清华大学计算固体力学第三次课件连续介质力学

非线性有限元 第 3章 连续介质力学 计算固体力学 第 2讲 连续介质力学 1 引言 2 变形和运动 3 应变度量 4 应力度量 5 守恒方程 6 Lagrangian守恒方程 7 极分解和框架不变性 1 引言 连续介质力学是非线性有限元分析的基石。 从描述 变形和运动 开始。在刚体的运动中 着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力 学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂 的非线性连续介质力学问题都是源于转动。 1 引言 非线性连续介质力学中的 应力和应变 ， 有多种方式 定义 。 在非线性有限元程序中应用最频繁的是： 应变度量： Green应变张量和变形率 。 应力度量： Cauchy应力 、 名义应力和第二 Piola Kirchhoff应力 ， 简称为 PK2应力 。 还有许多其它的度量 ， 过多的应力和应变度量是理 解非线性连续介质力学的障碍之一 。 一旦理解了这一领 域 ， 就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西 ， 也 许只是学术过量的一种显示 。 我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授 ， 也 涉及到其它的方式 ， 以便能够理解文献和软件 。 1 引言 守恒方程 ， 通常也称为平衡方程 ， 包括质量 、 动 量和能量守恒方程 。 平衡方程是在动量方程中当加速 度为零时的特殊情况 。 守恒方程既从空间域也从材料 域中推导出来 。 推导并解释极分解原理 ， 检验 Cauchy应力张量的 客观率 ， 也称作框架不变率 。 解释了率型本构方程要 求客观率的原因 ， 然后表述了几种非线性有限元中常 用的客观率 。 2 变形和运动 它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征 ， 至多具有有限个不连续点 。 它忽略了非均匀性 ， 诸如分子 、 颗粒或者晶体结构 。 晶体结构的特性有时也通过本构方程出 现在连续介质模型中 ， 但是假定其响应和属性是平滑的 ， 只 具有有限个不连续点 。 连续介质力学的目的就是提供有关流体 、 固体和组织结 构的宏观行为的模型 。 Kinematic description: 应变是如何度量的 ？ Kinetic description: 应力是如何度量的 ？ Mesh description: 网格移动如何联系连续体的运动 ？ 2 变形和运动 在初始域和当前 域 域之间的映射 初始构形 ),( tX 当前构形 材料点的位置矢量 ei 直角坐标系的单位基矢量， xi 位置矢量的分量。 SDn i iiii XX 1 eeX SDni iiii xx 1 eex 2 变形和运动 运动描述 txt ii , , XXx 或空间坐标 当参考构形与初始构形一致时 ， 在 t 0 时刻任意点处 的位置矢量 x 与其材料坐标一致 0,0, XXxX t,X一致映射 为常数值的线被蚀刻在材料中 ， 恰似 Lagrangian网格；它们随着物体变形 ， 当在变形构形中观察时 ， 这些线就不再是 Cartesian型 。 这种观察方式下的材料坐标被 称为 流动坐标 。 但是 ， 当我们在参考构形中观察材料坐标时 ， 它们不随时间改变 。 建立的方程 ， 是在参考构形上观察材料坐 标 ， 因此以固定的 Cartesian坐标系推导方程 。 另一方面无论 怎样观察 ， 空间坐标系都不随时间变化 。 材料坐标 iX 2 变形和运动 运动描述 在流体力学中 ， 根据参考构形来描述运动通常是不可能的 ， 并且没有必要 。 在固体力学中 ， 应力一般依赖于变形和它的历史 ， 所以必须指定一个未变形构形 ， 普遍采用 Lagrangian描述 ， 独立 变量是材料坐标 X 和时间 t。 Xxttt XXXXXu ,0,位移 iii Xxu ijii XtXu , uXuXXv t tt tt ,速度 v,Xu,Xv,X 22 t tt tta加速度 速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数 2 变形和运动 运动描述 独立变量是空间坐标 x 和时间 t，称为空间或 Eulerian描述 tttx ,),( Xvvv j j iij j iii vxvtvt tx tvt tvDt tDv , Xxxx 通过链规则得到材料时间导数 空间时间导数 对流项、迁移项 vvvvvxvxv g r a d, tt tDt tD 矢量场的左梯度 zfkyfjxfiff g r a d 空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以 通过链规则得到 tf ,x 和张量函数 t ij ,x 其材料时间导数给出为 对于标量函数 2 变形和运动 运动描述 ftfftfxfvtfDtDf i i g r a d vv vv g r a d ttxvtDtD k ij k ijij yyyx xyxx vv vv , , g r a d vv左梯度矩阵 变形梯度是运动函数的 Jacobian矩阵 2 变形和运动 T j i j iij XxXF XxXF 0 或 ijF 第一个指标代表运动，第二个指标代表偏导数 材料坐标左 梯度的转置 jiji dXFdxdd 或XFx 直角坐标系下 二维 的变形梯度给出为 Y y X y Y x X x X x X x X x X x 2 2 1 2 2 1 1 1 F F 的行列式用 J 表示，称作 Jacobian行列式或变形梯度行列式 FJ det 2 变形和运动 变形梯度 00 00 , f J dfdJdttfdtf 或Xx 将当前构形和参考构形上的积分联系起来 0 , J d X d YYXfd x d yyxf 二维域 i i x vJJJ Dt DJ vd iv Jacobian行列式的材料时间导数给出为 左散度 z v y v x v kvjviv z k y j x ivv 321 321d iv 2 变形和运动 运动条件 除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射 t,X 满足以下条件： 连续可微，一对一（ F可逆）， J 0 这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性 ， 即在变形物体 中不存在缝隙和重叠 。 