四年级数学复习

第一讲 整数计算综合知识精讲一、交换律加法交换律：a+b=b+a 例如：123+234=234+123乘法交换律：ab=ba 例如：123234=234123二、结合律加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c) 例如：（123+234）+345=123+（234+345）乘法结合律：(ab)c=a(bc) 例如：（123234）345=123（234345）三、分配率c（a+b）=ca+cb c（ab）=cacb（a+b）c=ac+bc （ab）c=acbc乘法分配率： 例如：（234123）5=23451235 5 （234123）=52345123 （a+b）c=ac+bc （ab）c=acbc除法分配率： 例如：（10040）10=100104010 不能100（1040）=1001010040（错误的）四、去（添）括号：1、加减法去（添）括号：括号前面是“”，去（添）括号后不变号；括号前面是“”，去（添）括号后要变号。例如：234（345123）=234345123 345（234123）=3452341232、乘、除法去（添）括号：括号前面是“”，去（添）括号后不变号； 括号前面是“”，去（添）括号后要变号。例如：8（58）=858； 93（313）=93313五、带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序。注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算。例如：24116459=24159164 165295=165529四则混合运算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号内的。例题一：计算：（1）125718 （2）1242431 （3）287287练习1：计算：（1）251234543214 （2）962524例题二：计算：（1）2226432 （2）123（4132） （3）1252160（7815）练习2：计算：（1）722788（91112） （2）251212（1154）例题三：计算：（1）2223388966 （2）213258683237 （3）122123125211练习3：计算：23546256915例题四：计算：（1）（163240）4 （2）96417641284（3）156536206练习4：计算：（1）52713737 （2）115111515235挑战极限：例题五：计算：（1）151612 （2）642835例题六：计算：（1）56474644 （2）55455644作业：1、计算（1）752425 （2）461326232、 计算（1）502777（25119） （2）11047125100（478）3、 计算：1329261911394、计算491310713110135、计算：502745第二讲 和差倍中的分组比较一、 知识梳理三年级我们学习过,当题目中包含两个以上的对象时,最简单的解决方法就是：把其中的若干对象“打包”变成一个对象,从而减少对象的数量,最终把问题变成两个对象间的和差倍问题.这种“打包”的方法就是所谓的分组法.在有多个对象的和差倍问题中,分组法和比较法是常用的方法.我们先来看这么简单的问题：甲、乙、丙三人称重,由于秤出了点问题,只能准确地称出60千克与90千克之间的重量,因此他们三人只能两人两人一起称重.甲和乙一起称,总重量是73千克；乙和丙一起称,总重量是80千克；丙和甲一起称,总重量是75千克.三人的体重分别是多少千克?我们把甲、乙两人看成一组,乙、丙两人也看成一组（其中乙同时属于两组）,比较这两组我们发现丙比甲重80-73=7千克.再结合甲、丙总重量为75千克,可以根据和差关系算出甲、丙各自的重量.在这个例子中,我们既考虑两人一组的总重量,也把两组的总重量作比较.除此之外,还有另一种利用分组比较的分析方法:我们把甲、乙、丙三个人两两的体重看做一组,把三组相加,即为三个人体重和的2倍.由此可得三人体重之和为千克,再分别与每一组进行比较,即可得到三个人的体重.由此可见,用分组法与比较法在处理多个对象的和差倍关系时,可以把条件之间的关系变得更清晰.而且,一个题目往往是可以从不同的角度采用不同的分析方法进行解决的,所以我们要根据题目的实际情况进行合理地比较.有些题目直接列出算式去比较会很麻烦,所以我们可以用画图的方法来帮助我们比较.二、 典例精析【典例1】 成都树才学校举办包包子大赛,小明比小红多包3个,小张比小黄多包9个,小明和小黄共包了87个,那么着四个人共包了多少个包子?【分析】按条件画出分组图,比较两组中有关联的人,你有什么发现吗?【典例2】 在神秘的星球上只有四种水果,其中火龙果和水龙果共83个,水龙果和金龙果共86个,金龙果和木龙果共88个,请问:火龙果和木龙果共多少个?【分析】这三组的总数之间有什么联系吗？比较其中两组的水果数量,你有什么发现吗？或者试试比较法中“累加”的方法,能有什么发现吗？【典例3】 某学生到工厂勤工俭学,按合同规定,干满30天,工厂将给他一套工作服和1000元钱,但由于学校另有安排,他工作了10天后便终止了合同.按天计算所得报酬,工厂需要给他一套工作服和200元钱,请问:这套工作服值多少元钱?【分析】工作10天比工作30天要少拿20天的报酬,究竟拿了多少元钱呢?【典例4】 某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍,该食堂每天消耗面粉20袋,大米60袋.几天后面粉全部用完,大米还剩下200袋.请问:这个食堂买来大米多少袋?【分析】由于大米的袋数是面粉的4倍,我们可以把1份面粉和4份大米分成一组,怎么分组才能使每天恰好消耗完一组中的面粉呢?这时一组里剩下多少袋大米呢?你能算出一共用了多少天吗?【典例5】 五年级有甲、乙、丙、丁四个班,不算甲班,其余三个班的总人数是121人;不算丁班,其余三个班的总人数是134人;丁班人数的2倍比甲班多9人.请问:这四个班共有多少人?【分析】把题目给出的条件例举出来,进行分析比较,能得出关于丁、甲两班的关系吗?