第8章湍流边界层中的动量传递

第八章湍流边界层中的动量传递首先明确可用雷诺数表述层流与湍流的转折，以及该转折下的雷诺数的具体数值；其次， 指出层流与湍流在微分方程的表述上的差异体现在湍流应力项，普朗特混合长度模型和Van Driest 模型均被用来解决湍流应力项； Couette 流动假设对于求解微分方程起了至关重要 的作用；还讨论了有散逸和表面粗糙度的处理。8.1 边界层流动现象的物理分析流动：是成群的流体微团的运动。边界层内流动过程中的小扰动随机出现，由于小扰动 的能量有限，因此仅仅会影响到个别流体微团的初始运动状况，但也因此而引发整体微团的 流动状态。层流：个体流体微团的流动方向，在整体上具有一致性的流动现象。个别流体微团因小 扰动而引发的初始流动方向的改变，因为受到与相邻流体微团之间存在着的粘性力作用的影 响，使得这种外界扰动的作用随着时间的推移而减小，最终使流动稳定。因此，层流流动的 特点，很大程度上归因于流体微团之间存在着的粘性力，当层流受到外界扰动时，粘性力具 有使层流恢复到初始未扰动状态的效应。湍流：个体流体微团的流动方向，在整体上不具有一致性的流动现象。虽然小扰动影响 的依然是个别流体微团，但此时微团之间的粘性力的作用，已经不足以消除小扰动造成的影 响；反之，个别受扰动流体微团的不稳定流动，又将影响到周围流体微团，进而造成更大范 围内的流体微团的不稳定流动。分析这种不稳定流动现象形成的因素，只能是因为流体微团 的流动动能而引发，即所谓的流体的惯性力。因此，湍流流动的特点，在于流体微团自身的 惯性力，它使得局部扰动扩大，造成整体流动的不稳定。雷诺数：雷诺数就是惯性力与粘性力之比，d 惯性力puxRe =粘性力卩因此人们预料：层流流动的稳定性，在很大程度上和雷诺数的数值有关，稳定层流流动 和低雷诺数值相联系。流动沿程的定性结构：由雷诺数的定义可知，边界层流动的初始前缘，必然是层流流动；以后，随着流动长度 的增加，惯性力渐增，随机随处存在的小扰动而引发的个别微团的不稳定流动，也因此有逐 渐扩大的可能性；当惯性力远大于粘性力后，湍流流动最终形成。在由层流最后扩展到完全 湍流的过程中，必然存在一个过渡区，在这个区域内，惯性力和粘性力具有相同的数量级。因此，流动沿程的定性结构为：首先是层流区，其次是过渡区，最后是湍流区。临界雷诺数：因此，我们可以用雷诺数来描述流体流动的结构。于是必然存在某一临界 雷诺数，该值确定了层流流动的上限或湍流流动的下限。现在通常讨论的是层流流动的上限。临界雷诺数的一般性判据：实验现象： 无压力梯度/光滑表面/简单层流：长度雷诺数=300,000500,000 时，发生过渡； 零压力梯度/层流：长度雷诺数60,000 时，仍保持稳定层流结构； 管道中层流：水力直径雷诺数2300 时，层流流动仍然稳定。上述临界雷诺数是在一定实验条件下获取的。希望建立与实验条件基本无关的关于临界 雷诺数的一般性判据，假定过渡现象是局部的（小扰动随处存在，但只有在临界雷诺数出现 的地方，才会出现过渡现象），则局部雷诺数判据具有一般性，这时我们已经忽略了平板流和管道流，以及诸如压力梯度、光滑表面等的实验差异。如果采用动量厚度雷诺数，对于平板外部层流边界层8 二 0.664 巴2pupu 8 2x =g_20.4409卩8 2 = 0.6642 竺=0.4 4 0竝2pupugg则局部的临界雷诺数判据为，Re = Pg = 60,000 x，临界卩x = 60,000 旦pug60,000 =10.44092联立以上两式，消去x,得，Re = 0.4409x 60,000 = 162.65828.2 湍流边界层沿高程分布的定性结构实验观察：我们越过过渡区而直接讨论充分发展的湍流区。工程设计中，通常假设过渡区的长度与层流区相同，并且假定摩擦系数、对流传热系数 等均从层流区连续变化到充分发展的湍流区。实验观察到充分湍流区至少存在两种层段（两层模型）： 粘性起支配作用的层段：它位于紧靠壁面的附近，这里的动量传递与热量传递主 要依靠粘性剪切和分子传导两种简单的机制予以计算；实质上是层流边界层的一 种继续发展，当到达临界局部雷诺数时，该点变为局部不稳定，因而出现局部边 界层的破坏，并最终导致底层保持恒定厚度雷诺数的情形出现。 