运动及其导数可以是非连续或者在零尺度集 合上具有非连续的导数 （ 如裂纹 ） ， 所以它是分段连续可微的 。 增 加不包括零尺度集合的附加条件以解释裂纹形成的可能性 。 在形成 裂纹的表面上 ， 上述条件不满足 。 零尺度集合在一维情况中是点 ， 在二维中是线 ， 三维中是平面 ， 因为一个点具有零长度 ， 一条线具 有零面积 ， 一个表面具有零体积 。 2 变形和运动 运动条件 变形梯度通常在材料的界面上是非连续的 。 在某些现象中 ， 例如扩展裂纹 ， 运动本身也是非连续的 。 要求在运动及其导数中 非连续的数量是有限的 。 实际上发现 ， 有些非线性解答可能拥有 无限数量的非连续 。 然而 ， 这些解答非常罕见 ， 不能被有限元有 效地处理 ， 所以将不关注这些解答 。 第二个条件 ， 即运动为一对一的 ， 要求对于在参考构形上的 每一点 ， 在当前构形上有唯一的点与之对应 ， 反之亦然 。 这是 F规 则的必要充分条件 ， 即 F是可逆的 。 当变形梯度 F是正常的 ， 则 ， 因为当且仅 当时 F的逆才存在 。 因此 ， 第二个条 件和第三个条件是有联系的 。 更强的条件是 J 必须为正而不仅是 非零 ， 在第 3.5.4节可以看到这遵循了质量守恒 。 这个条件在零尺 度集合上也可以违背 。 例如 ， 在一个裂纹的表面上 ， 每一个点都 成为了两个点 。 0J 0J 运动条件 一个 Lagrangian网格的刚 体转动 ， 显示在参考 (初始 、 未 变形 )构形和当前 (变形 )构形中 观察到的材料坐标 。 转动是正交变换的一个例子 ， R是正交矩阵 。 一个矩形单元 的 Lagrangian网格的刚体转动 ， 如图所示 。 可以看出 ， 在刚体 转动中单元的边发生转动 ， 但是边与边之间的夹角保持不变 。 单元的边是 X 或 Y 坐标为常数的直线 ， 所以在变形构形中观察 时 ， 当物体转动时材料坐标也转动 。 txXtRtxttt TijijiT , , XxXRXx ijTijijT RRR 11 ,RRIRR T 一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动 ， 刚体转动和坐标 转换的关系为 2 变形和运动 y x y x yyxy yxxx y x r r r r RR RR r r c oss i n s i nc os二维问题 角速度 txXtRtxttt TijijiT , , XxXRXx 或 TTTTT xxxxxxRRxv 空间坐标 TRR 角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量 0000 3 3 12 12 二维问题 TT vxxxv 动力学教材中的刚体运动方程 2 c os1 , 2 s in1 2 s in12 , 2 c os12 0 x 33 22 11 t btty t bttx t atty t attx tyt 例 3.1 3节点三角形有限元，设节点的运动为 求解变形梯度和 Jacobian行列式为时间的函数， 当 Jacobian行列式保持常数时求出 a和 b的值。 2 变形和运动 (1) 332211 332211, , tytytytyty txtxtxtxtx II II 三角形 3节点线性位移单元的构形 解： 在初始构形中， t = 0 332211 332211 )0,( )0,( YYYyY XXXxX 12 1 12212112 31131331 23322323 3 2 1 y x yxyxxy yxyxxy yxyxxy A 面积坐标 JIJI xxx JIJI yyy )(2 32122132 yxyxA 2 变形和运动 (2) 将未变形构形中的节点坐标代入上式 332211 332211 )0,( )0,( YYYyY XXXxX 在初始构形中， t = 0 031 XX 22 X 021 YY 13 Y 32 ,2 YX 得到三角形坐标与材料坐标之间的关系 即 YX 32 ,21 2 c o s1 2 s in1, 2 s in1 2 c o s1, tbtYtatXty tbtYtatXtx X X 得到运动的表达式 变形梯度为 2c o s12s in1 2s in12c o s1 tbttat tbttat Y y X y Y x X x F 2 变形和运动 将 (1) 和 (3) 代入 (2) (3) 在单元中的位移是材料坐标的线性函数 ， 变形梯度仅为时间 函数 ， 若给定时间 ， F 为常数 。 Jacobian行列式给出为 2c o s12s i n1 2s i n12c o s1 tbttat tbttat Y y X y Y x X x F变形梯度为 btatttbtatJ 112s i n2c os11de t 22 F 0 ba当 1JJ的行列式为常数， 这种运动是没有变形的转动； atab 1/当 一个剪切变形和一个转动 ， 其中单元的面积保持常数 。 这种类型 的变形称为等体积变形； 不可压缩材料的变形就是等体积变形 。 2 变形和运动 J行列式也保持常数，这种情况对应于 例 3.3 一个单位正方形 4节点单元 ， 其中 3个节点固定 。 求导致 Jacobian行列式等于零时节点 3位置的轨迹 。 