三、 牛刀小试【练习1】 有来自阳光、灿烂、雨天、清风这四所小学的同学参加成都树才学校吃包子比赛,其中阳光学校参赛人数比灿烂学校多5人,雨天学校参赛人数比清风学校多7人,如果灿烂、雨天两校一共有40人参加比赛,那么阳光、清风两校一共有多少人参加比赛?【练习2】 西瓜太郎有四种西瓜,其中红西瓜和绿西瓜共23个,绿西瓜和粉西瓜共35个,粉西瓜和黄西瓜共39个,请问:红西瓜和黄西瓜共多少个?【练习3】 在海阳王国里,海豚在鲸鱼开的餐厅打工,它俩说好工作满30天,鲸鱼就付给海豚100个海洋币和1颗珍珠.但工作了25天,海豚决定不干了.按天算工资,鲸鱼只给付给它50个海币和1颗珍珠.请问:这个珍珠值多少个海洋币?【练习4】 箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍.每次从箱子里取出7个白球,15个红球.经过若干次后,箱子里白球恰好被取完,只剩下54个红球.那么箱子里原有红球、白球各多少个?【练习5】 五年级有甲、乙、丙、丁四个班,不算甲班,其余三个班的总人数是131人;不算丁班,其余三个班的总人数是140人;乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人.请问:这四个班共有多少人四、 巩固提高1. 学校举行联欢会，如果甲、乙、丙三个班的学生参加,共60人;如果只有甲、乙两班的学生参加,共40人;如果只有乙、丙两班的学生参加,共32人.乙班有多少人?2. 某次数学考试,甲、乙的成绩和是184分,乙、丙的成绩和是188分,那么甲比丙少多少分?3. 一个桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油共重26千克;如果把油加到原来的4倍,这时油和桶共重46千克,那么桶重多少千克?4. 森林学校里,有的学生爱吃苹果,有的学生爱吃香蕉.于是,兔子厨师就专门针对不同学生的口味订购了一批苹果核香蕉,已知苹果数量是香蕉的5倍,小朋友们每天一共要吃30个香蕉个90个苹果,几天后香蕉全部被吃完了,苹果却还剩下600个.请问:兔子厨师一共订购了多少个苹果?5. 老大、老二、老三是张家三兄弟,今年老大与老二的年龄之和是23岁,老二与老三的年龄之和是18岁,老大与老三的年龄之和比老二年龄的2倍多1岁,请问:今年三兄弟的年龄之和是多少岁?第讲变倍问题一、 知识梳理大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法.对于基本和差倍问题,可以根据已知条件直接画出线段图.而对于有些较复杂的和差倍问题,我们往往需要先分析题目中的隐藏条件,找到各个数量之间的和差倍关系,然后再通过画线段图等方法求解.之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系,这时“1”份的量较容易确定.如果已知条件涉及多个量的倍数关系,或是两个量之间的倍数关系发生了变化,那么这时选择哪个量作为“1”分量就是解题的关键了.如果设为“1”份不好算,还可以选择一个合适的数设为多份数.试一试:甲是乙的2倍,也是丙的3倍,那么设甲为( )份.甲是乙的2倍,也是丙的5倍,那么设甲为( )份.甲是乙的3倍,也是丙的5倍,那么设甲为( )份.甲是乙的11倍,也是丙的20倍,那么设甲为( )份.甲是乙的99倍,也是丙的100倍,那么设甲为( )份.甲是乙的4倍,也是丙的12倍,那么设甲为( )份.甲是乙的6倍,也是丙的9倍,那么设甲为( )份.二、 典例精析【典例1】 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花,其中黄花的盆数是最多的,是红花的4倍,是蓝花的3倍.已知蓝花比红花多20盆,请问:学校门口一共有多少盆花?【分析】黄花盆数是红花的4倍,是蓝花的3倍,红花、蓝花都与黄花有倍数关系,我们应该把黄花设为几份呢?【典例2】 爸爸和小明跑步回来,各吃了一些饺子,此时爸爸吃的饺子是小明的3倍,过了一会儿,小明觉得不过瘾,又吃了3个饺子,这时爸爸吃的饺子只有小明的2倍了.请问:爸爸吃了几个饺子?【分析】小明又吃了3个饺子,小明吃的数量发生了变化,但是爸爸吃的数量没有变,我们把不变的量设为多少呢?【典例3】 有红色、绿色两个箱子,红色箱子里装的是红球,绿色箱子里装的是绿球,红球的数量是绿球数量的3倍.从红色箱子里拿出10个球放入绿色箱子里,这时红色箱子里球的数量是绿色箱子里球的数量的2倍.那么现在红色、绿色两个箱子里各有多少个球?【分析】从红色箱子里拿出10个放入绿色箱子里,两个箱子里的球数都发生了变化,那到底有没有不变量,什么不变呢?我们又该把这个不变量设为几份呢?【典例4】 成都树才学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书,小学部的捐书量是初中部的6倍,若两个部门各增加30本,则小学部的捐书量是初中部的4倍.请问:两个部门原来各捐书多少本?【分析】两个部门各增加30本,那么两个部门的捐书量都发生了变化,但是什么没有变呢?我们把它设为几份比较容易计算呢?【典例5】 王老师和麦兜抢包子,一开始王老师的包子个数是麦兜的3倍,麦兜趁王老师不注意,从王老师的手里抢走了100个包子,结果麦兜的包子数量变成了王老师的2倍.请问:王老师和麦兜原来分别有多少包子?【分析】先找不变量,要仔细读题,注意倍数关系,千万别弄反哦!三、 牛刀小试【练习1】 暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一副漂亮的纸鹤帘.这幅纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景,绿色的纸鹤排列成一个“家”字,其中粉色的纸鹤比较多,既是黄色纸鹤的3倍,又是绿色纸鹤的5倍.让你过绿色和黄色的纸鹤一共有240个,那么萱萱的这幅纸鹤帘一共有多少个纸鹤?【练习2】 小矮人和绿巨人比身高,绿巨人的身高是小矮人的3倍,后来小矮人从巫婆那里获得了生长剂,结果长了30厘米,而绿巨人却没有再长高,此时绿巨人的身高只有小人的2倍.请问:小矮人和绿巨人原来分别有多高?【练习3】 张三和李四一起搬砖,原计划张三搬其中的一些,李四搬剩余的砖,那么张三所搬的砖数是李四的5倍;如果李四帮张三搬10块,那么张三所搬的砖数是李四的4倍,请问:原计划张三搬多少块砖?李四搬多少块砖?