大学物理Ⅱ典型题.ppt

（一）电磁学 共 21 题 （二）相对论 共 3 题 （三）量子力学 共 6 题 共 21 题 1.均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为 R的细圆 环均匀带电，总电量为 q， P是轴线上一点，离圆心 O 的距离为 x, 求 P点的场强。 dq r O x R x P Ed /dE E d 解： (3) (4) 积分求解 : 由于对称性 (1) 2 04 dd r qE (2) 将 分解为 Ed c o sdd / EE s i ndd EE 0d EE c o s4 dd 2 0 / r qEEE 在圆环上任意取一线 元 dl， 其带电量为 dq c o s4 dd 2 0 / r qEEE 在积分过程中， r和 保持 不变，可以提到积分号外，即 cos 2 0 2 0 4 c o sd 4 c o s r qq r E 22,co s xRr r x 2/322 0 )(4 xR qxE dq r O x R x P Ed /dE E d 2/322 0 )(4 xR qxE 讨论 (1) 环心处， x=0， E=0； 即远离环心处的电场相当于一个点电荷 产生的电场。 (3) 当 xR时， 2 04 x qE 思考 如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于 原来的一半？ (2) 当 q0时， 沿轴线指向远离轴线的方向， 当 q R)，取同样高斯面， 00 002d lqrlESE S 内 Rrr r Rr R r E , 2 , 2 0 2 0 所以得电场分 布的矢量表达 l rO a b R1 R2 rb ra 3.均匀带电球层，内半径为 R1，外半径为 R2， 体电荷密度为 。求图中 a点和 b点电势。 解： 取薄球壳，半径为 r，厚为 dr，可视为均匀带电球面， 其带电量为 rrq d4d 2 r dr 对 a点，此带电球面产生的电势为 rrr rrrq d4 d44 dd 00 2 0 )( 2 dd 2122 00 2 1 RRrr R Ra 对 b点，当球壳半径 r rb时，其产生的电势为 rrr rrrq d4 d44 dd 00 2 0 )(2dd 222 00 2 2 b R rb rRrr b )23(6 3 122 2 0 21 b bbbb r RrR rO a b R1 R2 rb ra r dr 4.有一块大金属平板，面积为 S，带有总电量 Q，今在 其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带 电。 (1)求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空 间的电场分布。 (2)如果把第二块金属板接地，最后情 况又如何？（忽略金属板的边缘效应。） 1 2 3 4 解： （ 1）由于静电平衡时导 体内部无净电荷，所以电 荷只能分布在两金属板的 表面上。设四个表面上的 面电荷密度分别为 1、 2、 3和 4。 Q S 由电荷守恒定律可知： 闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板 内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。 选一个两底分别在两个金属 板内而侧面垂直于板面的封 金属板内任一点 P的场强是 4个带电平面的电场的叠 加，并且为零，所以 1 2 3 4 Q S P S Q 21 043 (1) (2) 032 (3) 02222 0 4 0 3 0 2 0 1 (4) 即： 04321 联立求解可得： S Q S Q S Q S Q 22 22 43 21 , , 电场的分布为： 在 区， 在 区， 在 区， 方向向左 方向向右 方向向右 S Q 02 E E S Q 02 E S Q 02 I III E E E 1 2 3 4 Q S S Q S QEE 2222 0021 1 2 3 4 0 E由 有 （ 2）如果把第二块金属板接地， 其右表面上的电荷就会分散到地 球表面上，所以 04 第一块金属板上的电荷守恒仍给出 S Q 21 由高斯定律仍可得 032 金属板内 P点 的场强为零，所以 0321 联立求解可得： 0,0 4321 SQSQ E I III 1 2 3 4 S P 电场的分布为： E =0， E SQ 0 方向向右 EIII=0 O 直线 + d 导 体 板 5.如图，求 O 点处感应电荷密度 。 x O 解： 取导体板内很邻近 O点的 O点，直线在 O点产生的电场 dx xE d 0 2 0 1 44 d 感应电荷在 O 点产生的电场 0 2 2 E 由总电场 021O EEE d 2 得 rL QE r 02 解： 两极面间的电场 在电场中取体积元 rrLV d)2(d 则在 dV 中的电场能量为： VEW r d2d 20 6.一圆柱形电容器 ， 两个极面的半径分别为 R1和 R2， 两极面间充满相对介电常数为 r的电介质 。 