有限元法绪论已排

1 第 2部分 有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Applications 2 第 6章 有限元法的基本概念 3 在工程技术领域内 ， 经常会遇到两类典型的问题 。 第一 类问题 ， 可以归结为有限个已知单元体的组合 。 例如 ， 材料 力学中的连续梁 、 建筑结构框架和桁架结构 。 这类问题称为 离散系统 。 如下图所示平面桁架结构 ， 是由 6个承受轴向力 的 “ 杆单元 ” 组成 。 6.1 工程和科学中典型问题 4 第二类问题 ， 通常可以建立它们应遵循的基本方程 ， 即微分 方程和相应的边界条件 。 例如弹性力学问题 ， 热传导问题等 。 由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元 ， 这类问 题称为 连续系统 ， 或场问题 。 尽管已经建立了连续系统的 基本方程 ， 由于边界条件的限 制 ， 通常只能得到少数简单问 题的精确解答 。 对于许多实际 的工程问题 ， 还无法给出精确 的解答 。 为解决这个困难 ， 工 程师们和数学家们提出了许多 近似方法 。 6.1 工程和科学中典型问题 5 6.2 场问题的一般描述 ( ) ( ) ( ) 0 A k k Qx x y y 内 q 0 ( ) 0 B kq n 上 上 实例：二维热传导（稳态）问题 原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源 产生的热量 Q平衡 基本方程： 边界条件： 6 6.3 场问题的求解策略及方法 6.3.1 求解策略 1、直接法：求解基本方程和相应定解条件的解； 2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件 的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。 即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。 6.3.2 求解方法 1、解析或半解析法： 2、数值法： A）基于直接法的数值法，如差分法； B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、 有限元法等。 7 特 点 优缺点 差分法 均匀离散求解域；差分代替微分；解代 数方程组 要求规则边界，几何形状 复杂时精度低 等效积分法 （加权余量 法或泛函变 分法） 整体场函数用近似函数代替；（近似函 数常为含 n个待定系数的多项式，）微 分方程及定解条件的等效积分转化为某 个泛函的变分， -求极值问题，（利用 极值条件建立 n个代数方程），解代数 方程组 适合简单问题，复杂问题 很难解决 有限元法 可非均匀离散求解域；分片连续函数近 似整体未知场函数；解线性方程组。有 限元法的数学基础仍是变分法（同上）。 节点可任意配置，边界适 应性好；适应任意支撑条 件和载荷；计算精度与网 格疏密和单元形态有关， 精度可控。对裂缝和无限 域的分析存在不足 数值计算方法分类 8 先将 求解域离散 为有限个单元，单元与单元只在节 点相互连接； -即原始连续求解域用有限个单元的集合 近似代替 每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理 量来表示 -通常称为 插值函数或位移函数 基于问题的基本方程，建立 单元节点的平衡方程 （即单 元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成 整 体的刚度方程 ，这是一组以节点物理量为未知量的线形 方程组，引入边界条件求解该方程组即可。 6.4 有限元法基本思想 9 节点 单元 i u ( ) ii i x y mx F my F x y ( ) jj j x y j u j v ( ) mm m x y m u m v i v iy F ix F 整 体 平 衡 分 片 近 似 单 元 平 衡 结 构 离 散 方 程 求 解 问 题 分 析 力 学 模 型 节 点 单 元 位 移 函 数 单 刚 方 程 总 刚 方 程 节 点 位 移 有限元法基本思想 10 1 2 3 X2 Y2 节点位移向量表示： 节点力向量表示： 节点 1沿 x方向的位移 、 其余节点位移全为 0时轴向压力 为： 1 1 1 1 11 1 2 2 , , , Tu v u v 1 1 1 1 11 1 2 2 , , , Tx y x yF F F F F 1 2 1 2x F 1 2y F 1 1x F 1 1y F 2 2y F 2 3y F 2 3 1 2 u 1 2 v 1 1 u 1 1 v 2 2x F 2 3x F 11 1u 1 1 11 c os()E A E AFl ll 实例 1: (1) 求右图离散结构 2的点位移 11 12 11 1 c osEAk l 121 1 c os sinEAk l 同理，节点 2作用于单元 1上的力，其大小与之相等，方 向相反， x和 y方向的分量分别记为： 12 31 1 c osEAk l 141 1 c os sinEAk l 注： 表示第 e个单元的第 j个自由度产生单位位移，而其它 自由度上的位移为零时，第 i个自由度上所受的力。常称其 为单元的刚度系数。 eijk 实例 1: (2)单元分析 节点 1作用于单元 1上的力，在 x和 y方向的分量分别为： 12 1 1 12 1 2u v v、 、 单元 2节点力平衡方程 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 1 13 2 14 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 22 1 23 2 24 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 1 32 1 33 2 34 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 41 1 42 1 43 2 44 2 1 1 1 x y x y FK F k u k v k u k v F k u k v k u k v F k u k v k u k v F k u k v k u k v 记 为 矩 阵 形 式 : 1 1 1 11 1 2 2, , ,x y x yF F F F 1 1 1 11 1 2 2, , ,u v u v 2 2 2 FK 1 2 1 2x F 1 2y F 1 1x F 1 1y F 2 2y F 2 3y F 2 3 1 2 u 1 2 v 1 1 u 