【练习4】 熊大和熊二吃蜂蜜,一开始熊大吃的个数是熊二的4倍,之后熊大和熊二又分别吃了10个,此时熊大吃的个数只有熊二的2倍,请问:最后熊大和熊二分别吃了多少个蜂窝?【练习5】 张三和李四一起搬砖,原计划张三搬其中的一些,李四搬剩余的砖,如果张三帮李四搬10块,那么张三所搬的砖数是李四的5倍;如果李四帮张三搬10块,那么张三所搬的砖数是李四的2倍,请问:原计划张三搬多少块砖?李四搬多少块砖?四、 巩固提高1. 风老师、雨老师、云老师吃松子,风老师吃的松子颗数是雨老师的5倍,是云老师的3倍,其中云南老师比雨老师多吃了100颗松子.请问:风老师吃了多少颗松子?2. 李师傅有大小两种型号的零件,其中大型号零件个数是小型号的3倍,李师傅使用了10个小型号零件,使得大型号零件个数变成了是小型号零件个数的4倍.请问:李师傅原来有多少个小型号零件?3. 河马和犀牛是好朋友,他们经常派家里养的信鸽给对方送信,河马家信鸽的数量是犀牛家的3倍,但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼,结果等它回来时,已经有10只信鸽飞到了犀牛家,这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的2倍了.请问:犀牛家原来养了多少只信鸽?4. 花园里开着一些红花和黄花,红花的朵数是黄花的3倍.秋天到了花儿凋谢了,红花和黄花各自减少了60朵,这时剩余的红花朵数是黄花的6倍.请问:还剩下多少朵红花?5. 兄弟两人分压岁钱,一开始哥哥的钱数是弟弟的3倍,后来哥哥给弟弟20元,结果弟弟的钱数是哥哥的2倍.请问:两人一共有多少元压岁钱?第讲年龄问题一、 知识梳理在与年龄有关的应用题中,年龄一般只与年份有关,比如某人在2012年是30岁,那么他在2013年一定是31岁,不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中,给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄活着他们年龄之间的和差倍关系.所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同,年龄问题也可以通过画线段图来分析,但和其他和差倍相比,年龄问题中时常包含一些隐藏条件,需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.二、 典例精析【典例1】 今年小高12岁,他父亲42岁,请问:多少年后,父亲的年龄是小高的2倍?多少年前,父亲的年龄是小高的4倍?【分析】小高和父亲的年龄差是不变的,怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢?【典例2】 今年爸爸的年龄是儿子的4倍,4年以后,爸爸年龄就只有儿子的3倍,请问:今年爸爸、儿子分别各多少岁？【分析】父亲年龄的倍数关系发生了变化,是一个典型的变倍问题,其中的不变量是什么呢?把不变量设为几份呢?【典例3】 小红问师傅多少岁,师傅说:“当我像你这么大时,你刚3岁;当你想我这么大时.我已经39岁了.”请问:师傅和小红现在分别多少岁?【分析】本题中过去、现在、将来的时间都出现了,你能在一个图里把这些时间都表示出来吗?【典例4】 兄弟俩现在年龄之和是32岁,当哥哥像弟弟现在这么大时,哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问:哥哥现在几岁了?【分析】这个题目中只有现在和过去,应该先画哪个时间点呢?和差倍问题,有倍数我们要优先画出倍数关系.【典例5】 一年前,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍;4年后,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁,请问:妈妈今年多少岁?【分析】这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题,我们是不是应该把父母二人分成一组,兄弟二人分成另一组来计算呢?三、 牛刀小试【练习1】 今年小高10岁,他父亲30岁.请问:多少年前,父亲年龄是小高的5倍?多少年前,父亲年龄是小高的6倍?【练习2】 今年,母亲年龄是儿子年龄的3倍,10年后,母亲年龄是儿子年龄的2倍.请问:今年母亲的年龄是几岁?【练习3】 叔叔对小亮说:“当你像我这么大的时候,我已经60岁了;当我像你这么大的时候,你才24岁.”请问:小亮和叔叔今年各多少岁?【练习4】 姐妹两个现在年龄之和是35岁,当姐姐是妹妹现在这么大时,姐姐当时的年龄是妹妹当时年龄的2倍,请问:姐姐现在的年龄是多少?【练习5】 哥哥对弟弟说:“你长到我这么大的时候,我恰好获得博士学位;我在你这么大的时候,你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁,哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍.请问:哥哥获得博士学位时是多少岁?四、 巩固提高1.2010年张伯伯45岁,小聪9岁,那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的3倍?2.今年父亲年龄是儿子年龄的4倍,24年后父亲年龄是儿子年龄的2倍,那么今年父亲几岁?3.李家有老大、老二、老三三兄弟,当老二像老大那么大时,老二的年龄是老三的3倍,老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄和为28岁,那么现在老大几岁?4.哥哥对弟弟说:“当我到爸爸现在的年龄时,爸爸就70岁了.”弟弟对哥哥说:“当我到妈妈现在的年龄时,妈妈也70岁了.”已知爸爸比妈妈大2岁,那么哥哥比弟弟大几岁?5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的10倍,明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟年龄和的2倍?第讲相遇问题一、 知识梳理院子里两棵槐树之间的距离是10米,一只小猫从一棵槐树跑到10米外的另一棵槐树需要5秒,那么小猫每秒跑米.