除节点 3之外所有节点均固定，矩形单元的位移场由双线性场给 出 XYuYXuXYuYXu yyxx 33 , , 2 变形和运动 沿着由节点 1和 2以及节点 1和 4所定义的边界上位移场为零，运动为 XYuYuYy XYuXuXx yy xx 3 3 变形梯度 XuYu XuYu yy xx 33 33 1 1F 则 Jacobian行列式为 XuYuJ yx 331de t F 1,0X 1,0Y 检验什么时候 Jacobian行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料点 的 Jacobian行列式，即单位正方形 显然 0 3 xu 且 0 3 yu J是最小 当 1 YX 01010 3333 yxyx uuXuYuJ 0J 对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定 0J 节点 3越过未变形单元的对角线 2 变形和运动 例 3.4 小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为 初始未开裂的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形 2 变形和运动 2 s in 2 c os2 2 c os 2 s in2 2 2 brkfu arkfu y x ctXctXYYctXr 对于 , ,/t a n , 1222 这个位移场对应于沿着 X轴的开口裂纹 ， 且裂尖速度为 c。 求出沿着直线 上的位移间断 。 并问这个位移场是 否满足运动连续性要求 ？ ctXY ,0 解： 2 变形和运动 xuXx yuYy 运动为 ， 。 位移场的间断是在公式中关于 和 的差值： brkfuubrkfuu yxyx ,0,0 所以位移的跳跃或间断为 brkfruruururuu yyyxxx 2, ,0, 其它任何地方的位移场都是连续的 。 这个运动满足第 14页所给出函数连续性准则 ， 因为不 连续仅仅发生在一条线上 ， 在二维中这是一个零尺度的集 合 。 从图中可以看出 ， 在这个运动中裂纹尖端后面的线被 分成两条线 。 在设计运动时也可能该线并不分离 ， 只是在 切线位移场上发生间断 。 现在这两种运动都常常应用在非 线性有限元分析中 。 3 应变度量 1. Green应变 E 2. 变形率张量 D 许多应变和应变率度量出现在连续介质力学的文献中；然而 ， 在有限元方法中应用最普遍的是上面两种度量 。 在描述本构方程 时 ， 如果需要 ， 有时使用其它度量更加有利 。 对于任何刚体运动 (含刚体转动 )， 应变度量必须为零 。 如果 在刚体转动中应变度量不为零 ， 预示着有非零应变 ， 结果导致非 零应力 。 下面看一个例子 3.6。 一个单元绕着原点转动了 角。计算线性应变 例 3.6 XRx Y X u u Y X y x y x 1c o ss i n s i n1c o s c o ss i n s i nc o s 02 ,1c o s ,1c o s XuYuYuXu yxxyyyxx 取它们对材料坐标求导 如果 较大，伸长应变不为零。 对于任何刚体运动 (含刚体转动 )， 应变度量必须为零 。 这 就是为什么在非线性理论中放弃一般的线性应变位移方程的关 键因素 。 3 应变度量 3 应变度量 下面将看到在刚体转动中 E和 D为零 。 应变度量也应该满足其 它的准则 ， 比如 ， 当变形增大时它也相应的增大 ， 等等 。 然而 ， 能够表示刚体运动是至关重要的 ， 并且指明什么时候使用几何非 线性理论 。 到底多么大的转动需要进行非线性分析？ 21211c o s 242 Ox 说明在转动中线性应变的误差是二阶的 ， 线性分析的适用性 在于容许误差的量级 ， 最终取决于感兴趣的误差大小 。 因此，线性应变张量不能用于大变形问题。 线性分析的适用性则在于能够容许误差的量级 ， 最终取 决于感兴趣的应变的大小 。 如果感兴趣的应变量级是 10-2， 那么 1 的误差是能够接受的 （ 几乎总是这样 ） 。 如果感兴趣 的应变更小 ， 可接受的转动更小 ， 对于 10-4量级的应变 ， 为 满足 1 的误差 ， 转动必须是 10-3 弧度量级的 。 这些指导数据假设平衡解答是稳定的 ， 即不可能发生屈 曲 。 然而 ， 屈曲是可能的 ， 即使是在很小的应变下 ， 所以当 可能发生屈曲时 ， 应该使用能适合应付大变形的度量 。 3 应变度量 3 应变度量 jijiiiii dXEdXdXdXdxdxdddSds 2 222 或XEX Green应变张量定义 材料矢量 dX长度平方的变化 。 Green应变度量了当前 (变形 ) 构形和参考 (未变形 )构形中一个微小段长度的平方的差 。 利用变 形梯度公式 ,将公式左边重新写成为矩阵形式 XFFXXFFXXFXF XFXFxx dddddd dddd TTTT 02 XEXXIXXFFX dddddd T 整理上面公式为 提出相同的项得到 02 XEIFFX dd T 对于任何 dX都成立 ijkjTikijT FFE 21 21 或IFFE ijkjTikijT FFE 21 21 或IFFE 3 应变度量 Green应变张量 E ij j k i k i j j i kj j k ki i k j k j k i k i k i k ki j k i k kjkikj T ik X u X u X u X u X u X u Xxu X X X u X X X u X x F X x X x FFFF 根据 转置定义和 以位移的形式使用指标写法 j k i k i j j iijTT XuXuXuXuE 21 ,21 0000 uuuuE 代入上式，表示为位移梯度的形式 3 应变度量 在任何刚体运动中 ， Green应变张量为零 ， 满足了应变度量的 一个重要要求 。 