1 1 v 2 2x F 2 3x F 实例 1: (2)单元分析 同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑 到节点的实际受力为 和实际位移 为 ，则据各个节点节点力平衡得： 13 11 11 eex i y i ee F X F Y 结合前式推导得： 1 1 1 1 1111 12 13 14 1 1 1 1 1121 22 23 24 1 1 1 2 1 2 2 2 2231 32 33 11 31 12 13 14 1 1 1 2 1 2 2 2 241 42 43 21 44 22 23 24 2 2 2 2 331 32 33 34 2 2 2 2 341 42 43 44 00 00 00 00 uXk k k k vYk k k k uXk k k k k k k k vYk k k k k k k k uk k k k vk k k k 2 3 3 X Y 1 2 3 X2 Y2 实例 1: (3)整体分析 整体分析： 作用于每个节点上 的节点力平衡，即 14 KR 1 1 3 3 0u v u v 1 2 1 2 2233 11 34 12 1 2 1 2 2243 21 44 22 uXk k k k vYk k k k 整体矩阵记为： 1 2 3 X2 Y2 求解上述整体方程，可得问题的节 点位移。 实例 1: (4)引入约束求解 将 代入可得整体方程 15 L x L-x L 3 L 3 L 3 0 u dx X N N N x (a) (b) (c) 图 2-1 EA qa 2 5 2 EA qa 2 8 2 EA qa 2 9 2 3 L a 实例 2 连续问题 例：求等截面直杆在自重作用下的拉伸。 图 (a)中单位 杆长重量为 q，杆长为 L，截面面积为 A，弹性模数为 E。 16 N ( x) dx q( L x) dx ( dx ) E A E A 2 x x 0 0 N ( x ) d x q ( L x ) d x q xu ( L x ) E A E A E A 2 x du q ( L X ) dX E A xx q E ( L X ) EA 实例 2 材料力学方法求解直杆拉伸： 考虑微段 dx， 内力 N=q (L-x) dx的伸长为 ： x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 ： 应力： 17 1 L 2 L i L 1i L 1 图 2-2 n n-1 i+1 i i-1 2 i L 1 i L + 图 2-3 i+1 i i-1 2 ) L L ( q 1 i i + + 1、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把阴 影部分的重量作用在结点 i上 实例 2 （ 1）结构离散 有限单元法求解直杆拉伸： 直接公式法 18 i L 图 2-4 i i-1 X u x 1i x 1i u )x( u i u 1 11 ( ) ( )ii ii i uuu u x u X X L i1 x i udu dx L iu i1 i uE ( ) L i ii uE 1 ( )ii ii i uuN A A E L 1 1 1 ( )iii i uuN A E L 实例 2 （ 2）单元分析 3、假设线单元上的位移为线性函数 19 4、以 i结点为对象，列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得 i N 1i N 图 2-5 i 2 )LL( q 1ii 0 xF 1 i i 1 ( ) 2 iiq L LNN 1 i i i L L 2 i - 1 i i 1 1( 1 ) ( 1 ) 2i i ii qu u u L EA 用结点位移表示的平衡方程，其中 i=1， 2， n 有 n个 方程未知数也有 n个，解方程组，得出结点位移，进而计算 应力 。 实例 2 （ 2）单元分析 20 假设线单元数为 3个的情况， 平衡方程有 3个： i=1时， i=2时 , i=3时， 联立解得 ： a L 1 = a L 3 = a L 2 = 0 u 1 u 2 u 3 u 0 1 2 3 图 2-6 2 1 22 qu u a EA 2 1 2 3 2 qu u u a EA 2 2 3 2 qu u a EA 2 1 5 qa 2 EAu 2 2 8 qa 2 EAu 2 3 9 q a 2 E Au 与材料力学的精确解答在结点处完全相同。 实例 2 （ 3）整体分析与求解 21 P P 力学模型 (平面应力问题 ) 微分方程 + 边界条件 有限元模型 代数方程组 （基本变量节 点位移） 6.5 有限元法的基本步骤 所研究问题的数学建模 (问题分析 ) 结构离散 单元分析 (位移函数、单刚方程 ) 整体分析与求解 (总刚方程与求解 ) 结果分析及后处理 22 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种 不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可 以回顾到二十世纪 50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展 和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁 架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在 结构上存在相似性。 1956年，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。把结构划 分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数， 求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 1960年， Clough在他的名为“ The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（ finite element）这 一术语。 6.6 有限单元法的发展 23 数学家们则发展了微分方程的近似解法 ， 包括有限差分 方法 ， 变分原理和加权余量法 。 在 1963年前后 ， 经过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（ 卞学磺 ） 等许多人的工作 ， 认识到 有限元法就是变分原理中 Ritz近似法的一种变形 ， 发展了用 各种不同变分原理导出的有限元计算公式 。 