行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系.速度是衡量运动快慢的量,一般我们选用1个单位的时间,如用1小时或1分钟或1秒,用1个单位的时间内经过的路程的多少来表示速度的大小.因此我们有了速度的定义.速度就是单位时间内所经过的路程.1. 速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下：2. 两个运动物体在一条直线上运动,行进的方向可能相同,也可能相反.当它们行进方向相反时,如果它们面对面地接近,我们就称为“相向而行”；如果它们背对背地远离，我们就称为“相背而行”.两人之间的“相遇问题”既可以是“相向而行”，也可以是“相背而行”，其中“相向而行”的相遇问题更为常见些.相遇问题是关心两个人的“速度和”以及“路程和”.根据行程问题基本公式,我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式:在使用上述公式时,一定要注意,两个运动物体必须同时进行.如何整个相遇过程不是同时进行的,这个公式就不能直接应用,需要分段考虑.3.解决行程问题最得力的助手-画线段图.画线段图要注意：A. 专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以把它们的运动路线并排摆放，要注意不同人的运动路线不同.B. 同时性:如果运动时间分为几个阶段,那么应该在运动路线上表示相应的时刻.课前练一练：1、 长跑运动员每秒跑4米，如果按照这个速度跑完10000米，需要秒.2、 一颗子弹射出后2秒钟，恰好击中1800米处的目标，那么，他的速度是每秒米.3、 一名长跑运动员以每秒4米的速度奔跑，那么2分钟内，他跑了米.二、 典例精析【典例1】 甲乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时，如果按照原定的时间到达乙点，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？【分析】需要计算速度，找清楚对应的路程和时间即可.【典例2】 A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，以每分钟走100米，请问：（1） 将从A走到B需要多长时间？（2） 两个人从出发到相遇需要多长时？【分析】从出发到相遇，两人一共走了多远？他俩每分钟一共走多远呢？【典例3】 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地出发相向而行，公交汽车每小时行驶40千米，小轿车每小时行驶60千米，请问:（1）2小时后，两车相距多少千米？（2）出发几小时后两车第一次相距50千米？（3）出发几小时后两车第二次相距50千米？【分析】两车从两地出发相向而行，为什么会有两次相距50千米呢？画出线段图，试着找找相同时间内两辆车的路程和吧！【典例4】 甲、乙两地相距，350千米，一辆汽车早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地，两小时后，另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地，请问：什么时候两车在途中相遇？【分析】两辆车不同时出发，是不能直接用公式计算时间的.还是画出线段图，寻找相同时间内的路程和进行分析计算吧！【典例5】（1）小高跑400米用50秒，旗鱼每小时能游120千米，请问：谁的速度更快？（2）一般情况下，成年人跑100米要用14秒，河马奔跑的速度是40千米/小时，河马跑得比人快吗？三、 牛刀小试【练习1】 兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米.兔子计划5分钟跑完全，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的要少200米，那么兔子实际跑完全程用了多长时间？【练习2】 阿呆和阿瓜从相距5000千米的A、B两地同时出发，相向而行.如果阿呆每分钟走150米，阿瓜每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？【练习3】 A、B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问：（1）出发几小时后，甲、乙两车第一次相距，100千米？（2）再过多长时间两车第二次相距100千米？【练习4】 小王和小许从相距5000米的各自的家里出发相向而行，小王每分钟走200米，小许每分钟走300米，小王出发后10分钟后小许才从家出发.那么小王走了多长时间两人才相遇？四、 巩固提高1、 一名长跑运动员以每秒4米的速度奔跑，那么5分钟后他跑了多少米？2、 甲、乙两车从相距700千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶60千米，那么出发几小时后两车相遇？3、 甲、乙两车从两地同，是出发相向而行，甲车每小时行驶60千米，一车每小时行驶75千米，出发两小时后两车相遇.请问两地相距多少千米？4、 一只大老鼠和一只小老鼠分别从一根长1000厘米的直线面条的两端开始吃，大老鼠每秒吃3厘米，小老鼠，每秒吃1厘米.请问多长时间后，大老鼠和小老鼠第一次相距40厘米？5、 甲、乙两城相距580千米，从甲城开往乙城的客车每小时行驶60千米，客车出发1小时后，货车从乙城开往甲城，每小时行驶70千米，请问，货车开出多少小时后两车相遇？第讲追及问题一、 知识梳理上一讲我们学习了基本行程问题中的相遇问题，这一讲我们来学习行程问题中的另一类重要问题追及问题.基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题，主要分为两种情况：一种是后面的人速度快，经过一段时间追上了另一个人；还有一种是前面的人速度快，两人的距离越来越远.