此在任意位置剪断绳子的所有结果意位置剪断绳子的所有结果(根本领件根本领件)对应对应0 0，3 3上的均匀随机上的均匀随机数，其中取得的数，其中取得的1 1，2 2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1 1，2 2内，也就是剪得两段长都不小于内，也就是剪得两段长都不小于1 m.1 m.这样取得的这样取得的1 1，2 2内的随机数个数与内的随机数个数与0 0，3 3内的随机数个数之比就是事件内的随机数个数之比就是事件A A发生的频发生的频率率.解解 方法一：(1)利用计算器或计算机产生一组0，1区间的均匀随机数，=RAND；(2)经过伸缩变换，a=*3；(3)统计出1，2内随机数的个数 和0，3内随机数的个数N；(4)计算频率 ，即为概率P(A)的近似值.典例分析典例分析方法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0，3(这里3和0重合).转动圆盘记下指针指在1，2(表示剪断绳子的位置在1，2范围内)的次数 及试验总次数N，则 即为概率P(A)的近似值.1.在长为12 cm的线段AB上任取一个点M，并以线段AM为边作正方形.试求这个正方形的面积介于36 与81 之间的概率.解析：解析：正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12 cm长的线段上取一点M,求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率.(1)用计算机产生一组0,1内均匀随机数 =RAND;(2)经过伸缩变换a=*12得到0,12内的均匀随机数;(3)统计试验总次数N和6,9内随机数的个数 ;(4)计算频率 .记事件A=面积介于36 与81 之间=边长介于6 cm与9 cm之间,则P(A)的近似值为 .题型二 用随机模拟法估计面积型几何概率例2如下图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，假设投镖击中线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟法估计：(1)“投中大圆内的概率是多少?(2)“投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)“投中大圆外的概率是多少?分析分析 要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以产生两组随机数来表示点的坐标确定点的位置.解解 记事件A=投中大圆内，事件B=投中小圆与中圆形成的圆环，事件C=投中大圆外.按如下步骤进行：(1)用计算机产生两组0，1上的均匀随机数，=RAND，=RAND；(2)(2)经过伸缩平移变换，a=*16-8，b=*16-8，得到两组-8，8的均匀随机数；(3)统计投在大圆内的次数 (即满足 的点(a,b)数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数 (即满足4 16的点(a,b)数)，投中木板的总次数N(即满足上述-8a8,-8b8的点(a,b)数).(4)计算频率 ，即分别为概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值.2.如图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，利用随机模拟的方法近似计算“所投的点落入小正方形内”的概率.解析：记事件解析：记事件A=A=所投点落入小正方形内所投点落入小正方形内.(1)(1)用计算机产生两组用计算机产生两组0 0，1 1上的均匀随机数，上的均匀随机数，=RAND,=RAND =RAND,=RAND；(2)(2)经过伸缩平移变换，经过伸缩平移变换，a=*3-1.5,b=*3-1.5a=*3-1.5,b=*3-1.5，得两组，得两组-1.5,1.5-1.5,1.5上的上的均匀随机数；均匀随机数；(3)(3)统计落入大正方形内的点数统计落入大正方形内的点数N N即上述所有随机数构成的点即上述所有随机数构成的点a a，b b数数及落入小正方形内的点数及落入小正方形内的点数 即满足即满足-1a1-1a1且且-1b1-1b1的点的点a a，b b数；数；4 4 计算频率计算频率 ，即为概率，即为概率P PA A的近似值的近似值.分析分析 由题目可获取以下主要信息由题目可获取以下主要信息:利利用随机模拟的方法近似计算不规那么用随机模拟的方法近似计算不规那么图形的面积图形的面积.解答此题可先计算与之相解答此题可先计算与之相应的规那么多边形的面积应的规那么多边形的面积,而后由几何而后由几何概率进行面积估计概率进行面积估计.题型三题型三 利用随机模拟实验估计不规则图形的面积利用随机模拟实验估计不规则图形的面积例3利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y=2-2x-与x轴围成的图形)的面积.解解（1）利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数，=RAND,=RAND；（2）经过平移和伸缩变换，a=*4-3,b=*3，得到一组-3，1和一组0,3上的均匀随机数；（3）统计试验总次数N和落在阴影部分的点数 （满足条件b2-2a-的点（a，b）数）；（4）计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值；（5）设阴影部分面积为S,由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为 ,，故 即为阴影部分面积的近似值.解析：解析：(1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数，=RAND,=RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a=(-0.5)*2,b=*2,得到一组-1,1上的均匀随机数和一组0，2上的均匀随机数；3.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y=与x轴、x=1围成的部分)的面积.(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数 (满足条件b 的点(a，b)数）；(4)计算频率 ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分的面积为S，用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 .故 ，S 即为阴影部分面积的近似值.
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