双曲线的定义与标准方程

【课题】7.7.1 双曲线的定义与标准方程【教学目标】知识目标：使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念；了解双曲线的标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定双曲线的标准方程能力目标：在概念形成的过程中,培养学生发现能力及分析、归纳的逻辑思维能力；了解借助几何画板探究动点轨迹的操作方法【教学重点】掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程；能根据条件，用待定系数法和定义法确定双曲线的标准方程【教学难点】双曲线的标准方程的推导用待定系数法求解双曲线的标准方程【教学设计】通过生活中的实物引入课题，并通过动手实验让学生亲自体验并总结出双曲线的定义，让学生带着兴趣学习，提高教学效果引导学生根据双曲线定义恰当的选择坐标系，推导双曲线的标准方程，感知数学的数形结合思想，提高学生的推理论证能力；通过合作练习，发挥学生的主体作用，并根据学生的年龄特点和学生对知识的掌握程度，力求做到因材施教，在问题的思考、交流、解决过程中培养和发展学生的思维能力【教学备品】教学课件、实验用品（图钉、无弹性的细线、素描纸、侧面带孔的空心圆管）【课时安排】1 课时(45 分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.7.1 双曲线的定义与标准方程*创设情景兴趣导入介绍了解从实际事例使教学过程教师行为学生行为教学意图时间观察图片：观察花瓶和发电厂冷却塔的图片提出问题：它们的剖切面的轮廓近似什么曲线?动手实验：首先将两根细绳（长度为22cm 和 16cm）一端固定在一起，另一端按同一方向穿过空心小圆管侧面的小孔，用图钉将绳子两端分别固定在素描纸上的两个定点F1、F2处将笔插在空心小圆管上，拉紧绳子，移动笔尖，画出一只曲线再将绳子两端交换固定，重复作图，画出另一支曲线我们将这种曲线称为双曲线思考（1）如果把笔尖看成点M，那么|MF1|与|MF2|的差的绝对值是常数吗？（2）|MF1|MF2|与|F1F2|的大小关系？归纳双曲线上的点M 满足|MF1|MF2|F1F2|播放课件说明解释引导分析归纳观看课件思考作图分析求解思考学生自然的走向知识点引导学生动手作图通过分析让学生体会双曲线上的点 M 满足的条件，引出定义10*动脑思考探索新知带领教学过程教师行为学生行为教学意图时间概念平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线 两个定点F1、F2叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做 焦距 标准方程推导建系：取过焦点F1、F2的直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系xOy设点，列条件：设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c0），那么点 M 到 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a，则有|MF1|MF2|2a列式：由两点间的距离公式可得|MF1|(xc)2y2，|MF2|(xc)2 y2，所以(xc)2y2(xc)2y2 2a，化简：化简得（c2a2）x2a2y2a2（c2a2）由双曲线的定义可知2c2a，即 c a，所以 c2a20，设 c2a2b2（b0），则有 b2x2 a2y2 a2b2，两边同时除以 a2b2，得（1）归纳说明引导学生推导双曲线的标准方程思考理解推导学生总结双曲线的定义充分讲解双曲线的标准方程的推导过程四步骤数形结合x2a2y2b21（a0，b0）教学过程教师行为学生行为教学意图时间反之，我们可以证明，以方程（1）的解为坐标的点都在双曲线上我们把这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是 F1（c，0），F2（c，0）其中 c2a2b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程：若双曲线的两个焦点所在的直线为y 轴，焦点是F1（0，c），F2（0，c），只要将方程（1）中的x，y 互换，就可以得到它的方程为（2）概念辨析：（1）双曲线的标准方程中，a0，b0，但 a 不一定大于b；（2）双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上（3）双曲线标准方程中a、b、c 的关系是c2a2b2，不同于椭圆方程中c2a2b2强调引导强调记忆理解理解总结焦点在 y轴上的双曲线的标准方程通过概念辨析使学生深刻理解定义20 y2a2x2b2 1（a0，b0）教学过程教师行为学生行为教学意图时间*巩固知识典型例题例 1 已知双曲线的标准方程为x210y215 1，求它的焦点坐标解由双曲线的标准方程为x210y2151，可知 a210，b215，则c2a2b225，c5又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以焦点坐标为（5，0）和（5，0）例 2 已知两点F1（5，0），F2（5，0），求与它们的距离的差的绝对值是8 的动点轨迹方程，并用几何画板画出动点轨迹解由定义可知，所求动点的轨迹是双曲线，因为 c 5，a4，所以b2 c2 a225169，因此所求方程是x216y291注：作图步骤参阅教材说明引领讲解分析观察思考主动求解理解通过例题进一步掌握双曲线的标准方程利用定义法求出双曲线的标准方程30*理论升华整体建构定义|MF1|MF2|2a02a|F1F2|图形方程x2a2y2b2 1（a 0，b0）y2a2x2b21（a0，b0）焦点（c，0）（0，c）引导说明归纳引导归纳总结思考总结总结思考引导学生总结双曲线的定义与标准方程35 教学过程教师行为学生行为教学意图时间a、b、c 的关系c2a2b2*运用知识强化练习教材练习7.7.11求下列双曲线的焦点坐标：（1）x25y2151；（2）y24x26012写出适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）a6，b3，焦点在 x 轴上；（2）b25，焦点 F1（0，5）、F2（0，5）3已知双曲线上有一点到两焦点（0，3）、（0，3）的距离差是 2，求双曲线的标准方程提问巡视指导思考动手求解交流及时了解学生知识掌握的情况40*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？引导提问回忆反思培养学生反思学习过程的能力43*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节7.7.1；(2)书面作业：学习与训练7.7.1；(3)实践操作：利用几何画板画出双曲线说明记录45