中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第一章 数与式 第4讲 二次根式及其运算课件.ppt

数学 第 4讲 二次根式及其运算 1 了解二次根式、最简二次根式的概念 2 了解二次根式加、减、乘、除运算法则 ， 会用它们进行有关实数的简单四则运算 二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一 ， 常常以填空题、选择题形式出 现 1 二次根式的基本运算要求熟练掌握 ， 二次根式的运算以整式的运算为基础 ， 其 法则、公式都与整式类似 ， 特别是二次根式的加减 ， 没有提出同类二次根式的概念 ， 完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘 方运算 2 二次根式的求值 ， 二次根式性质的应用等 3 主要体现类比转化的思想方法 1 ( 2016 衢州 ) 二次根式 x 3 中字母 x 的取值范围是 2 ( 2016 南充 ) 下列计算正确的是 ( ) A. 12 2 3 B. 3 2 3 2 C. x 3 x x D. x 2 x x3 A 3 ( 2016 南充 ) 计算： 1 2 18 ( 1) 0 sin 45 | 2 2|. 4 先化简 ， 再求值： 2 (a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 ， 其中 a 2 1. 解：原式 12 3 2 1 22 2 2 3 解：原式 a 2 6a ， 当 a 2 1 时 ， 原式 4 2 3 1 若二次根式 a 2 有意义 ， 则 a 的取值范围是 ( ) A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 2 与 5 是同类二次根式的是 ( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【解析】 20 2 5 与 5 的被开方数相同 ， 故选 C. 解析：第 1 题根据负数没有平方根列出关于 a 的不等式 ， 解之可得； 第 2 题根据化成最简二次根式后 ， 被开方数相同的二次根式叫做同类二 次根式可得出答案 A C 1 二次根式的概念：形如 _ _ 的式子叫做二次根式 2 二次根式有意义的条件：要使二次根式 a 有意义 ， 则 a 0. 答案 ： 1. a （ a 0 ） 3 ( 2017 预测 ) 函数 y 2 x 1 x 1 中自变量 x 的取值范围是 ( ) A x 2 B x 2 且 x 1 C x 2 且 x 1 D x 1 【解析】 2 x 中 2 x 0 ， 分母 x 1 0 ， 即 x 2 且 x 1. 4 已知 | x y 2| x y 2 0 ， 则 x 2 y 2 的值为 _ _ . 【解析】 |x y 2| x y 2 0 ， x y 2 0 ， x y 2 0 ， x y 2 ， x y 2 ， x 2 y 2 (x y)(x y) 4. B 4 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时 ， 首先考虑被开方数为非负 数 ， 其次还要考虑其他限制条件 ， 如分母不等于 0等 ， 往往转化为不等式 (组 )来 解决问题 5 计算： 2 1 2 18 . 解：原式 2 22 3 2 2 3 2 2 2 6 ( 2017 预测 ) 实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示 ， 化简 |a| （ a b ） 2 的结果是 ( ) A 2 a b B 2 a b C b D b 【解析】 由图可知 a 0 ， a b 0 ， 则 | a | （ a b ） 2 a ( a b ) 2 a b . 故选 A. 解析：第 5 题先将各个二次根式化成最简二次根式 ， 再把被开方数相同 的二次根式进行合并即可；第 6 题直接利用数轴上 a ， b 的位置 ， 进而得出 a 0 ， a b 0 ， 再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案 A 7 计算： 4 2016 0 | 3 2| 1. 解：原式 2 1 ( 2 3 ) 1 3 2 3 1 2 3 1 二次根式的性质： (1)( a ) 2 a( _ _ _ ) (2) a 2 |a| （ a 0 ） ， （ a0 ） . (3) ab _ _ _ (a 0 ， b 0 ) (4) a b _ _ _ (a 0 ， b 0) 2 最简二次根式的概念：把满足被开方数不含分母 ， 被开方数中不含 能开得尽方的 _ _ 或 _ _ 的二次根式 ， 叫做最 简二次根式 3 二次根式的加减法：在二次根式的加减运算中 ， 先要把二次根式化 成最简二次根式 ， 类似于合并同类项 ， 我们可以把被开方数相同的二次根 式进行合并 4 二次根式的乘除法： ( 1 ) 二次根式的乘法： a b _ _ _ ( a 0 ， b 0 ) ( 2 ) 二次根式的除法： a b _ _ _ ( a 0 ， b 0 ) 答案 ： 1. ( 1 ) a 0 ； ( 2 ) a ； a ； ( 3 ) a b ； ( 4 ) a b 2. 因数；因式 4. ab ； a b 8 ( 2016 重庆 ) 计算 3 5 2 5 的结果是 ( ) A. 5 B 2 5 C 3 5 D 6 【解析】 原式 (3 2) 5 5 . 