02121 IIIRRE T TxXRx 考虑刚体运动 由变形梯度 F 定义 ，绕原点纯转动时， 给出为 F R （证明见例 3.2) ijkjTikijT FFE 21 21 或IFFE IRR T 式中 转动 张量 满足正交 性 ， R是正交矩阵 Green应变张量 E 第二个运动度量 D， 称为速度应变 , 是变形的率度量 , 定义速度梯度 3 应变度量 变形率张量 D j iijTT x vL g r a d 或vv x vL 速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为 jiijjiijijTT LLLLL 2121 2121 或LLLLL i j j iijT x v x vD 2 1 2 1 或LLD i j j iijT x v x v 2 1 W 2 1 或LLW 令 变形率 (对称 ) 转动 (反对称 ) 二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量 都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和 ijijjiijT WDvL , 或WDvL所以 没有变形，转动张量和角速度张量相等： W 。 由速度梯度定义，在刚体运动中变形率 D 0，所以 L W ，积分 jiji dxLdvdd 或xLv TT vxxWv 其中 xT和 vT是积分常数，对比刚体动力学公式： 得到 在刚体转动中 ， 转动和角速度张量是相同的 。 当刚体除了 转动之外还有变形时 ， 转动张量一般区别于角速度张量 。 TT vxxxv 3 应变度量 变形率张量 D xxDxXxXx dddtdtdtdst 2,2 变形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量 证明在刚体运动中变形率 D 0 3 应变度量 变形率张量 D rT xxxv jiij i j j i ij vvx v x vD 2 1 2 1 kjijki xev ri r jkjjkkjri r kijkri r kij exexev , 0 rj r ii r jj r ii r j eevv 3 应变度量 变形率的 Green应变率形式 将变形率与 Green应变张量的率联系起来 ， 首先得到速度场的 材料梯度 ， 并通过链规则表示为空间梯度的形式 j k k i j iij xXXvxvL ,xXXvxvL jiij XxF / 取变形梯度 的材料时间导数 j i j iij XvX ttFtt , , X X v X XF 应用链规则展开恒等式 ijji xx / 得到 x XF 11 或 j kkjij j kikij j k k i xXFxXFxXXx 11 , kjikij FFL FFL代入上面公式，有 3 应变度量 变形率的 Green应变率形式 将变形率与 Green应变张量的率联系起来 TTT FFFFLLD 12121 FFFFIFFE TTTDtD 2121 将变形率 D前面点积 FT，后面点积 F，得到 FFFFFDF TTT 21 ijklTikijT FDFE 或所以 FDFE 11 , kjikij FFL FFL 这两种度量是看待相同过程的两种方式： Green应变率是在参 考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的 。 两种形式的性质的区别是，在例 3.7中将会看到 Green应变率对 时间积分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的。 11 ljklTikijT FEFD 或FEFD逆变换得到 前推运算 后拉运算 例 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量 tYbttXattx 2s in12c os1, X tYbttXatty 2c os12s in1, X 考虑运动 其中 a和 b是正常数 。 计算作为时间函数的变形梯度 F， Green应变 和变形率张量 ， 并验证在 t 0与 t 1时的值 。 定义 tstcbttBattA 2s i n ,2c o s ,1 ,1 计算变形梯度 F BcAs BsAc Y y X y Y x X x F 以上变形包括同时沿着 X和 Y轴材料线的拉伸和单元转动 。 在任何时刻在单元中的变形梯度是常数 ， 应变度量也是常数 。 得 到 Green应变张量 ， 由公式给出 F， 这样得到： 22 22 2 2 20 02 2 1 10 01 0 0 2 1 10 01 2 1 2 1 tbbt taat B A BcAs BsAc BcBs AsAcT IFFE 得到 Green应变张量 当 t 0时，有 x X和 E 0， 计算变形率，先获得速度，取运动的材料时间导数 YBcbsXAsacv x 22 YBsbcXAcasv y 22 在 t 0时， x X， y Y， c 1， s 0， A B 1，速度梯度在 t 0时为 01 102 ,0 0 2 2 WDvL b a b aT 例 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量 为了确定变形率的时间历史，计算变形梯度的时间导数和逆 AcAs BsBcABBscBAcsA BcsBAscA tt tt 1 , , , 1 22 22 FF 01 10 2 1 22 221 A b cB a sAbBacs AbBacsA b sB a c ABFFL 等式右边的第一项是变形率，因为它是速度梯度的对称部分， 而第二项是转动，它是反对称部分。变形率在 t 1时给出为 abaabbabbaBaAbAB 0 01 10 01D 因此，当在中间步骤中，剪切速度应变是非零的， 在 t 1时刻的构形中只有伸长的速度应变是非零的。 当 t 1时刻的 Green应变率通过对变形率后拉运算给出 2 2 0 0 0 0 bb aa Bb AaE FDFE T 例 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量 一个单元经历了图示的变形阶段 。 在这些阶段之间的运动 是时间的线性函数 。 计算每一阶段的变形率张量 D， 对于回到 未变形构形的整个变形循环 ， 获得变形率的时间积分 。 例 3.7 计算变形率的时间积分 假定变形的每个阶段都发生在一个单位时间间隔内 。 