求此电容 器带有电量 Q时所储存的电能 。 L +Q Q r R1 R2 21 d221d 0 2 R Rr r r L QWW 1 2 0 2 ln221 RRLQ r C Q 2 2 1 )/l n ( 12 0 RR LC r S 解 : 根据电荷分布对壁的平分面的 面对称性 ， 可知电场分布也具有这 种对称性 。 由此可选平分面与壁的 平分面重合的立方盒子为高斯面 ， 如图所示 ， 高斯定理给出： 0i n t /2 qSE 2/Dd 7.一无限大均匀带电厚壁 ， 壁厚为 D， 体电荷密度为 ， 求其电场分布 ， 并画出 E-d 曲线 ， d为垂直于壁面的 坐标 ， 原点在厚壁的中心 。 D 2/Dd ,2i n t dSq 0 dE ,i n t DSq 02 DE d E-d 曲线如图 E d O 02 D 02 D 2/D 2/D 8.两个同心金属球壳，内球壳半径为 R1，外球壳半径为 R2，中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个 球形电容器。 (1) 求该电容器的电容； (2)设内外球壳上 分别带有电荷 +Q和 -Q，求电容器储存的能量。 解 : (1) 已知内球壳上带正电荷 Q， 则 两球壳中间的场强大小为 )4/( 20 rQE r 两球壳间电势差 : 2 1 d12 R R rEU )11(4 210 RR Q r )4/()( 21012 RRRRQ r 电容 : )/(4/ 1221012 RRRRUQC r (2) 电场能量 ： 210 12 22 8 )( 2 RR RRQ C QW r O R1 R2 r 解 :(1)q1和 q2分别为内外球所带电量 ,由电势叠加原理： 60 4 1 2 2 1 1 0 1 R q R q 联立可得 可得 C107.6 101 q (2) 由 ： c m 1020103.1 107.6 9 10 2 2 1 Rqqr 9.两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R1=5.0cm， R2=20.0cm，已知内球面的电势为 , 外球面的电 势为 。 (1) 求内外球面所带电量； (2)两个球 面之间何处电势为零。 V601 V302 30 4 1 2 21 0 2 R qq C103.1 92 q 04 1 2 21 0 R q r q O R1 R2 10. 将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入 均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两 侧的磁感应强度分别为 B1 和 B2，如图所示，求该 载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。 解 :载流平面自身在其两侧产生 的磁场为 1B 2B 0 12 2 jBB 方向相反。 均匀外磁场 B0 在平面两侧方向 相同。 由图， 12BB 0 1 1 0 2 2 B B B B B B 载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右 侧方向相同。 1 2 2 1 0 0 ,2B B B BBj j 载流平面单位面积所受的磁场力 22 21 0 02 BBF jB 考虑长 dl，宽 dl 的电流元， 其在外磁场中受的磁场力 1B 2B j ljI dd 00 ddddd BlljBlIF 0B jdl dl 方向： 由上图中，磁力的方向向左 11. 半径为 R的圆片上均匀带电，面密度为 ，该圆 片以匀角速度 绕它的轴线旋转，求圆片中心 O 处的 磁感应强度的大小。 O 解 :取 r处 dr 宽度的圆环 ,其以 作圆周 运动 ,相当于一圆电流 dI, dI 的大小为 此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为 整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为 rrrrI d/2 d2d 2 d 2 dd 00 r r IB 2 0 0 0 RrB R 2 d 12.在均匀磁场中放置一半径为 R的半圆形导线 , 电流 强度为 I,导线两端连线与磁感应强度方向夹角 =30, 求此段圆弧电流受的磁力。 B I lI d a b 解： 在电流上任取电流元 lI d ba BlIF d ba BlI )d( BI a b si nBabIF 30si n2 BRI IBR 方向 13. 如图所示 ,在均匀磁场中 ,半径为 R的薄圆盘以角速度 绕中心轴转动 ,圆盘电荷面密度为 。求它的磁矩、所 受的磁力矩以及磁矩的势能。 解 :取半径为 r的环状面元 ,圆盘转动时 , 它相当于一个载流圆环 ,其电流： rrrrI dd22d 磁矩： rrIrp ddd 32m R r dr S B 受的力矩： 圆盘磁矩： 4dd 4 0 3 mm Rrrpp R 4s i n 4 mm BRBpBpM 方向向上 mp B M 磁矩的势能为 0mm BpW 14.