相遇问题考虑的是“路程和”与“速度和”，而追及问题中两人是同向而行，因此我们考虑的是两个人的“路程差”以及“速度差”，仿照行程问题公式我们同样可以得到追及问题的三个基本公式：路程差=速度差追及时间追及时间=路程差速度差速度差=路程差追及时间二、 典例精析【典例1】 A、B两地相距260米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发同向而行，（乙在前，甲在后）甲每秒走5米，乙每秒走3米那么甲出发多长时间后可以追上乙？【分析】从出发到追上，甲一共比乙多走了多少？甲每分钟比乙多走多少呢？【典例2】 墨莫步行上学，每分钟行75米，墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米，求爸爸追上墨莫所需要的时间？【分析】画出线段图，注意两人不是同时出发的哦！试着找找两人相同时间内的路程差吧！【典例3】 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发同向而行，公共汽车在前面，每小时行驶40千米，小轿车在后面，每小时行驶60千米，请问：（1） 经过2小时后，两车相距多少千米？（2）出发几小时后小轿车会领先公共汽车100千米？【典例4】 一辆汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的，速度向B城市驶去，3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城，当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米，请问：小轿车什么时候到达B城？【典例5】 甲、乙两车同时从东西两地出发，相向而行，甲车每小时行驶36千米，乙车每小时行驶30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东西两地间的距离？【分析】两车相遇，两地距离是两车的路程和，我们容易算出两车速度和，但不知道两者的相遇时间，能通过“在距离中点9千米处相遇”，这个条件算出相遇时间吗？大家试着画出线段图进行分析三、 牛刀小试【练习1】 龟、兔赛跑，龟比兔先出发100分钟，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，请问，兔4出发后多久追上乌龟？【练习2】 京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发同向而行，客车在前，货车在后，已知客车每小时行驶100千米，货车每小时行驶120千米，那么出发后多长时间货车追上客车，【练习3】 阿呆和阿瓜沿着同一条路线跑步上学，阿呆每秒跑3米，阿瓜每秒跑7米，现在，阿瓜落后阿呆50米，那么过多长时间阿瓜会领先阿呆50米？【练习4】 高速公路上自西向东分布着A、B、C、D四个加油站，其中A、B之间的距离是20千米，C、D之间的距离是40千米，上午6：00快、慢两车分别从A、B两地出发向东前进，快车的速度是每小时80千米，慢车的速度是每小时60千米，当快车到达D加油站的时候，慢车正好到达C，那么快车从A到D一共行驶了几个小时？四、 巩固提高1、 甲、乙两镇相距100千米，上午7点，一辆汽车和一辆马车分别从甲、乙两镇同时出发同向而行，马车在前，汽车在后，汽车的速度是每小时行50千米，马车的速度是每小时行30千米，那么经过多长时间汽车会追上马车？2、 甲、乙两车分别从相距60千米的A、B两地同时出发同向而行，乙车在前，甲车在后，20小时后甲车追上了乙车，已知乙车每小时行50千米，那么甲车每小时行多少千米？3、 甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米，那么乙出发多长时间后追上了甲？4、 甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发同向而行，乙车在前，甲车在后，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶30千米，那么出发多长时间后，甲车会领先乙车300千米？5、 甲、乙两车分别从东、西两地同时出发相向而行，已知甲车较快，每小时行驶45千米，乙车每小时行驶37千米，那么出发后经过多长时间，两车会在距离东、西两地中间点12千米处相遇？第讲火车行程问题一、 知识梳理我们之前已经学习了基本行程问题，明确了速度、时间和路程这三个量之间的关系.路程=速度时间速度=路程时间时间=路程速度另外，我们还学习了两个对象之间的形成关系：相遇和追及相遇问题中有：路程和=速度和相遇时间速度和=路程和相遇时间相遇时间=路程和速度和追及问题中有：路程差=速度差追及时间追及时间=路程差速度差速度差=路程差追及时间本讲，我们将在之前的内容的基础上，学习一类新的、比较特殊的行程问题与运动对象本身长度有关系的行程问题我们称之为“火车行程”.比如，北京到广州的铁路全长2300千米，如果一列火车从北京出发，以每秒100千米的速度开往广州，我们很容易算出火车需要行驶23小时，在这个问题中火车的长度与北京到广州的距离相比微乎其微，我们可以忽略不计火车的长度.但是当行人在铁路旁行走，火车从行人身边开过时，火车头与行人相遇到车尾离开行人，是需要一段时间的，这时火车的长度就不能忽略不计了，我们需要把火车看成考虑自身长度的运动物体.火车行程问题和一般的行程问题最大的区别在于，火车是有长度的，因此计算火车行驶的距离，我们盯住火车上的一个点，比如车头，或者车尾，车头行了多远，火车就行了多远；车尾行了多远，火车也就行了多远.分析火车形成过程，首先要画出始末两个状态，找到最后对齐的部位及其初始位置，将火车行程过程转化为两个部分之间的相遇或追及过程.火车的行程问题大起上可分为三类：火车过桥/山洞/隧道等问题；火车与行人相遇和追及问题；火车与货车相遇和追及问题.我们先来看看火车经过桥/山洞/隧道的过程.这类问题一般会考虑两种情况“火车通过桥/山洞/隧道”与“火车完全在桥上/山洞/隧道中”. “火车通过桥”即指“火车从车头上桥到车尾离桥”的过程.如图所示：首先，找到最后对齐的部位车尾与车头（红旗），再找出它们最初的位置，整个过程便可以转化为车尾从初始位置已知行驶到桥头红旗出的过程，很明显，路程即为“火车车长与桥长之和”由此我们可以总结出以下规律：火车在通过桥/山洞/隧道时行驶的总路程是火车车长与桥/山洞/隧道的长度之和.