时间 标定与结果无关 ， 从构形 1到构形 2的运动为： 10 , , tYtya t YXtx XX 101 ,000 ,101 1 ataat FFF 确定变形梯度 得到速度梯度和变形率为 例 3.7 计算变形率的时间积分 002121 ,0001010001 a aaata TLLDFFL 这样 ， 变形率就是一个纯剪切 ， 即两个拉伸分量都为零 。 由公 式 (3.3.5)得到 Green应变为： taa ataat atT 222 2021 ,02121 EIFFE 比较上面两式 ， E22非零 ， 而 D22 0， 当 a为小量时 ， E22也小 。 从构形 2到构形 3剪切与 y向拉伸的联合运动： 1 ,21 ,1, , tttYbttyaYXtx XX bbtbbt T 0 001 121 ,0 001 11 LLDFFL 120 0021 ,202121 2 btbbtbtaa aT EIFFE 例 3.7 计算变形率的时间积分 从构形 3到构形 4纯剪切运动： 2 ,32 ,1, ,1, tttYbtyYtaXtx XX 0012 121 ,0001 11 a abab TLLDFFL 从构形 4到构形 5 y向拉伸 （ 压缩 ） 运动： 3 ,43 ,1, , tttYbtbtyXtx XX LDFFL ,0 001 11 bbtb 在构形 5中的 Green应变为零 ， 因为在 t=4时的变形梯度是单位张 量 ， F I。 变形率对时间的积分给出为 01 10121ln0 000012 11ln0 000021D40 babba abba adtt 例 3.7 计算变形率的时间积分 变形率在回到初始构形结束的整个循环上的积分不为零 。 这个问题的最后构形对应于未变形构形 ， 所以应变的度量应该 为零 ， 变形率的积分不为零 ， 变形率的积分是路径相关的 。 对于第 5章描述的次弹性材料 ， 这是一个重要的诠释 。 它同 时也暗示变形率的积分不是整个应变的一个很好的度量 。 必须 注意到 D在一个循环上的积分结果是表征变形的二阶常数 ， 所以 只要这些常数非常小 ， 误差是可以忽略不计的 。 Green应变率在 任何闭合循环上的积分等于零 ， 因为它是 Green应变 E的时间导 数 。 换句话说 ， Green应变率的积分是路径无关的 。 01 10121ln0 000012 11ln0 000021D40 babba abba adtt 4 应力度量 1 Cauchy应力， 2 名义应力张量， P 3 PK2应力张量， S dd tn 0000 dd tPn 00100 dd tFSn 法向矢量通常在左边 pii 3131 t r a c e 以 Cauchy应力的形式表示面力 ， 称为 Cauchy定理 ， 或者 Cauchy假 定 。 它包括当前表面的法线和面力 （ 每单位面积上的力 ） ， 称为物理应力 或真实应力 。 例如 ， Cauchy应力的迹 ， 这是流体力学中普遍使用的真实压力 p。 应力度量 P和 S的迹没有给出真 实压力 ， 因为它们参考未变形的面积 。 使用约定 ， 在拉伸中 Cauchy应力的 法向分量为正 ， 由公式 ， 在压缩时压力是正的 。 在角动量守恒中将看到 ， Cauchy应力张量是对称的 ， 即 T 。 4 应力度量 1 Cauchy应力， 2 名义应力张量， P 3 PK2应力张量， S dd tn 0000 dd tPn 00100 dd tFSn 4 应力度量 名义应力 P表示是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面， 它的定义类似于 Cauchy应力的定义。名义应力是 非对称的 。 名义应力的转置称作为 PK1(第一 Piola-Kirchhoff)应力。 PK2应力为 对称的 ，它和 Green应变率在功率上是共轭的。 PK2应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶 (势能）。 010010 , dFJndndJd jiji Fnn 在 Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来 为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以 Cauchy应力的形式建立名义应力的表达式。 00 ddd Pnnf 00010 ddJ PnFn 通过 Nanson关系 4 应力度量 由于上式对于任意的 n0都成立，所以有 kj k iijkjikij xXJPJFPJ 11 或或FP 对于任意的 n0都成立，有 kjikij PFJJ 或PF 作矩阵变换 从公式可以看到， PPT (FFT)， 即名义应力张量是非对称的。 Cauchy应力， PK2应力，名义应力的关系 TljklikijT FJFSJ 11 或FFS jkikTkjikijT FSFSP 或FSP TljklikijT FSFJJ 11 或FSF 后拉 前推 参考构形 S和 之间的关系 ， 只依赖于变形梯度 F和 J行列式 J det(F) 只要变形已知 ， 应力状态总能够表示为 、 P或者 S的形式 。 可以看出 ， 如果 Cauchy应力对称 ， 那么 S也是对称： S ST 。 在物体中的每个点都构造了一个坐标系 。 这个坐标系随着材料或 单元一起转动 。 通过将这些张量表达在一个随材料而转动的坐标 系中 ， 很容易处理结构单元和各向异性材料 。 旋转应力和变形率 4 应力度量 在旋转方法中，用基矢量 ie 变形率也表示为其旋转分量的形式， ijD 它可以从总体分量中得到，也可以直接从速度场中得到。 4 应力度量 旋转应力和变形率 变形率也可以表示为旋转分量 ijD jij i i j j i ij v x v x v x vD , s y m21 ijiv e,事实上，速度 v的正确梯度是 旋转方法经常迷惑一些有经验的力学工作者，他们把它解释为一种 用基矢量 i e 的曲线坐标系统，是 x的函数，从而会给出一个矢量 iiv e 错误地认为速度 v的梯度是 jiiiji vv , ee 每个点可能有不同的旋转系统 旋转 Cauchy应力和旋转变形率定义为 4 应力度量 旋转应力和变形率 ljklTikijT RR 或RR ljklTikijT RDRD 或RDRD 旋转 Cauchy应力张量与 Cauchy应力是同一个张量， 但是它被表示为随材料而转动的坐标系的分量形式。 