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课时作业 35基本不等式一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)1(2014 宁波模拟)若 a0，b0，且 a2b20，则 ab的最大值为()A.12B1 C2 D4 解析：a0，b0，a2b2，a2b22 2ab，即 ab12.当且仅当 a1，b12时等号成立答案：A2函数 yx22x1(x1)的最小值是()A2 32 B2 32 C2 3 D2 解析：x1，x10，yx22x1x22x12 x1 3x1x122 x1 3x1(x1)3x122 32.当且仅当 x13x1，即 x31 时取等号答案：A3设OA(1，2)，OB(a，1)，OC(b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若A，B，C 三点共线，则1a2b的最小值是()A4 B6 C8 D10 解析：ABOBOA(a1,1)，ACOCOA(b1,2)，AB与AC共线，2(a1)b10，即 2ab1.a0，b0，1a2b(1a2b)(2ab)4ba4ab448，当且仅当ba4ab，即 b2a时等号成立答案：C4某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 9 000 元，年维修费第一年是2 000元，以后逐年递增 2 000元问这种汽车使用 _年时，它的年平均费用最小()A11 B10 C9 D8 解析：设汽车使用 n 年时，年平均费用为y，则y100.2nn n120.20.9nn10n0.1n2n10nn101213，当且仅当 n10 时，年平均费用 y 最小，选 B.答案：B5(2012 陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和 b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav ab Bv ab C.abvab2Dvab2解析：v21a1b2ababa2a2ab0，所以2abab0，故选 A.答案：A6(2014 咸阳模拟)设 abc0，则 2a21ab1a ab10ac25c2的最小值是()A2 B4 C2 5 D5 解析：2a21ab1a ab10ac25c22a2abbab ab10ac25c22a21b ab10ac25c22a21bab2210ac25c2(bab 时取“”)2a24a210ac25c2(a24a2)(a5c)24(当且仅当 a2，b22，c25时取“”)，故选 B.答案：B7(2014 上饶模拟)已知 f(x)x1x2(x0)，则 f(x)有()A最大值为 0 B最小值为 0 C最大值为 4 D最小值为 4 解析：(1)x0，x1x2(x)1x2 2x 1x24，当且仅当 x1x，即 x1 时等号成立答案：C8已知向量 a(x，1)，b(y1,1)，x，yR，若 ab，则tx1xy1y的最小值是()A4 B5 C6 D8 解析：由 ab，得 xy1，tt(xy)(11x1y)(xy)12(yxxy)32yxxy5，当 xy12时，t 取得最小值 5.答案：B 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)9(2014 北京朝阳模拟)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为yx18(x25x)，而 x0，故yx182 258，当且仅当x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元答案：58 10(2014 山东潍坊一模，14)设 0 x2，则函数 yx 42x 的最大值为 _解析：0 x0，yx 42x 2 x 2x 2x2x22，当且仅当 x2x，即 x1 时取等号当x1 时，函数 yx 42x 的最大值是2.答案：2 11(2014 山东临沂一模，14)已知 x0，y0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、y 成等比数列，则ab2cd的最小值是 _ 解析：x、a、b、y 成等差数列，abxy.x、c、d、y 成等比数列，cdxy，则ab2cdxy2xyyxxy24(x0，y0)，当且仅当yxxy时，取等号故答案为 4.答案：4 三、解答题(共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12已知 x0，y0，且 2x5y20.(1)求 ulgxlgy 的最大值；(2)求1x1y的最小值；解：(1)x0，y0，由基本不等式，得 2x5y2 10 xy.2x5y20，2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立因此有2x5y20，2x5y，解得x5，y2，此时 xy有最大值 10.ulgxlgylg(xy)lg101.当x5，y2 时，ulgxlgy 有最大值 1.(2)x0，y0，1x1y(1x1y)2x5y20120(75yx2xy)120(725yx2xy)72 1020，当且仅当5yx2xy时，等号成立由2x5y20，5yx2xy，解得x10 10203，y204 103.1x1y的最小值为72 1020.13(2013 安徽理，17)设函数 f(x)ax(1a2)x2，其中 a0，区间 Ix|f(x)0(1)求 I 的长度(注：区间(，)的长度定义为 )；(2)给定常数 k(0,1)，当 1ka1k 时，求 I 长度的最小值解：(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2a1a2，故 f(x)0 的解集为 x1x0)，则 d(a)1a21a2 2，令 d(a)0，得 a1，由于 0k1，故当 1ka0，d(a)单调递增；当 1a1k 时，d(a)0，d(a)单调递减因此当 1ka1k 时，d(a)的最小值必定在a1k 或 a1k 处取得而d 1kd 1k1k1 1k21k1 1k22k2k32k2k31，故 d(1k)0)(2)由 S1 832(10 800 x16x3)，得 S1 832210 800 x16x31 83222401 352.当且仅当10 800 x16x3，此时，x45.即当 x 为 45米时，S最大，且 S最大值为 1 352 平方米
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