二十二章二次函数二次函数的图象和质

第二十二章 二次函数 二次函数 的 图象 和性质 北京市中关村中学 杨爱青 九年级上册 2y a x 温故知新 1.研究一次函数的顺序： y k x b 概念 图象和性质 应用性质 y kx 从特殊到一般 2.如何 研究二次函数的性质呢？ 2y ax 2y a x b x 2y a x c 0a 0a或 新知探究 2yx (1)x的取值范围： 全体实数； (2)y的取值范围： 0;y (3)x取一对相反数时，函数值相等 （对称性）； (4)x=0时， y有最小值， y的 最小值为 0； (5)当 x0时， y随着 x的增大而增大 ； 当 x0时， y 随着 x的增大而减小； (6)图象位于第一、二象限和原点； (7)图象第一象限部分是直线还是曲线？ 从 解析式 研究图象和性质 新知探究 取 特殊点 时 ， ， y的增长速度先 慢 后 快 . 130 1 2 22x 190 1 4 44y 2yx 第一象限部分 x O y x 示意图猜想 1.图象关于 y轴对称； 2.图象有最低点（ 0,0）； 3.在 y轴左侧， y随着 x的增大而减小； 在 y轴右侧， y随着 x的增大而增大 . 的性质 新知探究 描点法画 y=x2 的图象 1 4 9 4 1 4 （ 1） 列表： 在 x 的取值范围内列出函数对应值表： x -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4 y 3 2 2yx 1 2 1 2 9 4 3 2 从 表格 分析图象和性质 图象关于 y轴对称； 图象有最低点（ 0,0）； 在 y轴左侧， y随着 x的增大而减小； 在 y轴右侧， y随着 x的增大而增大 . 新知探究 （ 2） 描点 x o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 y=x2 （ 3）用光滑曲线顺次连接各点，得到函数 y= x2 的图象 . 你能从 图象 分析性质吗？ 新知 探究 抛物线： 二次函数的图象都是抛物线 一般地，二次函数 的图象叫做 抛物线 2 ( 0 )y a x b x c a 2 ( 0 )y a x b x c a 二次函数 y= x2 的图象形状类似于投篮或掷铅球时球 在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条 曲线叫 抛物线 y= x2 . 新知 探究 对称轴、顶点、最低点、最高点 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的 顶点 . 这条抛物线关于 y轴对称， y轴 是它的 对称轴 . 2yx 新知 探究 抛物线 y=x2在 x轴上方 (除顶点外 )，顶点是它 的最低点，开口向上， 并且向上无限伸展 ; 当 x=0时 ,函数 y的值最 小，最小值是 0. 2yx 在 对称轴 左侧（或 x 0时 ) ， y随着 x的增大而增大 . 合作交流 在同一坐标系中 ,画出下列函数的图象 : 并比较它们的相同点与不同点 . 2 2 2 2 2 2 1 , , 2 , 2 1 , , 2 2 y x y x y x y x y x y x 归纳 性质 1.开口方向： 当 a0时 ,开口向上； 当 a0时，函数有最小值， 且当 x 0时， ymin 0； 当 a0时，函数有最大值， 且当 x 0时， ymax 0. 0 0 x y x x y x . a 如 果 , 当 时 ， 随 增 大 而 减 小 ； 当 时 ， 随 增 大 而 增 大 0 0 0. x y x x y x a 如 果 , 当 时 ， 随 增 大 而 增 大 ； 当 时 ， 随 增 大 而 减 小 0 5.增减性： 8 6 4 2 -2 -4 -6 - 1 0 -5 5 10 y =-2 x 2 y =- 1 2 x 2 y =- x 2 y =2 x 2 y= 1 2 x 2 y= x 2 应用性质 例 1 (1)抛物线 y=8x2的顶点坐标是 ,对称轴 是 ,在 侧 , y随着 x的增大而增大；在 侧 ,y随着 x的增大而减小 ,当 x= 时 ,函数 y的值最 ,最 值是 ,抛物线 y=8x2在 x轴 的 方 (除顶点外 ). （ 0， 0） y轴 y轴右 y轴左 0 0 上 小 小 应用性质 (2)抛物线 在 x轴的 方 (除顶点外 ), 在对称轴的左侧 ,y随着 x的 ； 在对称轴的右侧 ,y随着 x的 , 当 x=0时 ,函数 y的值最 ,最 值是 ; 当 x 0时 ,y0时， y随 x的增大而增大，求函数关系式 . 2 321() mmy m x . 解： （ 1） 由题意得， 2 10 3 2 2 . m mm ， 解得， 4.m 2 10 3 2 2 . m mm ， （ 2） 由题意得， 解得， 1.m 22.yx 巩固 练习 教科书 32页练习，增加一问： 分别 说出函数的增减性 . 反思 提升 1.从函数解析式、表格、图象研究函数图象和性 质的几个方面 ： 自变量取值范围，函数值取值范围，对称性， 最值，增减性等 . 2.二次函数 y =ax2的图象 和 性质 . 3.数 形结合 图象和性质密不可分 . 由图象想性质、由性质想图象 .