严格的讲，一个张量不依赖于表示它的分量的坐标系。 “ 戴帽子 ” 的那个坐标系是随着材料 （ 或单元 ） 运动的 ， 有限元中一般定义三套坐标系统：总体 ， 单元 ， 节点 , xxx i 0 0 0 0 0 y x t 例 3.8 平面问题 设给定初始状态的 Cauchy应力和运动形式为 应力嵌入在材料中，当物体转动时，初始应力也跟着转动， 计算初始构形以及 t /2时构形的 PK2应力，名义应力和旋转应力。 在初始状态， F I，有 0 0 0 0 y x PS 在 t /2时的变形构形中，变形梯度给出为 1d e t ,01 102/c o s2/s i n 2/s i n2/c o s FF J YXtt ttyxtt c o ss in s inc o sXRx 4 应力度量 例：平面问题 因为应力是嵌入在材料中，在转动 t /2构形中的应力状态为 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 01 10 0 0 0 0 1 y x x yJ FP 0 0 0 0 0 0 01 10 0 0 y x y xT FPS 由于这个问题中的映射为纯刚体转动， R F，所以当 t /2时 S 在纯转动中， PK2应力是不变的； PK2应力行为好像是被嵌入在材料中。 材料坐标随着材料转动，而 PK2应力的分量始终与材料坐标的取向保持关联。 5 守恒方程 tf ,x如果 知识准备 是 C 1连续的，且对于 的任何子域 有 0, dtf x 那么在 上，对于任何 tt ,0 有 0, tf x 1. 质量守恒 2. 线动量守恒 ， 常称为动量守恒 3. 能量守恒 4. 角动量守恒 5 守恒方程 1 质量守恒 dtm ,X 质量守恒要求任意材料域的质量为常数 ， 没有穿过材料域的边界 ， 不考 虑质量到能量的转化 。 根据能量守恒原理 ， m()的材料时间导数为零 ， 即 材料域 的质量为 0 dDtDDtDm 对上式应用 Reynold转换定理得到 0di v dDtD v 0, 0, 0di v iiii vvDtDDtD 或或v 由于上式对于任意的子域 都成立，可以得到 质量守恒方程 ，称其为连续性方程，是一阶偏微分方程。 z v y v x v kvjviv z k y j x ivv 321 321)d i v ( 5 守恒方程 Reynold转换定理 一个积分的材料时间导数是在材料域上积分的变化率 。 材料域随 着材料而运动 ， 在边界上的材料点始终保持在边界上 ， 且不发生质量 流动跨过边界 。 材料域类似于 Lagrangian网格；对于材料时间导数 的各种积分形式称为 Reynold转换定理 。 0 dDtDDtDm dfdtftfdDtD tt ,1lim 0 xx 将右边的两个积分转换到参考域上 00 000 ,1lim dJfdtJtftfdDtD t XXXX t是同一材料点在 t时刻所占据的空间域。 积分域经过这种变换， f 成为材料坐标的函数。 积分域现在是时间独立，将极限运算拉入积分内进行，取极限得到 0 0 , dtJtftfdDtD XX 5 守恒方程 1 质量守恒 独立的空间变量是材料坐标，被积函数中对时间的偏导数是材料时间导数 0 0 , dtJtftfdDtD XX 00 00 , dtJfJtfdtJtftfdDtD XX 0 0dxvfJJtffdDtD i i i ixvJJJDtDJ vd iv 将上式右边的积分转换到当前域上，并把独立变量改为 Eulerian描述，给出 dxvfDt tDfdtfDtD i i, xx ttfDttDf ,/, XxReynold转换定理一种形式 5 守恒方程 1 质量守恒 d x fv t fdf x v x fv t ffd Dt D i i i i i i 0 0dxvfJJtffdDtD i i Reynold转换定理另一种形式 dftffdDtD vdi v dfdtffdDtDdnfvdtffdDtD ii nv 或 对上式右边的第二项应用 Gauss定理 0di v dDtD v质量守恒方程 质量守恒方程的几种特殊形式 5 守恒方程 (1) 当材料不可压缩时，密度的材料时间导数为零 , 即速度场的散度为零 0, 0d iv iiv或v (2) 对于 Lagrangian描述，将质量守恒方程对时间积分，得到密度的代数方程 0 00 dd 常数 将上式左边的积分转换到参考域 0 0 00 dJ 00 , JtJt 或XXX 代数方程常常应用于 Lagrangian网格中以保证质量守恒 (固体力学 ), 在 Eulerian网格中质量守恒的代数形式不能应用 ， 通过偏微分方程 ， 即 连续性方程保证质量守恒 (流体力学 )。 0, iiiiii vtvvt zvyvxv 3210 5 守恒方程 2 线动量守恒 从线动量守恒原理得出的方程是非线性有限元程序中的一个关键方程 。 线动量守恒等价于 Newton第二运动定律 ， 它将作用在物体上的力与它的 加速度联系起来 。 这个原理通常称为动量守恒原理 ， 或 动量平衡原理 。 i j jii b xDt Dv Dt D d i v 或bbv 称为 动量方程 ；也称为线动量平衡方程 。 左边的项代表动量的变化 ， 称为 惯性或运动项 。 根据应力场的散度 ， 右边的第一项是每单位体积的净合内 力 。 这种形式的动量方程均适用于 Lagrangian格式和 Eulerian格式 。 0 b 0 i j ji b x 平衡方程 平衡过程是静态的 , 荷载缓慢施加到物体上，不包括加速度。 动量和平衡方程都是张量方程 , 代表了 NSD个标量方程。 5 守恒方程 3 角动量守恒 用位置矢量 x叉乘相应的线动量原理中每一项 ， 得到角动量 守恒的积分形式 dddDtD txbxvx jiijT 或 式中 角动量守恒方程要求 Cauchy应力为对称张量 。 