达朗贝尔原理课件

达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理提供了用静力学的平衡达朗贝尔原理提供了用静力学的平衡方程求解动力学问题的方法方程求解动力学问题的方法,所以也称所以也称 动静法动静法 .达朗贝尔原理的运用首达朗贝尔原理的运用首先是将有关的运动量转化成先是将有关的运动量转化成达朗贝尔惯达朗贝尔惯性力系性力系,这其间达朗贝尔惯性力系的简这其间达朗贝尔惯性力系的简化和等效代替是重要的一步化和等效代替是重要的一步.其后便是其后便是运用静力学平衡方程式的求解技巧运用静力学平衡方程式的求解技巧.用用达朗贝尔原理达朗贝尔原理求解约束反力和加速度问求解约束反力和加速度问题是很有效的题是很有效的.达朗贝尔原理达朗贝尔原理13 1 惯性力惯性力.质点的达朗质点的达朗贝尔贝尔原理原理 1.达朗达朗贝尔贝尔惯性力惯性力:IF定义定义:amFI :达朗达朗贝尔贝尔惯性力是在惯性参考系下定惯性力是在惯性参考系下定义的惯性力义的惯性力,惯性力中所含的加速度是绝惯性力中所含的加速度是绝对加速度对加速度,在合成运动的分析中在合成运动的分析中,它是相它是相对对,牵连和科氏加速度的总和牵连和科氏加速度的总和.2.质点的达朗质点的达朗贝尔贝尔原理原理:NFFam 由动力学基本方程由动力学基本方程 0amFFN 即是即是:0FFFIN NFmFam当非自由质点运动时当非自由质点运动时,作用在质点上的主动力、约束反力和作用在质点上的主动力、约束反力和 达朗达朗贝贝尔尔惯性力在形式上组成一平衡力系惯性力在形式上组成一平衡力系.这就是质点的达朗贝尔原理这就是质点的达朗贝尔原理.达朗贝尔原理达朗贝尔原理13 2 质点系的达朗质点系的达朗贝尔贝尔原理原理 运动的质点系的每一瞬时运动的质点系的每一瞬时,系统中的所有质点的达朗系统中的所有质点的达朗贝尔贝尔惯性力惯性力与作用于系统的外力在形式上组成平衡力系与作用于系统的外力在形式上组成平衡力系.这就是这就是质点系的达质点系的达朗朗贝尔贝尔原理原理.这个这个 平衡力系平衡力系 显然是一个空间的平衡力系显然是一个空间的平衡力系.根据空间力系的根据空间力系的平衡理论平衡理论,就是就是:系统中的所有质点的达朗系统中的所有质点的达朗贝尔贝尔惯性力和外力系的惯性力和外力系的矢量和为零矢量和为零(主矢为零主矢为零),以及这些力对任意点的矩的矢量和为零以及这些力对任意点的矩的矢量和为零(主主矩为零矩为零).用数学式表示用数学式表示,即是即是:0FMFM0FFiiIOeiOIei 它有六个空间投影方程用于具体问题的计算它有六个空间投影方程用于具体问题的计算.如果的平面问如果的平面问题便是三个题便是三个.达朗贝尔原理达朗贝尔原理例一例一.重重P 的物块的物块A(不计尺寸不计尺寸)沿与铅垂面夹角为沿与铅垂面夹角为 的悬臂梁下滑的悬臂梁下滑.梁重为梁重为G,均质均质,长长OB=L.不计摩擦不计摩擦.求求:当物块当物块A 滑至距固定端滑至距固定端为为S 米时米时,固定端的约束反力固定端的约束反力.APSBOL/2Ga解解:先求物块先求物块A的惯性力的惯性力 cosPmaFcosgacosPagPI sin)2LGPS(m0sinPSsin2LGm:0)F(msinPGY0PcosFGY:0YsincosPX0sinFX:0Xooo2OIOOIOXOYOmOFI以整体为对象，由达朗以整体为对象，由达朗贝尔贝尔原理原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理例二例二.(.(书上书上 例例13 3)13 3)飞轮的质量为飞轮的质量为m,m,半径为半径为R,R,以匀角速度以匀角速度绕绕O O轴转动轴转动.