二、 典例精析【典例1】 （1）一列火车车长180米，每秒行20米，请问这列火车通过320米的大桥需要多长时间？（2）一列火车以每分钟，1000米的速度通过一条长2800米的隧道，用了180秒，请问这列火车长多少米？【分析】火车通过桥即从车头上桥到车尾下桥的过程，火车的路程是什么呢？【典例2】 （1）一列火车车长180米，每秒行20米，请问这列火车通过320米的大桥需要多长时间？（2）一列火车以每分钟，1000米的速度通过一条长2800米的隧道，用了180秒，请问这列火车长多少米？【分析】火车通过桥即从车头上桥到车尾下桥的过程，火车的路程是什么呢？【典例3】 （1）一行人沿着铁路散步，每秒走1米，迎面过来一列长300米的火车.已知火车每秒钟行驶14米，那么火车头与行人相遇到火车尾离开行人共用了多长时间？（2）一行人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的火车从他身后开来，火车的速度是每秒17米，那么客车从他身边经过用了多少秒？【分析】题（1）是火车与行人相遇问题，在相遇过程中，路程和是什么呢？题（2）是火车与行人的追及过程，路程差又是什么呢?【典例4】 （1）一列火车车长180米，每秒行20米，另一列火车车长200米，每秒行18米，两车相向而行，请问他们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？（2）甲火车车长370米，每秒行15米，乙火车车长350米，每秒行21米，两车同向而行，请问：乙车中追上甲车到完全超过共需多长时间？【分析】题（1）是两列火车的相遇问题，在相遇过程中，路程和是什么呢？题（2）是两列火车的追及问题，路程差又是什么呢？【典例5】 与铁路平行的一条小路上，有一行人与一个骑车的人，同时向南行进，行人速度为每秒1米，骑车人的速度为每秒3米，这时有一列长360米的火车，从他们背后开过来，火车从行人身旁经过用了18秒，请问：这列火车从骑车人身边经过用了多长时间？【分析】问题的实质是两个追及问题，火车与行人的追及问题，以及火车与骑车人的追及问题，在追及过程中火车、行人、骑车人经过的路程有什么关系，路程差分别是什么？三、 牛刀小试【练习1】 一列火车长700米，以每分钟500米的速度通过一座长1300米的大桥，请问：从车头上桥到车尾离桥要多少分钟？【练习2】 一列货车以每秒20米的速度通过一条长2800千米的隧道，完全在隧道中的时间是100秒，请问：这列货车有多长？【练习3】 （1）一人每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车从对面开来，从他身边通过用了8秒，请问客车的速度是每秒多少米？（2）东东在铁路旁边沿着铁路方向散步，他散步的速度是2米每秒，背后开来一列火车，从车头追上他到车尾离开他，一共用了18秒，已知火车速度17米每秒，请问：火车车长是多少米？【练习4】 （1）已知快车长582米，每秒行24米，慢车长1018米，两车相向而行，他们从车头相遇到车尾相离共用40秒，请问：慢车速度是多少？（2）已知快车长182米，每秒行20米，慢车长1340，每秒行18米，两车同向而行.请问：快车追上到完全超越慢车的时间是多少秒？四、 巩固提高1. 一列火车车长180米，每秒行25米，请问：这列火车完全通过320米的大桥需要多少秒？2. 一列火车长240米，每秒行30米，如果这列火车车尾在720米的大桥的一端，那么行驶多少秒后，火车的车头到达大桥的另一端？3. 诗诗在铁路旁的公路上散步，他散步的速度是每秒2米，这时迎面开来一列火车，经过他身旁用了18秒，已知火车全长360米，请问：火车每秒行多少米？4. 高高在铁路旁的公路上，以每秒2米的速度步行，一列长180米的火车从他后面驶来，从他身边通过用了10秒，请问火车每秒行多少米？5. 有两列火车，一列火车长360米，每秒行18米，另一列火车长216米，每秒行30米，两车同向而行，请问：快车超赶慢车（从追上到完全超过）需要多少秒？第讲逻辑推理五、 知识梳理逻辑学是一门思维科学，研究对象时人们的思维形式及其规律.逻辑学主要包括形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑，我们学习的逻辑推理主要是形式逻辑中的推理部分.有一位家喻户晓的任务就是演绎推理方面的大师江户川柯南！首先，我们看一下最简单的真假话问题.一句话不是真话，就是假话.这在逻辑学中被称为排中律，判断真伪是逻辑推理中最基本的问题之一.我们在进行逻辑推理时，往往还需要应用假设法分析问题，要考虑全面.既要考虑到所假设的条件成立的情况，还要考虑到条件不成立的情况.六、 典例精析【典例6】 甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一个人是赌棍.牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话.甲说：我是牧师.乙说：我是骗子.丙说：我是赌棍.请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？【分析】这三句话那句话是真的？那句话是假的？【典例7】 有甲、乙、丙三名学生一起到动物园看见一只动物.甲判断：不是鸡，不是鸭.乙判断：不是鸡，而是鹅.丙判断：不是鹅，而是鸡.经饲养员的证实，有一个人判断完全正确，一个人只说对了一半，一个人则完全说错.那么这只动物是什么呢？【典例8】 某校数学竞赛，A、B、C、D、E、F、G、H这八位同学获得前八名.老师让他们猜一下谁是第一名.A说：F或H是第一名.B说：我不是第一名.C说：G是第一名.D说：B不是第一名.E说：A说的不对.F说：我不是第一名，H也不是第一名.G说：C不是第一名.H说：我同意A的意见.老师指出：八人中有三人猜对了.问：第一名是谁？【分析】这八位同学中一定有一人是第一名，对第一名逐个实验，似乎可以解决问题.有没有更简单的方法呢？这八个人说的话中有没有哪些人意见相同？有没有哪些人意见相反？【典例9】 徐、王、陈、赵四位师傅分别是木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷.已知：木工只和车工下棋，而且总是输给车工； 王、陈两位师傅和木工经常一起看球； 陈师傅与电工下棋互有胜负； 徐师傅比赵师傅棋艺高很多.