所以 ， 在二 维问题中 Cauchy应力张量代表着 3个不同的相关变量 ， 在三维 问题中为 6个 。 当使用 Cauchy应力时 ， 角动量守恒不会产生任 何附加的方程 。 4 能量守恒 5 守恒方程 考虑热力学过程 ， 仅有的能量源为机械功和热量 。 能量守恒原理 ， 即能量平衡原理 ， 说明整个能量的变化率等于体力和面力做的功加上 由热流量和其它热源传送到物体中的热能 。 每单位体积的内能用 wint表示 ， 其中 wint是每单位质量的内能 。 每单位面积的热流用矢量 q表示 ， 其量纲是 功率除以 面积 ， 每单位体积的热源用 s表示 。 能量守恒则要求在物体中总能量的变化率 ， 包括内能和动能 ， 等 于所施加的力和在物体中由热传导和任何热源产生的能量的功率 。 5 守恒方程 4 能量守恒 在域内由体积力 ,和在表面上由面力做的功率为 在物体中总能量的变化率为 dDtDpdwDtDpppp vv 21 , , k i ni n ti n tk i ni n tt o t dtvdbvdbdp iiii tvve x t 由热源 s和热流 q提供的功率为 dqnsddsdp ii qnh e a t 其中热流一项的符号是负的，因为正的热流是向物体外面流出的 h e a te x tk i ni n t pppp 能量守恒 5 守恒方程 4 能量守恒 即物体内总能量的变化率 （ 包括内能和动能 ） 等于外力的功率和由 热流及热能源提供的功率 。 这是已知的 热力学第一定律 。 内能的支配依赖于材料 。 在弹性材料中 ， 它以内部弹性能的形式 存储起来 ， 并在卸载后完全恢复；在弹塑性材料中 ， 部分内能转化为 热 ， 部分由于材料内部结构的变化而耗散了 。 h e a te x tt o t ppp dsddddwDtD qntvbvvv 21i n t 应用 Reynold定理将求导数移入积分内 ， 然后将面积分转换为域 积分 d Dt D Dt Dw d Dt D Dt Dw dw Dt D v v vv vv i n t i n t i n t 2 1 2 1 5 守恒方程 4 能量守恒 将 Cauchy定律和 Gauss定理应用于面力边界积分，得到 dsddddwDtD qntvbvvv 21i n t 的反对称性的对称性及根据 使用 W vntv , 9.3.3 , , dvD dvWD dvvdv dvndd jjiijiji jjiijijijiji jjiijijijiji ijij dvD : 代入能量守恒公式，对热流积分应用 Gauss定理，并整理各项得 到 0:i n t dDtDsDtDw bvvqD 动量方程 ,为 0 5 守恒方程 4 能量守恒 sDtDw qD :i n t 由域的任意性 ,得到能量守恒的偏微分方程 当没有热流和热源时，即为一个纯机械过程，能量方程成为 ijij DDt Dw DD :i n t 这不再是一个偏微分方程 ， 它以应力和应变率度量的形式 ， 定义了给予 物体单位体积的能量变化率；称为 内能变化率或内部功率 。 由变形率和 Cauchy应力的缩并给出内部功率 。 变形率和 Cauchy应力在功率上是耦合的 。 功率上的耦合有助于弱形式的建立：在功率上耦合的应力和应变率的度 量可以用于构造虚功原理或虚功率原理 ， 即动量方程的弱形式 。 在功率上耦 合的变量也可以说 在功或者能量上是耦合的 ， 但是常常使用功率耦合的说法 ， 因为它更加准确 。 5 守恒方程 6 Lagrangian守恒方程 以应力和应变的 Lagrangian度量形式 ， 在参考构 形中直接建立守恒方程是有益的 。 在连续介质力学的 文献中 ， 这些公式称为 Lagrangian描述 ， 而在有限元 的文献中 ， 这些公式称为完全的 Lagrangian格式 。 对于完全的 Lagrangian 格式 ， 总是使用 Lagrangian网格 。 在 Lagrangian框架中的守恒方程与 刚刚建立的守恒方程基本上是一致的；它们只是以不 同的变量表示 。 实际上将看到 ， 可以通过框 3.2中的 转换关系和链规则得到它们 。 6 Lagrangian守恒方程 在完全的 Lagrangian格式中 ， 独立变量是材料坐标 X和时 间 t。 主要的相关变量是初始密度 0(X， t)， 位移 u(X， t)以及 应力和应变的 Lagrangian度量 。 使用名义应力 P(X， t)作为应力的度量 。 这导致动量方程 与 Eulerian描述的动量方程 (3.5.33)惊人的相似 ， 所以非常容 易记忆 。 变形将通过变形梯度 F(X， t)描述 。 对于构造本构方程 ， 使用成对的 P和 F不是特别有用的 ， 因 为 F在刚体运动中不为零 ， 而 P是不对称的 。 因此 ， 本构方程通 常表示为 PK2应力 S和 Green应变 E的形式 。 然而 ， 通过框 3.2中 的转换关系 ， S和 E之间的关系可以很容易的转换为 P和 E之间的 关系 。 6 Lagrangian守恒方程 7 极分解和框架不变性 目的是探讨刚体转动的作用： 1. 表述极分解定理 ， 该定理能够从任何运动中得到刚体转 动 。 2. 考虑刚体转动对于本构方程的影响 。 证明对于 Cauchy应 力 ， 需要对时间导数进行修改建立率本构方程 。 这就 是 框架不变性或者应力的客观率 。 3. 表述三种框架不变率： Jaumann率 。 Truesdell率和 Green Naghdi率 。 4. 展示了由于次弹性本构方程和这些不同变化率的错误应 用 ， 在结果中的惊人误差 。 极分解定理 7 极分解和框架不变性 在大变形问题中 ， 阐明转动作用的基本原理就是极分解定理 。 这个定 理表述为 ， 任何变形梯度张量 F可以乘法分解为一个正交矩阵 R和一个对 称张量 U的乘积 ， 称 U为右伸长张量 (先伸长再转动 )。 kjik j iij URXxF 或URF TT UURR 1 XURx dd 物体的任何运动包括一个变形 ， 由对称映射 U表示 ， 和一个刚体转动 R；所有的正交变换都是转动 。 