变分法简介(简单明了易懂)

1变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以 追寻到这样一个轨迹：约翰伯努利(Johann Bernoulli, 1667-1748) 1696年向全欧洲数学家挑战，提出 一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较 低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem)。它的难处在于和普通 的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数(曲线)，来满足所给的条件。这问题的 新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de 1 Hospital 1661-1704)、雅可比伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)和牛顿(Isaac Newtonl6421727)都得到了解答。约翰的解法比较 漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉(Euler Lonhard, 1707 1783)和拉格朗H (Lagrange, Joseph Louis, 17361813)发明了这一类问题的普遍解法， 从而确立了数学的一个新分支一变分学。有趣的是，在1690年约翰-伯努利的哥哥雅可比-伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hangmg Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我仍还可以观察到吊 桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线(catenary)。小(半尸V ax伽利略(Galileo, 15641643)比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线， 从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯(Huygens, 16291695)在1646年(当时17岁), 经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是 雅可比伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰伯努利 各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶 常微分方程衣一/(x0(r)o所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定 义为X。(0) = nnx | x(r) -x0 (r) |,| x(t) -x0 (t) |泛函的极大值可以类似地定义。其中X。(F)称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1. 3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数X(/)在XoQ)的增量记为6x(t) = x(t)-xQ(t)也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作J = J(X。(0 + &(，) - J(X。(0)如果AJ可以表为J = L(Xo(f), &(。)+ 心0(。,时)其中L为&的线性项，而尸是版的高阶项，则称乙为泛函在(f)的变分，记作，(/)。用变动的X)代替Ao(O ,就有8(x(/) 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数。的导数： d.8(业)=JW) + at)a=Q(4)da这是因为当变分存在时，增量AJ = /(*(/) +。&)-0,进而得 axy = = chyk (x + c) oJk此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称 之为最小势能原理。1.4泛函极值问题的补充1.4.1泛函极值的几个简单推广(i)含多个函数的泛函使泛函J()(x), z(x) = J： F(x，)，V，z, Z )dx取极值且满足固定边界条件y(X)=乂,)(%) =)%，z(m )=&, z(%)=& .的极值曲线y = y(x),z = z(x)必满足欧拉方程组F、 = 8 dxF厂制=0axCh)含高阶导数的泛函 使泛函取极值且满足固定边界条件y(xj=yy(l)=)s yxl)=y,yx2) = y的极值曲线 =y(x)必满足微分方程匚 、d2 口 八氏_丁马，+产氏.=0 ax ax(ill)含多元函数的泛函设 z(x,)，)c)(x,y)。，使泛函UUO?) = ff F(x,y,z,zx,zy)dxdyD取极值且在区域。的边界线/上取已知值的极值函数z = Z(x, y)必满足方程d dF_F_F. = 0z dx Zx世勺上式称为奥式方程。1.4.2端点变动的情况(横敝条件)设容许曲线X(/)在固定，在另一端点f时不固定，是沿着给定的曲线X = #(f)上变动。于是端点条件表示为JWo) = X。V(o = W(t)这里，是变动的，不妨用参数形式表示为t = tj + adtf寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可彷照前面端点固定情况进行推导，即有0 =月=J adl F(t,x+a8x,x+a&)dta=(i=1宜一%氏施机+孔捉。(9)再对(9)式做如下分析：(1) 对每一个固定的工(。都满足欧拉方程，即(9)式右端的第一项积分为零：(11) 为考察(9)式的第二、第三项，建立出/与8xt=(f之间的关系，因为x(tf +adt f) + a8x(t f +adt f) = i/(t f +adt f)对。求导并令a=0得x(t,)dt,+i=if =州)州礼,=火。）-和/的（1。）把（10）代入（9）并利用出/的任意性，得F + ST泪屋=0（11）（11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（i）当x = W）是垂直横轴的直线时，。固定，工（。）自由，并称x（tf）为自由端点。此时（9）式中dtf = 0及削的任意性，便得自由端点的横截条件Fi.-. =0（12）（11）当x =收）是平行横轴的直线时，0自由，x（）固定，并称W/）为平动端点。此时 = 0, （11）式的横截条件变为F-xFx =0* （13）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.4.3有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系 统和）=布）,“（f）*（14）寻求最优性能指标（目标函数）/（）二 0（.,）+ F（r,xQ）,“q）W*（15）其中“（/）是控制策略，1（。是轨线，固定，。及1（。）自由，X（t）R,晾）略”（不受限，充满/T空间），f、（p,F连续可微。卜面推导取得目标函数极值的最优控制策略（/）和最优轨线xt）的必要条件。采用拉格朗口乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑J（X,人）=做J,工（。）+ 尸0 X，U）+ 万X, U）一 x）yit（16）的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为= F（t,X,U）+ （t）f（t,x,u）（ 19） （ 17）将其代入（16）式，得到泛函匕（工,以,人）=0（0,】（/）+j /（，,工,人）一了X出（20） （18）下面先对其求变分=京0（。+ 沥。,x（） + a&（。）+如，乃0x + a&, u + a&i, A + aS冷-（2 4- a8X）lx + c（3:）clta=0=&（_）+（也）0 +（出/）月0，时2）=。-饱），（/号）卜，+（&） /、+（，）,Hlt + （必）/ Ha 一（我）/X-A!Sxdt=（力%, + &（） %）（注：第一项利用公式（14）化简后）+ （&）丁乩 +（&）%+（我）伍（我尸力出f （。）叫f +（时&（注意最后两项是根据等号前最后一个积分项利用分部枳分法得到。）同时注意到 & ,=/（,丰如。），& f ）-x（tf ）dtf ,因而羽=（力/）,+ H（/,x,u,2）|/=/ +8x（tf ）r（px -2）|,=/+ J： （&）/ （H, +2） + （我）/ （/ T） + （晶）,Hudt再令必=0,由如&的任意性，便得（I）x*,Z必满足正则方程： 状态方程x = H.= f（t,x,u） 协态方程 X = -Hx.（II）哈密顿函数/（r,/,W,Z）作为的函数，也必满足久=0并由此方程求得（111）求/，一时,必利用边界条件 x（r0）= x0,（用于确定x*） ） = px（t/）（用于确定人*） %, =-H（t,x，W ,（确定。）1.4.4最大（小）值原理如果受控系统x = /(r,x,w),电)=与其控制策略W)的全体构成有界集，求(/) g U ,使性能指标J(0) = 0(O，x(O)+F(t,x,u)dt达到最大(小)值。最大(小)值原理：如果(p(trx(tf)和都是连续可微的，那么最优控制策略，和相应的最优轨线史0)由下列的必要条件决定：(1)最优轨线x*U),协态向量/(/)由下列的必要条件决定：牛=, u(t) G U , at= _6Hdt dx(ii)哈密顿函数= F(r, x*, u)+2*r (t)f(t, x*, u)作为(/)的函数，最优策略，(/)必须使H(t,= maxH(Lx ,w,X)uEU或使(最小值原理)tteu(ill)满足相应的边界条件 若两端点固定，则正则方程的边界条件为x(0) = xo, x(tf) = xfo 若始端固定，终端七也固定，而x(0)自由，则正则方程的边界条件为x(0) = x0 , A(tf ) = (pg),x(tf ) o 若始端固定，终端都自由，则正则方程的边界条件为1（0） = X。，人（。）=%）（0 , X0/ ），H （。, x（tf ）,以（。）,人（。）+% x（tf ） = 0