2013中考数学压轴题函数平行四边形问（三）

2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EHAC于H，过E作EFAC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PEEB设ECx（0x2）（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围图1动感体验 请打开几何画板文件名“09福州21”，拖动点E在BC上运动，观察面积随x变化的图象，可以体验到，当E是BC的中点时，平行四边形EFPQ的面积最大，此时四边形EFPQ是菱形拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变E的大小，可以体验到，E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2，4，6，3，0思路点拨1如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示2通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性3画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆满分解答（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条（2）如图2，在RtCEH中，C60，ECx，所以因为PQFEBE4x，所以（3）因为，所以当x2时，平行四边形EFPQ的面积最大此时E、F、P分别为ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3） 图2 图3过点E点作EDFP于D，则EDEH如图4，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0r；如图5，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r； 如图6，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，r2；如图7，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r2时；如图8，当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r2时 图4 图5 图6 图7 图8考点伸展本题中E是边BC上的动点，设ECx，如果没有限定0x2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？事实上，当x2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大例6 如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系图1动感体验 请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形观察BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值思路点拨1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长2当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程3把BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB满分解答（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此m的变化范围是0m3 图2 图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此于是解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形图4例 7 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点的坐标（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由图1动感体验 请打开几何画板文件名“08太原29”，拖动点D可以在直线AC上运动分别双击按钮“BCBD”，“CBCD”和“DBDC”，可以准确显示CBD为等腰三角形双击按钮“平行四边形”，可以体验到，以点E、D、O、A为顶点的平行四边形有三个思路点拨1数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标2分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论3在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3454画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形满分解答（1）在中，当时，所以点的坐标为在中，当时，所以点的坐标为（4，0）解方程组 得，所以点的坐标为（2）因为点D在直线上，设点D的坐标为当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：如图2，当DBDC时，设底边BC上的高为DM在RtCDM中，所以这时点D的坐标为如图3，当CDCB5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）根据对称性，点D关于点C对称的点D的坐标为（8，3）如图4，当BCBD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN在RtBCN中，BC5，所以CN4，因此DC8在RtDCM中，DC8，所以，这时点D的坐标为综上所述，当CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，3）或 图2 图3 图4（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形AEOD为平行四边形时，当四边形ADEO为平行四边形时，图5当四边形AODE为平行四边形时，考点伸展如图5，第（3）题这样解：在ABC中，已知BC5，BC边上的高为，解得AB，AC由，得，所以由，得，所以结合图5，可以计算出，或