在这个方程中没有出现刚体平动 ， 因为 dx 和 dX分别是在当前和参考构形中的微分线段 ， 而且微分线段的映射不受 平动的影响 。 如果将方程积分得到 x (X,t)的形式 ， 那么刚体平动将作为一个积分 常数出现 。 在刚体平动中 ， F I， 和 dx dX。 其中 有 7 极分解和框架不变性 极分解定理证明 UUUURURURURUFF TTTTT 2/1FFU T TT UURR 1 得到 1 UFR URF 右边总是一个正矩阵，所以矩阵 U的所有特征值总是正值，故 U的逆矩阵存在 矩阵 U与工程应变联系得非常紧密。它的主值是在矩阵 U的主方向上线段的 伸长。其吸引人之处在于建立本构方程。张量 U I 称为 Biot应变张量 。 一个运动也可以分解为一个左伸长张量和一个转动的形式 RVF 称 V为左伸长张量（先转动再伸长）。 7 极分解和框架不变性 0 3 22 2x 2 2 33 22 11 tyattx atatyatt attyatatx 通过极分解定理分别求在 t 1.0 和 t 0.5 时的刚体转动和伸长张量 考虑三角形单元的运动，其中节点坐标 xI (t)和 yI (t)分别为 例 3.10 在面积坐标的形式下，运动描述为 7 极分解和框架不变性 332211, txtxtxtx 332211, tytytyty 将面积坐标表示为材料坐标 ， t=1时刻 2321333231, 321 YaaYaXaYXaaax X Xay 20021, 321 X 02 5.00 Y y X y Y x X x F变形梯度 5.00 0225.00 04 2/12/1FFU T伸长张量 U 例 3.10 7 极分解和框架不变性 01 1020 05.002 5.001FUR 转动矩阵 R y x y x r r r r c o ss in s inc o s 这个转动是一个逆时针 90 的旋转 这个变形包含节点 1和 3之间线段 的伸长 ， 放大系数为 2（ U11） ， 和节点 3和 2之间线段的缩短 ， 放 大系数为 0.5（ 见 U22） ， 导致沿 x 方向发生平移 3a和 90 的旋转 5.00 0225.00 04 2/12/1FFU T 在式 (E3.10.1)中取 t 1所表示的运动 例 3.10 7 极分解和框架不变性 客观率 D:C DklDi j k lij DtDDCDtD 或 考虑率本构方程的最简单例子，应力率与变形率为线性关系的次弹性定律 Cauchy应力张量为什么需要客观率？ 本构方程有效吗？ 7 极分解和框架不变性 客观率 回答是否定的 ， 考虑图中的杆 ， 在初始构形中所受的应力为 x 0。 现在假设杆以 恒定长度转动 ， 所以不存在变形 ， 即 D 0。 回顾在刚体运动中初始应力 （ 或预应力 ） 嵌入在固体中的状态 ， 即 在刚体转动中没有发生变形 ， 观察者所看到的随着物体运动的应力 （ 在 单元坐标系中 ） 也不应该变化 。 在固定坐标系下 ， Cauchy应力的分量在转动中将发生变化 ， 所以 应力的材料导数必须是非零的 。 但是 ， 对于纯刚体转动 ， 在整个运动过 程中公式的右边将为零 ， 因为已经证明了在刚体运动中变形率为零 。 因 此 ， 在公式中一定是漏掉了什么东西： D 0， 但是 D/Dt不应该为零 ！ D:C DklDi j k lij DtDDCDtD 或 公式的不足在于它不能解释材料的转动 。 通过应力张量的客观 率可以解释材料的转动；称为 框架不变率 。 考虑三种客观率： Jaumann率， Truesdell率， Green Naghdi率 。 框架不变性的核心是应力的 (变化 )材料导数不受刚体位移的影响。 所有这些都应用于当前的有限元软件中 ， 如 ABAQUS。 还有许多 其它的客观率将在后面讨论 。 7 极分解和框架不变性 客观率 黄先生书描述固体本构大变形给出 3种定义： 1 SO(Simo-Ortiz)定义来自于 Green Naghdi率本构模型 ， 只 不过将后者从参考构型前推到卸载构形 (令温度和结构不变 ， 应力全部卸除后的残余变形 ， 也称为中间构形 )和当前构型； 2 MOS(Moran-Ortiz-Shih)本构理论来自于 Jaumann率 ， 将变 形张量分解为对称 (平动 )和反对称部分 (转动 )。 在中间构 形建立本构关系 ， 把中间构形中的 Green应变率定义为弹性 变形率 D， dE/dt D既反映了当前构形 、 也反映了中间构形 的变化 。 3 RH(Rice-Hill)与 SO的差别是不分别定义 Green应变的弹性 和塑性部分 ， 而是分解 Green应变率为弹性和塑性部分 。 Cauchy应力与 Jaumann率构成 ABAQUS的核心部分 。 7 极分解和框架不变性 客观率 Cauchy应力的 Jaumann率 7 极分解和框架不变性 TkjikkjikijJijTJ WWDtDDtD 或WW 一个适当的次弹性本构方程给出为 klJi j k lJijJJ DC : 或DC Cauchy应力张量的材料率 r o t a t i o n Tm a t e r i a lJTJDtD WWDCWW : 材料响应被指定为一个客观应力率的形式 ， 这里是 Jaumann率 。 Cauchy应力的材料导数由两部分组成：由于材料响应的变化率 ， 反映 在客观率中 ， 和由于转动的应力变化 ， 对应于公式中的最后两项 。 Jaumann率的核心是扣除由转动引起的应力变化 ， 仅为变 形引起的应力 ， 应力的客观性是指应力不受坐标变化的影响 。 小变形 大变形 7 极分解和框架不变性 7 极分解和框架不变性 例 3.12 考虑一个物体在 x y平面内以角速度 绕原点转动 ， 原始构 形如图 。 运动为刚体转动 。 使用 Jaumann率计算 Cauchy应力的材料 时间导数 ， 并将其积分得到关于时间函数的 Cauchy应力 。 r o t a t i o n Tm a t e r i a lJTJDtD WWDCWW : cs scsc cscs sc 1 , , FFRF 7 极分解和框架不变性 01 10 2 1 01 101 T cs sc sc cs LLW