1965年 O.C.Zienkiewicz和 Y.K.Cheung（ 张佑启 ） 发现只 要能写成变分形式的所有场问题 ， 都可以用与固体力学有限 元法的相同步骤求解 。 1969年 B.A.Szabo和 G.C.Lee指出可以用加权余量法特别 是 Galerkin法 ， 导出标准的有限元过程来求解非结构问题 。 有限单元法的发展 24 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多 贡献 ， 其中比较著名的有：陈伯屏 （ 结构矩阵方法 ） ， 钱令 希 （ 余能原理 ） ， 钱伟长 （ 广义变分原理 ） ， 胡海昌 （ 广义 变分原理 ） ， 冯康 （ 有限单元法理论 ） 。 遗憾的是 ， 从 1966 年开始的近十年期间 ， 我国的研究工作受到阻碍 。 有限元法不仅能应用于结构分析 ， 还能解决归结为场问题 的工程问题 ， 从二十世纪六十年代中期以来 ， 有限元法得到 了巨大的发展 ， 为工程设计和优化提供了有力的工具 。 有限元法是一种数值计算方法 。 可广泛应用于各种微分方 程描述的场问题的求解 。 有限单元法的发展 25 结构力学有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理 是泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体 是有限元分析软件。因此学习时，必须掌握的基本内容应包括： 1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念） ; 2、数学求解原理（即能量原理） ; 3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（即有限元法的基本 步骤） ; 4、有限元法的应用（即有限元法的应用领域或工程问题研究） ; 5、各种分析建模技巧及计算结果的评判 ; 6、典型分析软件的使用。 注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具 6.7 有限元法的基本内容 26 CAD CAE CAM 设计修改或优化 运 动 性 能 力 学 性 能 可 靠 性 数字样件 性能分析 数字加工 应力 变形 固有频率 有 限 元 分 析 在大力推广 CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所 有的设计制造都离不开有限元分析计算， FEA在工程设计和 分析中将得到越来越广泛的重视。 6.8 有限元法的应用 27 应用实例：制动器数字模型及 FEA网格 28 应用实例：制动器性能分析 29 30 亚洲第一，世界第二起重船 高 70米 起重 3500吨 应用实例： 东海大桥和杭州湾大桥用起重船 31 应用实例： 起重机和扁担梁模型 32 面板刚度提高 2.8倍 ,质量减少 35%,整体厚度下降 CAD模 型 CAE分析 结构优化 工艺设计后的产品 应用实例：面板刚性增强设计 33 34 35 结构离散（有限元建模） 内容： 1）网格划分 -即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理 -即把作用于结构边界上约束和载荷处理 为节点约束和节点载荷。 要求： 1）离散结构必须与原始结构保形 -单元的几何特性； 2）一个单元内的物理特性必须相同 -单元的物理特性。 6.9 有限元法的几个基本概念 36 1 2 3 X2 Y2 节点载荷 1 2y F 1 1y F 1 2 1 2x F 1 1x F 2 2y F 2 3y F 2 3 2 2x F 2 3x F 节点力 单元：即原始结构离散后，满足 一定几何特性和物理特性的最小结 构域。 节点：单元与单元间的连接点。 节点力：单元与单元间通过节点 的相互作用力。 节点载荷：作用于节点上的外载。 注意： 1)节点是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相邻单元的作用通过 节点传递，而单元边界不传递力， 这是离散结构与实际结构的重大差 别； 2）节点力与节点载荷的差别。 单元与节点 37 单元类型 单元图形 节点数 节点自由度 杆单元 2 1 梁单元 2 3 平面单元 3 2 平面四边形 4 2 轴对称问题 3 2 板壳单元 4 3 四面体单元 4 3 典 型 单 元 类 型 38 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。 由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值 函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部 是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式， 在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近 似解 6.10 插值函数（或位移函数） 39 2 0 1 1( ) . n nu x x x x i 2 0 1 2 ( ) 1 . . n T n ux x x x 简 记 为 6.11 位移函数的构造方法 (1)广义坐标法 : 一维单元位移函数： 为待定系数，也称为广义坐标 40 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) n ii u x N x u N x u N x u 如一维单元 : 二维单元 : 注： Ni可为 Lagrange、 Hamiton多项式或形函数， 在 +1 -1间变化 1 1 ( , ) ( , ) n ii n ii u x y N u v x y N v (2)插值函数法 : 即将位移函数表示为各个节点位移与已知 插值基函数积的和。 6.12 位移函数的构造方法 41 影响有限元解的误差： 1）离散误差 2）位移函数误差 收敛准则： 1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）； 2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）。 注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件； 前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的 单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满 足前两个条件的单元称为完备元。 6.13 有限元法的收敛准则