设轮缘较薄设轮缘较薄,质量均匀分布质量均匀分布,轮辐的质量不计轮辐的质量不计.不考虑不考虑重力的影响重力的影响,求轮缘横截面的张力求轮缘横截面的张力.OORxdFIT1T2解解:取半圆环为研究对象取半圆环为研究对象:0)(Fmo cosRRddF2IxRRddF2I 22221RmTTRm：0 X 121TT 20T2dF1cIx 02sin12222 TR 02cos12222 TdR (2)式可写成式可写成:221RT 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 质点系的每一个质点的达朗质点系的每一个质点的达朗贝尔贝尔惯性力构成一达朗惯性力构成一达朗贝尔贝尔惯性力系惯性力系.一般情况下是一个较复杂的空间力系一般情况下是一个较复杂的空间力系.运用达朗运用达朗贝尔贝尔原理求解质点原理求解质点系或刚体动力学问题的关键是将此惯性力系进行简化和等效代替系或刚体动力学问题的关键是将此惯性力系进行简化和等效代替.1.刚体的平动刚体的平动IFiCaa C刚体作平动刚体作平动,其上所有点的加速度矢都相等其上所有点的加速度矢都相等.因而惯性力系是一同向平行力系因而惯性力系是一同向平行力系.这个力系这个力系与重力系类似与重力系类似,其合力过质心其合力过质心C.CCiaMamamFFiiiII 平动刚体上的达朗伯惯性力系向质心简化可得一力平动刚体上的达朗伯惯性力系向质心简化可得一力.此此力的大小等于刚体的质量乘以质心或任意一点的加速度力的大小等于刚体的质量乘以质心或任意一点的加速度,方向与加速度相反方向与加速度相反.下面下面,我们将对常见的几种运动的刚体上的达氏惯性力进行简化我们将对常见的几种运动的刚体上的达氏惯性力进行简化.14 3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化达朗贝尔原理达朗贝尔原理2.刚体的定轴转动刚体的定轴转动(刚体有质量对称面刚体有质量对称面,且转轴垂直于质量对称且转轴垂直于质量对称面面):对于转轴垂直于质量对称面的定轴转动的刚体对于转轴垂直于质量对称面的定轴转动的刚体,首先其上的达朗首先其上的达朗伯惯性力系可以简化成质量对称面上的平面力系伯惯性力系可以简化成质量对称面上的平面力系.进而向转轴的进而向转轴的O 点简化点简化,可得一力和一力偶可得一力和一力偶.OCairniatiaCimOIFOIMC由力系的简化理论可知由力系的简化理论可知:此力的作用线过此力的作用线过O点点,量值为惯性力系的矢量和量值为惯性力系的矢量和(主矢主矢);此力此力偶作用在刚体上偶作用在刚体上,量值为惯性力系诸力对量值为惯性力系诸力对O点的力矩的代数和点的力矩的代数和(对对O点的主矩点的主矩).CiaMamFiI 有质量对称面且转轴垂直此面的定轴转动有质量对称面且转轴垂直此面的定轴转动的刚体的刚体,其上达朗伯惯性力系向对称面与其上达朗伯惯性力系向对称面与定轴的交点定轴的交点O O简化可得一力和一力偶简化可得一力和一力偶.CIaMF 惯性力惯性力:0FMFM0FFiiIOeiOIei 惯性力偶惯性力偶:OIOJM达朗贝尔原理达朗贝尔原理3.刚体平面运动刚体平面运动(刚体有质量对称面且运动平面平行于此面刚体有质量对称面且运动平面平行于此面).CIFCaCIM惯性力惯性力:CIaMF 注意注意:有质量对称面且转轴垂直此面的刚有质量对称面且转轴垂直此面的刚体的定轴转动是刚体平面运动的特例体的定轴转动是刚体平面运动的特例,故故刚体平面运动的惯性力系的简化方法也刚体平面运动的惯性力系的简化方法也适合于这样的定轴转动的刚体适合于这样的定轴转动的刚体.:达朗达朗贝尔贝尔原理的应用原理的应用动载荷下求约束反力及加速度；动载荷下求约束反力及加速度；(1)多自由度系统或多约束系统下求加速度及约束反力。