一半径为 R的无限长半圆柱面导体 ， 其上电流与其 轴线上一无限长直导线的电流等值反向 。 电流 I在半圆 柱面上均匀分布 。 (1)求轴线上导线单位长度所受的力； (2)若将另一无限长直导线 (通有大小 、 方向与半圆柱 面相同的电流 I)代替圆柱面 ， 产生同样的作用力 ， 该 导线应放在何处 ？ 解 :(1)在半圆柱面上沿母线取 宽为 dl的窄条 ， 其电流 I I R ddd IlRII 它在轴线上一点产生的磁感 应强度 : R I R IB 2 00 2 d 2 dd 方向如图 dI dl d x y Bd 0yB s i ndd BBBB xx R IBIF 2 2 0 由电流分布的对称性可知： 0 2020 ds i n2 RIR I方向沿 x轴 方向沿 y轴，是斥力 dI dl d x y Bd (2)另一无限长直导线应平行放置于 y轴负半轴上以 d表示两直导线间的距离，则 d I R I 2 2 0 2 2 0 2/Rd 轴线上导线单位长度受力为 15.长直导线中通有电流 I， 另一宽 a、 长 b共 N匝的矩 形线圈 ， 以速度 v向右平动 。 设 t=0时 ， 线圈左边与长 直导线重合 。 求： t 时刻线圈中的感应电动势 。 x IB 2 0 长直导线产生的磁感强度为 a v I b 解： x I N b vbvNB 2 0 11 方向如图 )(2 0 2 ax N I bv 1 方向如图 2 axx N I b v i 11 2 0 21 方向顺时针 x 0 其中 x=vt 16.在半径为 R的圆柱形体积内 ， 充满磁感强度为 B的 均匀磁场 ， 有一长为 L的金属棒放在磁场中 ,设磁场 在增强 ， 并且 dB/dt已知 ， 求金属棒中的感生电动势 ， 并指出哪端电势高 。 t B LR L S t B SB tt i d d 4/ 2 d d )( d d d d 22 解 :由法拉第定律计算 , 设想一回路 , 如 OABO, 则该回 路的感应电动势大小为 L A B O B均匀 因 dB/dt 0,则回路中电动势方向为逆时针 , B端高 。 由于 OA和 OB两段沿径向 ,涡旋电场垂直于段元 ,这两 段不产生电动势 。 该电动势就是金属棒上的电动势 。 x 17.导体 CD 以恒定速率在一个三角形的导体框架 MON上运动 ,它的速度的方向垂直于 CD 向右 ,磁场 的方向如图 , B = Kxcost, 求 CD运动到 x 处时 ,框架 COD 内感应电动势的大小、方向。 (设 t =0, x =0) 解一： 选定回路正向，顺时针方向 h dx SB dd m xhtxK dcos xxtxK dtgc o s xtxK dc o stg2 xtxK x 0 2 m dc ostg tKx c o stg3 1 3 t i d d m tvKxtxK c o stgs i ntg 3 1 23 x v C D M O N B xBhSB dd v C D x M O N B h dx x 解二 : 感动 i D C lBv d)(动 D C lvB d tgv B x tvKx c o s2 tg t d d m 感 )c o stg31(dd 3 tKxt txK s i n31 3 tg tvKxtxKi c o ss i n31 23 tgtg 18.矩形螺绕环共有 N 匝 , 尺寸如图。求 :L =? D2 D1 h I L0 解： 设电流为 I， 取回路 L0 NIrB L 0 0 d r NIB 2 0 SBNN d 2 2 0 1 2 d 2 D D rh r NI N 2 1 2 0 ln 2 D DIhN IL 2 1 2 0 ln 2 D DhN 若矩形螺绕环中充满磁导率为 的介质 , L =? dS h r 19.一边长为 l 和 b 的矩形线框。在其平面内有一根平 行于 AD 边的长直导线 OO， 导线半径为 a 。 求 :该系统的互感系数。 O O l32 b l . . . . . I 1 2 r IB 2 0 解： 21 21 dd ss SBSB dS rb r I rb r I l a l a d 2 d 2 3 1 0 3 2 0 )3 1 ln3 2 ( l n 2 0 a l a lIb 2ln20 Ib IM 2ln 2 0 b A B C D 20.传输线由两个同轴圆筒组成 , 内、外半径分别为 R1,R2 其间介质的磁导率为 ,电流由内筒一端流入 ,由 外筒的另一端流回，当电流强度为 I 时 , 求 : l 长度传 输线内储存的磁能。 I 解： IrH a d r IH 2 r IB 2 BHw 21m rIrI 2221 22 2 8 r I V VwW dmm 2 1 d2 8 22 2R R rrl r I 1 2 2 ln4 RRlI a 2 m 2 1 LIW 1 2ln 2 R RlL 单位长度 L* 1 2* ln 2 R RL l a b tI v t i d d m：解 求 : 任意时刻 t 在矩形线框内的感应电动势 i 并讨论 i 的方向 . 21. 如图 ,真空中一长直导线通有电流 teItI 0有一带滑动边的矩形导线框与其平行共面 , 二者相 距 a, 滑动边长为 b,以匀速 滑动 。 