四边形周长最小值问题解析

四边形周长最小值问题解析程峰【专题名称初中数学教与学【专题号】G352【复印期号】2011年01期【原文出处】初中数学教与学(扬州)2010年10期第2023页【作者简介】程峰，江西省彭泽县杨梓中学(332713)。【关键词】EEHH笔者曾发表过线段长度的最值问题解析一文，其中举了两个例子，都是周长的最大值问题。本文专门讨论四边形周 长最小值问题。四边形周长的最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定例1已知抛物线y二心，+故+与y轴交于 点4(0,3)，与鼻轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点，如图1所示,圈1()求此抛物线的解析式；(2) 若点D为线段OA的一个三等分点,求直 线OC的解析式；(3) 若一个动点P自的中点M出发，先到 达h轴上的某点(设为E)，再到达抛物线的对称轴 上某点(设为点F),后到达点X,最后回到点求 使点P运动的总路程最短的点点F的坐标，并 求出这个最短总路程的长.解(l)y-(x-3)2 -y；(2)当D(0,l)时,直线M为y = - x + 1;当D(0,2)时，直线少C为(3)易知点P运动的路线是四边形牝点 P运动的最短路程就是四边形MEFA周长的最小值，由于=因此要求ME + EF+AF的和最4小.如图1所示,作点A（0,3）关于抛物线的对称轴 对称的点芯（6,3），点股（。号）关于x轴对称的点 3M,（0,-子）*则ME+EF危宜最短,设直线 州*为7 =奴 3,则f6fc + 6=3t/.直线为尸 y.直线书祕与X轴交于点（2,0） ,与直线用=3 交于点F（3）.二 ArMfl =抄*(3 +奇）号故点P运动的最短路程是号+ y =9.点评 在一边确定的情况下，要使四边形的周 长最小I应通过作已知线段端点的对称点,把另外 三条边转化到同一条线段上二,粗对两边确定例2 如图2,在平面直角坐标系中，矩形 Q4C8的顶点。在坐标原点，顶点A,B分别在与 轴寸轴的正半轴上34=3,05=4,点。为边08 的中点（1）若点E为边Q4上的一个动点，当 海的周长最小时，求点E为 的坐标.（2）若点E,F为边OA 上的两个动点，且EF = 2,当四 边形CDEF的周长最小时，求点&F的坐标，并求出四边形Z一充 CDEF周长的最小值、（2010年；iy天津市）解析（L）略；图2(2)v CD= 而，时=2,要使四边形EDEF的 周长最小，就要使DE + CF的和最小，因此要设法 把转化到同一直线上，作点Z关于蓝轴对 称的点Di，把沿x轴正方向平移2个单位到D 连接5交x轴于点F,则DE + CF = ZTF + CF = 彼”最短，如图2所示一lF(0,2),.,.ZT(0,-2),0”(2,-2),又。(3,4),二直线C的解析式为y = 6-14.(拘C)= JCG2 + D修=布 -757.二四边形CDEF周长的最小值为2 + /13 + /37.点评 当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过作对称点加平移，把另外两边转化到同一 直线上。例3如图3，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,4)，把AAOB绕点O按顺时针方 向旋转90，得到 COD。求(1 )求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上 取两点E,F(点E在点F的上方)，且EF=1，当点E,F在何位置时，四边形ACEF的周长最小，并求出最小值。JA4Af0! A x图3解(l)C(0,2),D(4,0)；(2) y=+弟+4；(3) 由于AC急旧,EF = ,要使四边形ACEF 的周长最小,只需要AF + 况的值最小,抛物线y =-土顼 4的对称轴为x = 如图3所示，把点 A向上平移到由（-2,1）.则乂F = AE,作由关于 对称轴* =】的对称点为（4,1）,连接A.CtA2C与 对称轴交于点E,E为所求.易求得直线A2C的解 析式为1 。V = % + N.4当*=时，尸彳E（ 1,勺.又vFF = lf点F在点E的下方,A2C- /42 +12 = /T7+ CE =+ CE AF + CE.所以当E（ I,j,F（】孑）时，四边形ACEF的周长最小，最小值为1 +2A+应：三，三边和确定第四边的长不确定例4如图4,抛物线-十喝#3与史轴交于耳壬两点，直线位）的函数表达式为了 = S3疗，抛物线的对称轴I与宜线BD交于点C,与尤轴交于点&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），以点A为圆心，以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点 B为圆心，以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN,BM,MN。求证：AN=BM；在点P运动的过程中，四边形AMNB 的周长是否有最小值，若有，求出该最小值。（2010年济南市。有改动）解析(1)4(-】,0),成3,0),：(1,2疗)；(2)在 RlACE 中，悟口乙以 =羿=右二匕CA=60气由抛物线的又4称性知I是线段AB的垂直平分线，a4C = Z?C,. 用?C为等边三角形，二 AB = BC-AC4f A ABC = LACB = 60 气又 v AM AP,BN = Bl. BN“M,二 AA BCM, AN-BM；AM 二 AP,RNP,二部+伽二腴+时=恤=4.要使四边形AMVB的周氏最小，只要使MN最小.设AP = m,(0m4)测CM = 4 m 1CN m,过点M作MFJLBC,垂足为点F,则MF = MC * sin60 =(4 -m),=m S(4 - m)1_ ?=云A在Rt MNF中，由勾股定理得MN2 -MF1 +F/V2=y(4-m) +(ym-2)= 3m2 - 12m + 16(0 m 4).当THM -尸I =2时，防广有最小值4,故V有最 小值2,所以四边形砒憎的最小值为4+4 +2 = 1Q点评 当一边长确定，另两边的长不确定，但其和确定时，要使四边形周长最小，只要使第四边最小。为此要把第四边 与和确定的两边联系起来，得到关于第四边的函数关系式，再运用函数的有关知识确定第四边的最小值。四、相邻两边的长确定例5如图5，已知A(-1,5),B(-3,3),C(-4,1)在y轴上找一点D，使得四边形ABED的周长最小，并求出点D的坐标。解析 作点A关于y轴对称的点A,连接A,C交y轴于点D,则四边形ABCD的周长最小（证明略）。易求得直线At的解析式为图5点评当相邻两边的和确定时，要使四边形的周长最小，只要使另外两条相邻边的和最小，为此用到一个常见的基本图 形，如图6,点M,N是两定点，点P是直线l上一动点，作点M关于直线l的对称点M，连接MN交直线l于点P，则 PM+PN=PM+PN=MN 最小。图6小结 四边形周长最小值问题常以平面直角坐标系为背景，所求的四边形常与抛物线、三角形、圆等图形相结合。考查 的知识点主要是点的对称、平移、两点之间线段最短以及一次函数、二次函数等有关知识，考查的思想方法主要是方程与函数的 思想，数形结合的思想，化归思想等。NU1DA20110328