多自由度系统或多约束系统下求加速度及约束反力。刚体平面运动是随质心的平动和绕质心刚体平面运动是随质心的平动和绕质心 的转动的合成的转动的合成.其上的达其上的达朗朗贝尔贝尔惯性力系向其对称面内简化可分成两部分惯性力系向其对称面内简化可分成两部分:平动的惯性力系平动的惯性力系和绕质心转动的惯性力系和绕质心转动的惯性力系.平动的惯性力系向质心简化可得一力平动的惯性力系向质心简化可得一力;绕绕质心转动的惯性力系可简化为一力偶质心转动的惯性力系可简化为一力偶.惯性力偶惯性力偶:CIJMC达朗贝尔原理达朗贝尔原理例一例一.绞车的质量为绞车的质量为80kg,装在钢梁上的铰支座装在钢梁上的铰支座O 上上.梁的两端视为梁的两端视为简支简支.梁为均质梁为均质,质量为质量为800kg,尺寸如图示尺寸如图示.绞车鼓轮对绞车鼓轮对O点的点的 转动转动惯量惯量J0=1.2 kg.m,鼓轮的半径鼓轮的半径r=0.2 m,绳索的质量不计绳索的质量不计.求求:当绞当绞车以加速度车以加速度a=1m/s 提升质量为提升质量为2000kg 的工件时的工件时,求支座求支座C、D处处的动反力及全反力的动反力及全反力.解解:(1)先求动反力先求动反力 ACDOr3.8m4.2mmaCFDFIFIOM)N(200012000maFI :0)(FMC:0 Y)m.N(62.012.1raJJMOOIO )N(25.949F08FM8.3FDDIOI )N(75.1050F0FFFCIDC 达朗贝尔原理达朗贝尔原理aCFDFIFIOMACDOr3.8m4.2m(m1+m2)g m3 g(2)求全反力求全反力:0)(FMC:0 Y令令:鼓轮的质量鼓轮的质量m1,梁的质量为梁的质量为m2,重物的质量为重物的质量为m3.)N(25.14571F08FM0.4g)mm(8.3gm8.3FDDIO213I )N(75.1562F0gmg)mm(FFFC321IDC 达朗贝尔原理达朗贝尔原理例二例二.(书上例书上例 13 7)均质圆盘质量为均质圆盘质量为mA ,半径为半径为r.均质细长杆均质细长杆L=2r,质量为质量为 m.杆端杆端A与轮心为光滑铰接与轮心为光滑铰接.如在如在A处加一水平拉力处加一水平拉力F,使轮沿水平面纯滚动使轮沿水平面纯滚动.问问:(1)F力多大能使杆的力多大能使杆的B端刚刚离开地面端刚刚离开地面?(2)为保证作纯滚动为保证作纯滚动,轮与地面间的静摩擦系数应为多大轮与地面间的静摩擦系数应为多大?ACB30gmAmgFDAaCaIAFIAMICFNFSF 惯性力系简化后如图惯性力系简化后如图,其中其中ramrmMmamaFamFAA212A21IAACICAAIA 解解:圆盘作平面运动圆盘作平面运动,AB杆作平动杆作平动.取整体取整体:0)(FmD取取AB杆杆:0)(FmAFA30mgCBAxFAyFICF)1(mg23ma21am23F030cosmgr2rFrFMrFAAA0ICIAIA (1)(1)当当ABAB杆上惯性力足够大时杆上惯性力足够大时,B,B处受力为零处受力为零达朗贝尔原理达朗贝尔原理)2(g3a021ma23mg030sinrF30cosmgrAA0IC0 (2)(2)由纯滚动的力学条件由纯滚动的力学条件:fFFNS Y=0:gmmFmggmFANAN)(0 X=0:gm23F0FFFFASSICIA (2)代入代入(1)mgmaamFAAA232123 mggmFA3233 得得:ACB30gmAmgFDAaCaIAFIAMICFNFSF取整体分析取整体分析 )mm(2m3FFf,AANS 由由题题意意)1(232123mgmaamFAAA :0)(FmAFA30mgCBAxFAyFICF达朗贝尔原理达朗贝尔原理例三例三.