若忽略线框中的 自感电动势 , 并设开始时滑动边与对边重合 。 v tI v a o x y a+b dS 建立坐标 xoy 取 dS,其内的磁通量 为 SBSB ddd m L 顺时针 L y IB 2 0 yxS dd 在 t时刻 ,矩形线框内的磁通量 : t m SS SBt dd mm a baxIyx y Iba a ln 2 d 2 00 t xIx t I a ba t i d d d dln 2d d 0m vteIa ba t 1ln 2 0 0 teItI 0 其中 x = vt a bateIv ti ln12 00 tI v a o x y a+b tI v a o x y a+b i i i 的方向 当 t1时 , i为逆时针方向 当 t1时 , i为顺时针方向 共 3 题 1.一发射台向东西两侧距离均为 L0 的两个接收站 E与 W发射讯号 , 如 图 , 今有一飞机以匀速度 v 沿发射 台与两接收站的连线由西向东 , 求 :在飞机上测得两接收站收到发 射台同一讯号的时间间隔是多少 ? W E 0L 0L解 : 设东西接收到讯号为两个事件 ,时空坐标为 地面为 S系 (xE , tE),(xW , tW) 飞机为 S系 (xE, tE),(xW, tW) 000 cLcLttt WE 22 2 1 cv xx c v t ttt WE WE / )( 负号表示东先接收到讯号。 222 0 1 2 cvc vL / 由洛仑兹时空变换得 2. 两只宇宙飞船 , 彼此以 0.98c的相对速率相对飞过对 方 ;宇宙飞船 1中的观察者测得另一只宇宙飞船 2的长 度为自己宇宙飞船长度的 2/5。求 : (1)宇宙飞船 2与 1 中的静止长度之比 ? (2)飞船 2中的观察者测得飞船 1 的长度与自己飞船长度之比 ? 解 : (1) 设飞船 1为 S,飞船 2为 S,静长分别为 L10,L20 飞船 1测飞船 2的长度为 L2 ,飞船 2测飞船 1的长度为 L1 由题意 : 5/2/ 102 LL 由长度收缩 : 2 202 )/(1 cuLL 2)/(152 12 10 20 cu L L (2) 1.0)/98.0(1 2 1 2 )/(1 2 10 2 10 20 1 cc L cuL L L 3. 已知二质点 A, B静止质量均为 m0,若质点 A静止质点 B以 6m0c2的动能向 A运动 , 碰撞后合成一粒子 , 无能量 释放。求 : 合成粒子的静止质量 M0? 解 : 二粒子的能量分别为 202020B20A 76 cmcmcmEcmE ， 由能量守恒 , 合成后粒子的总能量为 20BA 8 cmEEE 由质能关系 : E=Mc2 08 mM 由质速关系 : 22 0220 /18/1 cvmcvMM 关键求复合粒子的速度 v = ? 由动量守恒 : BBA pppp M pvMvp B B ， 对 B应用能量与动量关系 , 即 42 0 22 B 2 B cmcpE 22 0 2 B 48 cmp 2 2 0 22 0 2 2 B2 4 3 64 48 c m cm M pv 02200 4/18 mcvmM 共 6 题 1. 在光电效应实验中，测得某金属的截止电压 Uc和入 射光频率的对应数据如下： 6.501 6.303 6.098 5.888 5.664 0.878 0.800 0.714 0.637 0.541 VcU Hz1410 试用作图法求： (1)该金属 光 电效应的红限频率； (2)普朗克常量。 图 Uc和 的关系曲线 4.0 5.0 6.0 0.0 0.5 1.0 U c V 1014Hz 解： 以频率 为横轴 ,以截止电 压 Uc为纵轴，画出曲线如图所 示 ( 注意 : )。 0cU (1) 曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率， 由图上读出的红限频率 H z 10274 140 . (2)由图求得直线的斜率为 sV10913 15 .K Ahvmv m 221 对比上式与 sJ10266 34 .eKh有 sJ10636 34 .h 精确值为 0221 eUe K veUmv cm 图 Uc和 的关系曲线 4.0 5.0 6.0 0.0 0.5 1.0 U c V 1014Hz 2. 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固 定的弦中的驻波，因而势阱宽度 a必须等于德布罗意波 的半波长的整数倍。 (1) 试由此求出粒子能量的本征值为： 2 2 22 2 nma E n (2) 在核 (线度 1.0 10-14m)内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少 MeV？ 