请问：徐、王、陈、赵四位师傅各是什么工种？【分析】这是一个多对多的逻辑推理问题，我们可以用列表分析的方法来解决.比如根据条件，王师傅和陈师傅都不是木工，我们可以在相应的格子中打“”.【典例10】 甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计.甲说：A先生有500本书.乙说：A先生至少有1000本书.丙说：A先生的书不到2000本.丁说：A先生最少有1本书.实际上这四个人的估计中只有一句话是对的.请问：A先生究竟有多少本书？【典例11】 有三户人家，父亲分别姓王、张、陈，母亲分别姓刘、李、胡，每家有一个人孩子，分别叫明明（女）、宁宁（女）、松松（男）.已知：王家和李家的孩子都参加了女子体操队；张家的女儿不叫宁宁；陈和胡不是一家人.请问：哪些人是一家？七、 牛刀小试【练习5】 甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍.牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话.甲说：我不是牧师.乙说：我不是骗子.丙说：我不是赌棍.请问：甲、乙、丙三人中谁是赌棍？【练习6】 某地质学院的三名学生对一种矿石进行分析.甲判断：不是铁，不是铜.乙判断：不是铁，不是锡.丙判断：不是锡，不是铁.经化验证明，有一个人判断完全正确，一个人直说对了一半，一个人则完全说错.那么谁说对了一半？【练习7】 小刚、小李、小杨、小王四个人中有一位打破了玻璃.老师问：这时谁干的？小王说：不是我干的.小刚也说：不是我干的.小李说：小王干的.小杨说：是小李干的.已知他们四个人中有且仅有一个人没有说真话，那么是谁打碎的玻璃？【练习8】 甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，并决出了一、二、三、四名.已知：甲比乙的名次靠前；丙、丁喜欢一起踢足球；乙、丁每天一起骑自行车上班；第二名不会骑自行车，也不爱踢足球；第一、三名在这次比赛之前并不认识.请你按照名次给出他们的排名.八、 巩固提高1. 小黄遇到了疯子、傻子、骗子三人.傻子只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话.第一个人说：我和第二个人是兄弟.第二个人说：我是骗子.第三个人说：傻子和疯子是兄弟.那么究竟哪个人是骗子？2. 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码.赵说：甲是2号，乙是3号.钱说：丙是4号，乙是2号.孙说：丁是2号，丙是3号.李说：丁是1号，乙是3号.又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半.请问：丙的号码是几号？3. 观众给赛马比赛的前四名A、B、C、D四匹马排名次，甲说：第一名不是A就是C；乙说：B跑得比D快；丙说：如果A得第一，C就得第二；丁说：B、D都不会得第三；结果四个人谁没得错.那么四匹马的名次是什么？4. 甲、乙、丙三位老师教五年级三班的语文、数学和外语.已知甲老师上课全用汉语，外语老师是一个学生的哥哥，丙是一位女老师，她比数学老师活泼.那么乙老师教什么课？5. 甲、乙、丙三人分别是一班、二班和三班的学生，在校运动会上他们分别获得跳高、百米和铅球冠军.已知： 甲不是百米冠军； 一班的不是铅球冠军； 二班的是百米冠军； 乙既不是二班的也不是跳高的冠军；请问：他们三人分别是哪个班的？分别获得哪项冠军？第讲最值问题九、 知识梳理最值问题即求最大值、最小值问题.这类问题中，有时满足题目的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有的可能情况一一列出，再比较大小，直接枚举的优点是不用过多考虑的，大家都比较容易.但是，我们可以思考一下，最大值和最小值有没有什么特殊的规律.十、 典例精析【典例12】 （1）在五位数12345的某一位数后面插入一个同样的数字，可以得到一个六位数（例如：在2后面可以插入2可以得到122345）.请问：能得到的最大六位数是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字.请问：能得到的最小八位数是多少？【分析】一共有多少中不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？【典例13】 有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都要进行一场比赛，同组人不比赛.那么最多有多少场比赛？【分析】把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？通过以上例题，最终我们得出：两个数的和相等，当他们越接近时（也就是它们的差越小时），两数乘积越大，也可以简单记成：“和同近积大”.“和同近积大”的应用很广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”.【典例14】 莫爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米.那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）【分析】长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？【典例15】 请将1、2、3、4、5、6这六个数分别填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大.【分析】要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？【典例16】 如图，莫爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠近墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米.那么怎样围成所得的养鸡场面积最大？