已知均质杆和均质圆盘的质量都是已知均质杆和均质圆盘的质量都是m ,用铰链连接如图所示用铰链连接如图所示,开始静止于铅垂平面内开始静止于铅垂平面内.今令杆的今令杆的D 端作用一水平力端作用一水平力P.求求:此力作此力作用时圆盘和均质杆的角加速度用时圆盘和均质杆的角加速度.ABDmgmgLLPC1C21IF1IM2IF2IM2 1 1Ca2Ca解解:双自由度双自由度,初瞬时问题求加速度初瞬时问题求加速度.取整体分析取整体分析:0)(FmAP力作用在力作用在D处时处时,BD杆平面运动杆平面运动,圆圆盘定轴转动盘定轴转动,惯性力系简化如图示惯性力系简化如图示.2LmmaF1C1I1 )2LL(mmaF21C2I2 222ImL121M 12121A1ImL83)2L(m23JM 0MML23FPL21I2I2I 达朗贝尔原理达朗贝尔原理)1(08312123)2(2122221 mLmLLLLmPL1IF1gM2IF2IM1 2 1Ca2Ca.ABDmgmgLLPC1C22 P2IFL2IM2CaBDmgC2xFyF取取BD 杆分析杆分析:0)(FmB由由(1)、(2)式联立式联立:mLPmLP5215421 ()()2(0mL1212L)2LL(mPL0M2LFPL22212I2I 1IM达朗贝尔原理达朗贝尔原理解解:将均质杆将均质杆AB的惯性力系向其质的惯性力系向其质心心C 简化简化,AB杆在杆在A端受力如图示端受力如图示例四例四.质量质量m 长长L 的均质杆的均质杆AB,其其B端固结在半径为端固结在半径为r 的圆盘边缘上的圆盘边缘上.设圆盘以角加速度设圆盘以角加速度,角速度角速度 在水平面上在水平面上 绕绕O 轴转至图示位置轴转至图示位置.求求:AB杆的杆的A端所受的约束反力端所受的约束反力.LCOrA CanCaB IFnIFICMAMAxFAyF 2121IC24LI24L2nImLMrmFrmF220FcosFsinF:0XAxnII 0sinFcosFF:0YnIIAy 0M2LsinF2LcosFM:0)F(mICnIIAA 22LmrmFAx rmLmFAy22 22312LmrLmMA 达朗贝尔原理达朗贝尔原理BCA CanCa IFnIFICMAML AFAnF如果将如果将A处的反力分解成如图的切向处的反力分解成如图的切向和法向和法向,则有则有:24L2AnnIAnn24LAIArmF0FF:0FrmF0FF:0F22 22AALm31r2LmM:0)F(m 达朗贝尔原理达朗贝尔原理13 4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 定轴转动的刚体在一般情况下的达朗伯惯性力系的简化问题定轴转动的刚体在一般情况下的达朗伯惯性力系的简化问题基本条件基本条件:定轴转动定轴转动,刚体或无质量对称面刚体或无质量对称面,或转轴不垂直质量或转轴不垂直质量 对称面对称面.:定轴转动的刚体在一般情况下定轴转动的刚体在一般情况下,其上的达朗伯惯性力是一空间其上的达朗伯惯性力是一空间分布力系分布力系.若将此力系向转轴上的某一点若将此力系向转轴上的某一点O 简化简化,可得一力可得一力和一力偶和一力偶 .若以若以O 为坐标原点建立为坐标原点建立Oxyz 右手坐标系右手坐标系(Oz 轴为转轴轴为转轴),则该力系在此坐标系下的投影表达式为则该力系在此坐标系下的投影表达式为:gFgOM zgzgzyz2zxgyCC2gyzx2yzgxCC2gxJM0FJJMxMyMFJJMyMxMF达朗贝尔原理达朗贝尔原理yxmkrkOK)zyx(kkkzmkxy)zyx(kkkngkF gkFkkO(z)k设在定轴转动的刚体上任取一质点设在定轴转动的刚体上任取一质点mk(xk yk zk),某一时刻某一时刻,mk 的转动半径的转动半径 rk 与与Ox 轴的夹角为轴的夹角为k,其达朗伯惯性力如图其达朗伯惯性力如图示示.