解： 在势阱中粒子德布罗意波长为 1 , 2 , 3 ,2 n,na n 粒子的动量为： anahnhp nn 2 2 2 222 22 nma m pE n n 粒子的能量为： J 1033 1001106712 10051 2 13 21427 2342 2 22 1 . . . am E p (2) 由上式，质子的基态能量为 (n=1): 第一激发态的能量为： J 102134 1312 .EE n= 1,2,3 从第一激发态转变到基态所放出的能量为： M e V 26 J 1099 J 103310213 13 1313 12 . .EE 讨论： 实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般 就是几 MeV,上述估算和此事实大致相符。 n=1 n=2 n=3 解： 首先把给定的波函数归一化 做积分 12dc o sd 22 2 222 aAxa xAxx /a /a 得 aA 2 1d2 xx 3. 设粒子处于由下面波函数描述的状态： , ,c o s 0 a x Ax 当 2 ax 22 axax ,当 A是 正的常数。求粒子在 x轴上分布的概率密度 ; 粒子在何处出现的概率最大 ? 因此，归一化的波函数为 , ,c o s 0 2 a x ax 当 2 ax 22 axax ,当 归一化之后， 就代表概率密度了，即 2x , ,c o s 0 2 2 2 a x axxW 当 2 ax 22 axax ,当 概率最大处 : 02s i n2s i nc o s22dd 2 a xaaa xa xaxW 即 x = 0 2 ax 讨论： 波函数本身 无物理意义 , “ 测不到 ， 看不见 ” ， 是一个很抽象的概念 ， 但是它的模的平方给我们展示 了粒子在空间 各处出现的 概率密度分布的图像 。 E o a/2 x -a/2 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 En n |n|2 无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度 4.氢原子的直径约 10-10m， 求原子中电子速度的不确 定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运 动，它的速度是多少？结果说明什么问题？ m / s 106.010101.92 1005.12 61031 34 xmv 解： 由不确定关系 2/ xvmxp 估计，有 速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。 按经典力学计算 2 22 r ek r vm m / s 102.2 105.0101.9 )106.1(109 6 1031 21992 mr ke v 5.(1) 用 4 个量子数 描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角 动量。 答： (1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3, 角量子数 l， l = 0, 1, 2, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, , l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2 (3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态 内填充 1个电子 , 得磷 (P)的电子排布 1s22s22p63s23p3。 (2) n = 2 l = 0 (s) l = 1 (p) ml = 0 ml = -1 ml = 0 ml = 1 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 2n2 = 8 个 量子态 01)0 ( 01 )( ll1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 2p, 3p 电子轨道角动量为 21111 )()( ll 在 z 方向的投影可以为 ,0, lm 解 : (1)费米能量是价电子排布的最高能级对应的能量。 6. 1mol 钠原子结合成钠金属后 ,其 3s 能级形成价带。 取价带底能量 Eb= -5.54eV, 如果价带内密集的能级平 均间隔为 1.07610-23 eV, 求： (1)费米能量是多少？ (2)用波长为 300nm 的单色光照射钠金属 , 发出光电子 的最大动能是多少 ？ eV30.2 )54.5(10076.110023.6 2 1 2 1 2323 F b EENE 由题意 , 3s能级分裂成 N个能级 , 形成价带。该价带最 多容纳 2N(2l+1)个电子 ,即 2N个电子。 Eb EF A 真空能级 E0 0 价 带 光照射钠时发生光电效应， 由爱因斯坦光电方程得到 钠金属发出光电子的最大动能是 e V 84.130.2 106.110300 1031063.6 2 1 199 834 2 m A hc Ahm v (2)金属的逸出功是金属内的一个电子变成自由电子 所吸收的最小能量，即由费米能级向自由能级跃迁 的电子所吸收的能量。 A = E0 - EF = 0 - (-2.30) = 2.30eV