【分析】长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？想一想：要用篱笆围成一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角中、钝角三角形中哪一种面积会最大？注意：在很多问题中，我们需要先进行整体思考，再对局部进行一些调整，千万不能“丢了西瓜捡了芝麻.【典例17】 各位数字互不相同的多位数中，请问：（1）数字之和为23的最小数是多少？（2）数字之和为32的最大数是多少？【分析】两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数.如果位数相同，还要从高位到地位依次比较.十一、 牛刀小试【练习9】 有五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？【练习10】 有7个同学要进行乒乓球单打比赛，他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都要进行一场比赛，同组的人不比赛，那么最多有多少场比赛？【练习11】 莫爷爷要用30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？【练习12】 请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大.十二、 巩固提高1. 在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），那么能得到的最小七位数是多少？2. 两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？3. 用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，那么这个长方形的面积最大是多少平方厘米？4. 请将3、4、5、6、7、8这个六个数分别填入算式的方格中，使这个乘法算式的结果最大.5. 各位数字互不相同的多位数中，请问：（1） 数字之和为32的最小数是多少？（2） 数字之和为32的最大数是多少？第讲统筹规划十三、 知识梳理统筹方法，是一种研究如何安排工作进程的方法.举个简单的例子，有些工作是可以两件事情或多件事情同时做的.比如：烧水时可以洗茶壶、茶杯.有些工作务必有先后次序要求，比如在洗水壶要安排在烧水之前.所以，要根据实际情况，合理的安排工作顺序，使得总时间或总花费最少，正是统筹法研究的问题.十四、 典例精析【典例18】 萱萱中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟.请问：萱萱烧好这道菜最短要多少分钟？【分析】有哪些工序是能同时做的？哪些工序是必须考虑先后顺序的？【典例19】 小杂店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五位顾客.A买糖果需要2分钟，B买大米需要6分钟，C买香烟和啤酒需要4分钟，D买水果需要3分钟，E买蔬菜需要5分钟.请问：售货员应该如何安排这五位客人的顺序，使得这五位客人排队等候的所用时间的总和最少？最少是多少？（只计算每位顾客排队的时间，不计算买东西的时间）【典例20】 如图是一张道路图，每段路旁标注的数字表示小山羊走完这段路所需的分钟数，请问：小山羊从A出发走到B最快需要多少分钟？【典例21】 如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、600人.任意相邻的两所学校之间的距离都是100米.现在要在某所学校门口修建一个公共汽车站，使得所有人到达车站的距离之和最小.那么车站应该建在什么地方？这时距离之和是多少？【典例22】 北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如下图，那么总运费最少是多少元？【典例23】 西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售.已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元.要给47位同学每人发1个面包最少要话多少元？十五、 牛刀小试【练习13】 妈妈让冬冬个客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟.冬冬估算了一下，完成这些工作要20分钟.为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？【练习14】 理发店里只有一位理发师，但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发.由于顾客要求的发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、20、16、12、25分钟，怎样安排这五位顾客理发的顺序，才能使这五位顾客排队等候所用时间的总和最少？最少是多少？【练习15】 如图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需的分钟数.请问：邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多少时间？【练习16】 如图，有八个村庄1、2、3、4、5、6、7、8分布在公路两侧，由一些小路与公路相连.现在要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小.那么车站应设在哪里？十六、 巩固提高1. 早晨，妈妈起来准备早饭，她烧开水需要8分钟，灌开水需要1分钟，擦桌子需要5分钟，下楼拿牛奶需要6分钟，煮牛奶需要6分钟，如果灶头上只有一个灶头，请问：妈妈准备早饭最少需要几分钟？2. 四个人各拿一个大小不同的水壶在饮水机前接水，他们接水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟和5分钟.由于饮水机只有一个出口，请你适当安排这四个人接水的顺序，使所有人排队和接水所用的时间的总和最少.请问：这个总时间最少是多少？3. 一条直街上