将刚体上所有质点的惯性力向将刚体上所有质点的惯性力向O 点简化点简化,于是有于是有:CC2kkkk2kkkkk2kkgkkngkgxMyMxymxm)sinrmcosrm()sinFcosF(F 0FMxMyxmym)cosFsinF(FgzCC2kkk2kkgkkngkgy z2kkkgkgzyzxz2kkkkkk2kkkkkkk2kkkgkkkngkgyzxyz2kkkkkk2kkkkkkk2kkkgkkkngkgxJrmrFMJJzymzxmzsinrmzcosrm)zsinFzcosF(MJJzxmzymzcosrmzsinrm)zcosFzsinF(M 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 zgzgzyzzxgyCCgyzxyzgxCCgxJMFJJMxMyMFJJMyMxMF 02222这一组式子这一组式子 便是以便是以Oz 为定轴的转动刚体的达朗伯惯性力系向为定轴的转动刚体的达朗伯惯性力系向O 点简化所得到点简化所得到 的惯性力和惯性力偶在右手坐标系的惯性力和惯性力偶在右手坐标系Oxyz 下的投影分量表达下的投影分量表达.:(1)若直接套用此公式若直接套用此公式,所建立的坐标系必须是右手系且转轴所建立的坐标系必须是右手系且转轴为为Oz 轴轴.(2)式中式中M 是刚体的质量是刚体的质量,xC 、yC、zC 是刚体的质心坐标是刚体的质心坐标.Jyz、Jzx 分别对分别对y、z 轴和轴和 对对z、x 轴的轴的惯性积惯性积,也称为离心转动也称为离心转动惯量惯量.其正、负或零与质量分布及坐标轴的选择有关其正、负或零与质量分布及坐标轴的选择有关.(3)式中除质量外每一个量都是代数量式中除质量外每一个量都是代数量,即本身含有符号即本身含有符号.:主惯轴主惯轴 及及中心主惯轴中心主惯轴的概念的概念(书上书上P340)若要消除定轴转动刚体的转轴处的动反力若要消除定轴转动刚体的转轴处的动反力,则应则应:0J0J0y0 xzxyzCC 即即,转动轴为中心主惯轴转动轴为中心主惯轴.达朗贝尔原理达朗贝尔原理例题例题.均质薄圆轮盘质量均质薄圆轮盘质量m=20kg,半径半径R=200mm,重心重心O在水平转轴上在水平转轴上.由于轴孔不正由于轴孔不正,装在轴上时轴与圆盘面的中轴线装在轴上时轴与圆盘面的中轴线O 成交角成交角=1.设转轴匀角速设转轴匀角速转动转动,n=12000r/min,求轴承求轴承A、B处的动反力处的动反力.解解:建立的坐标系如图示建立的坐标系如图示 Oz 轴过质心轴过质心,故故 惯性力惯性力 0aC 0Fg BxFByFAyFAxFABOyzx0.5m0.5m又又,=0,所以有所以有2zxyz2zxgy2yzzx2yzgxJJJMJJJM O、O、O为主惯轴为主惯轴 且有且有:ycossinxsincosz0JM0dA)sincos(dAyzJ2yzgxyz 达朗贝尔原理达朗贝尔原理BxFByFAyFAxFABOyzx0.5m0.5m 2sinmR81)mR21mR41(sincosdA)(sincosdA)sincossincos(dA)cossin)(sincos(dAzxJ222222222zx代入数据后得代入数据后得:2o2zxmkg003489.02sin2.02081J )Nm(55113012000003489.0JM22zxgy gyM)N(5511F0FF:0X)N(5511F0MABF:0)F(mBxBxAxAxgyAxy 达朗贝尔原理达朗贝尔原理例三例三.长为长为L的均质杆从铅垂位置自由倒下的均质杆从铅垂位置自由倒下.