故选 A. A 9 已知 ( x y 3 ) 2 2x y 0 ， 则 x y 的值为 ( ) A 0 B 1 C 1 D 4 【解析】 由 ( x y 3 ) 2 2 x y 0 知 ( x y 3 ) 2 0 ， 2 x y 0. 即得 ( x y 3 ) 2 0 ， 2 x y 0 ， 即 x y 3 0 ， 2 x y 0 ， 解得 x 1 ， y 2. x y 2 1 1. 故选 C. C 10 计算： ( 3 1)( 3 1) 24 ( 1 2 ) 0 . 解：原式 ( 3 ) 2 1 2 2 6 1 3 1 2 6 1 2 6 1 1 最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数 ， 因式是整式 (分母中不应含有根号 )； (2)被开方数中 不含开方开得尽的因数或因式 ， 即被开方数的因数或因式的指数都为 1. 2 二次根式加减法运算的步骤： (1)将每个二次根式化成最简二次根式； (2)找 出其中被开方数相同的二次根式； (3)将被开方数相同的二次根式进行合并 3 二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积 (或商 )的二次根 式 ， 再化简 ， 最后结果要化为最简二次根式、整式或分式 11 已知 10 的整数部分为 a ， 小数部分为 b ， 求 a 2 b 2 的值 解析：先把 b 用含 10 的式子表示 ， 再代入求值 解： 3 10 4 ， 10 的整数部分 a 3 ， 小数部分 b 10 3 ， a 2 b 2 3 2 ( 10 3 ) 2 9 ( 10 6 10 9 ) 10 6 10 12 ( 2017 预测 ) 先化简 ， 再求值： ( 2x 1 )( 2x 1 ) ( x 1 )( 3x 2 ) ， 其中 x 2 1. 解析：利用整式乘法运算法则化简 ， 进而去括号合并同类项 ， 再将已知 代入求出答案 解：原式 4x 2 1 ( 3x 2 3x 2x 2 ) 4x 2 1 3x 2 x 2 x 2 x 1 ， 当 x 2 1 时 ， 原式 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 3 2 2 2 2 5 3 2 二次根式混合运算 ， 可以运用运算律或适当改变运算顺序 ， 使运算简便 13 先化简 ， 再求值： 1 a 1 a （ a 1 ） 2 ， 其中 a 2 1. 解：原式 a 1 a （ a 1 ） 2 1 （ a 1 ） 2 . 当 a 2 1 时 ， 原式 1 （ 2 1 1 ） 2 1 （ 2 ） 2 1 2 14 先化简 ， 再求值： x 1 y x 2 1 y 2 ， 其中 x 2 1 ， y 3 . 解：原式 x 1 y y 2 x 2 1 x 1 y y 2 （ x 1 ）（ x 1 ） y x 1 ， 把 x 2 1 ， y 3 代入 ， 得原式 3 2 1 1 3 2 6 2 二次根式的综合计算与化简问题 ， 一般先化简再代入求值 ， 最后的结果要化为 分母不含根号的数或者是最简二次根式 ， 也可以利用所给条件整体考虑 15 ( 原创题 ) 已知任意三角形的三边长 ， 如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题 ， 在他的著作度量论一书中 给出了计算公式 海伦公式 S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） ( 其中 a ， b ， c 是三角形的三 边长 ， p a b c 2 ， S 为三角形的面积 ) ， 并给出了证明 例如：在 ABC 中 ， a 3 ， b 4 ， c 5 ， 那么它的面积可以这样计算： a 3 ， b 4 ， c 5 ， p a b c 2 6 ， S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） 6 3 2 1 6. 事实上 ， 对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题 ， 还可用我国南 宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决 如图 ， 在 ABC 中 ， BC 5 ， AC 6 ， AB 9 (1) 用海伦公式求 ABC 的面积； (2) 求 ABC 的内切圆半径 r. 【解析】 (1) 先根据 BC ， AC ， AB 的长求出 p ， 再代入到公式 S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） 即可求得 S 的值； (2) 根据公式 S 1 2 r(AC BC AB) ， 代入可得关于 r 的方程 ， 解方程得 r 的值 解： ( 1 ) BC 5 ， AC 6 ， AB 9 ， p BC AC AB 2 5 6 9 2 10 ， S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） 10 5 4 1 10 2 ， 故 ABC 的面积 10 2 ( 2 ) S 1 2 r ( AC BC AB ) ， 10 2 1 2 r ( 5 6 9 ) ， 解得 r 2 ， 故 ABC 的内切圆半径 r 2 16 如图 ， ABC 中 ， AB 17 ， AC 10 ， BA 边上的高 CD 8 ， 求边 BC 的长 解：在 Rt ADC 中 ， AD AC 2 CD 2 6 ， BD AB AD 11 ， 在 Rt BCD 中 ， BC BD 2 CD 2 185 根据图形特点 ， 作辅助线构造出直角三角形 ， 利用勾股定理 ， 转化为二次根式是解 题的常用方法