试计算杆内弯矩最大的试计算杆内弯矩最大的地方地方,并求出此弯矩值并求出此弯矩值.已知均质杆的线密度为已知均质杆的线密度为.AOLAO解解:由题意我们只需考虑切向惯性力由题意我们只需考虑切向惯性力.角加速度使杆内各点产生切向惯性力角加速度使杆内各点产生切向惯性力,而重力矩引起角加速度而重力矩引起角加速度.在图示水平位在图示水平位置时重力对置时重力对O O 点的矩最大点的矩最大,因而这时因而这时OAOA杆具有最大的角加速度杆具有最大的角加速度.取任意长为取任意长为b b的一段杆分析的一段杆分析.并将并将b b 段杆内的达朗伯惯性力向质心简化如图段杆内的达朗伯惯性力向质心简化如图 (水平反力及法向惯性力未画水平反力及法向惯性力未画)bABMBMgFBbg CaFg.cLgbLbLaC2322 LgbbbMg3281121 :0)(FmB在水平位置整个杆长对在水平位置整个杆长对O O点取点取动量矩定理动量矩定理:LgLmgmL232312 gbbLbMMbFMgbBggB2620222322 LgbLbabFCg232 达朗贝尔原理达朗贝尔原理AOLAObABMBMgFBbg CaFg.c令令:0 dbdMB于是于是2271maxgLMB 于是有于是有:LgbgbgbLgbLbMB32232414122362 LbLbggb32043212 达朗贝尔原理达朗贝尔原理EDCaCA1001001005050FBmgXDFYDF100B习习 12 24(P258)质量质量m=3kg 且长且长ED=EA=200mm 的直角弯杆的直角弯杆,在在D点铰接点铰接于加速运动的板上于加速运动的板上.为了防止杆的运动为了防止杆的运动,在板上在板上A、B两点固定两个光滑螺栓两点固定两个光滑螺栓.整整个系统位于铅垂面内个系统位于铅垂面内,板沿直线轨道运动板沿直线轨道运动.(1)若板的加速度若板的加速度a=2g,求螺栓求螺栓A或或B及铰及铰D对弯杆的约束力对弯杆的约束力;(2)若弯杆在若弯杆在A、B处不受力处不受力,求板的加速度及铰求板的加速度及铰D对弯杆的约束反力对弯杆的约束反力.ABEDa解解:取直角弯杆分析取直角弯杆分析.弯杆为平动弯杆为平动,达朗伯惯性力系可简化在质心上达朗伯惯性力系可简化在质心上.015.005.02.0:0 mgFFFmgcBD NFFFFFFXgcBDgcBDxx15.660:0 NFmgFYyyDD4.290:0 gcF NgmaFCgc8.5823 NFB35.72.005.08.5815.08.93 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例四例四.长为长为l,质量为质量为 m 的均质杆的均质杆AB 与与DE 以软绳以软绳AC 与与 BD 相连相连,并在并在AB 的中点的中点用铰链用铰链O 固定在天花板上固定在天花板上.求求:在图示位置在图示位置,当当 BE 绳被剪断时绳被剪断时,两杆的角加速度两杆的角加速度.ABEDCOgmgm解解:取系统分析取系统分析,达氏惯性力如图示达氏惯性力如图示 2121222121220121121llmmaFFmlMmlMCgggg取整体取整体 :0 iOFm021 ggMM01211212212 mlml 121 取取DE杆杆EDgm 2 Ca2gM2gFDFC 1 2 CaABEDCOgmgm1gM2gM2gF达朗贝尔原理达朗贝尔原理 121 取取DE杆杆EDgm 2 Ca2gM2gFDFC :0 iDFm02222 lmglFMgg022221212122 lmglllmml 2063412 gll由由(1),(2)lg7621 达朗贝尔原理达朗贝尔原理作业：13 1 13 3 13 6 13 10 13 15 13 17