充分湍流层段：它是边界层的最大组成部分，这里的速度与时间有关，可以观察 到“漩涡”运动，并且动量与热量的传递率，一般比由粘性剪切和分子传导所传 递的大很多。其内在原因就是相对于平均速度的法向速度分量的存在，使得流体 微团至少在瞬时在法向上有着运动，该运动的流体携带有动量和能量，由此引发 动量与热量传递率的大幅增加。根据图10-2P198Fig.10-2中关于混合长度的实验测量，我们可以把湍流边界层中沿 高程的层段分布得更为细致一些： 在（0-0.025*9 :底层层段：紧靠壁面的区域，粘性起主导作用； 在（0.025-0.16）99:高正比层段：湍流开始发展，与长度基本无关； 在（0.16 - 0.3299:抛物线层段：湍流发展变缓，与长度基本无关； 在（0.32-0.7） 99:低正比层段：湍流不再发展，与长度基本无关； 在（0.7-1.0:边缘波动层段：不同长度下数据有波动，表明边缘形状的不规则。99湍流边界层沿高程分布的细致结构图10-2给出的实验测量数据P198Fig.10-2,明确指出湍流边界层的高程分布可分解为5个层段：粘性底层层段、正比层段I、过渡层段、正比层段II、边缘层段。8.3 普朗特混合长度理论 湍流“封闭”问题的数学表述对于边界层的层流区域，其微分方程为dpu 丽+(G udxxdu卩dx dy I dy 丿对于边界层的湍流区域，其微分方程为，饗 + Uu)+?Gu)d0dxx二 x-dp+du卩 dxdy ( dy 丿u v 上式中代表湍流应力在流动方向上导数的项:pu人般被发现可以忽略不计，但被dx是上式可以重新写为，dpu 丽+(7 u)+ (7 u dx xdy y二 X-dp+2d()视为视在湍流剪切的导数项害l不 却决不能忽略不计，它是方程中起支配作用的项。于dy与边界层层流的动量微分方程相比，边界层湍流的动量微分方程多了; I怎L因dy此，为了进行湍流边界层的计算，我们或是需要关于uV项的数据资料，或是需要计算该项 的一种理论。这就是称之为湍流“封闭”的问题。 关于u V项一一 朗特混合长度理论在高正比层段(0.025-0.1699要解决这样的问题：随着u的增大，流体微团的惯性力也逐渐增强，这就导致脉动速度u,v的增大，视在湍流剪切的导数项这时决 dy 不能忽略不计，因为它在方程中起支配作用。我们需要计算该项的一种理论，以解决湍流方 程的“封闭”问题。普朗特混合长度理论是几种方案中的一种，在所有提议的方案中，最简单的仍然是这种 理论。首先，为了和uv * 相一致，这种理论认为在高正比层段内，最大脉动速度可以表 dy述为，了 duu 1 和v kldu最大dy最大dyu - vk (du 丫2 2 &丿混合长度定义式如下，i (Qu丫u V二-12 lQy丿其次，我们依然面临要假定l值的问题。鉴于高正比层段(0.025-0.16)在离壁面99不太远的区域里，普朗特推论，离开壁面的距离是唯一有意义的长度尺寸。假定l和该距离 有关，令比例系数为K,则有，l=K y 以上就是普朗特混合长度理论的全部内容。是否正确，依赖于边界层中不同点测量的结 果来证明K是不是一个常数。图10-2表示沿表面五个不同测点上l的一些典型实验测量。在壁面附近区域，实验数 据看来的确可以很好地用上式来表示，并且K (通常称为冯卡门常数)所取的值大概为0.41。显然，普朗特混合长度理论很好地表述了高正比层段内的脉动速度的增长情况，/ du)2u v二-Ky Idy丿J 0.41 y QU Idy丿高正比层段内，湍流的漩涡强度开始发展和增强，粘性影响已经不复存在。在较外面的边界层部分抛物线层段：(0.16-0.32)99，混合长度与离开壁面的距离不 在保持常数，而是呈下降的抛物线关系，K值是y的函数。这表明抛物线层段内的脉动速度增长得到减缓，/du)2u v二一 Ky Idy丿K(y)y 字dyk (y) 0.0 8 599 dy与势流边界的接触及其不稳定性导致边缘的波动 8.4壁面定律关于uv项动量和热量传递率的定性解释在第四章中，已经将湍流流动速度处理成规则速度和脉动速度的矢量和，其中脉动速度 强烈地与时间有关。既然已经把uv定义为视在湍流应力，仿照切应力，视在湍流应力似乎可以表示为,duduuv xn u v 一dyM dy于是湍流边界层的微分方程可以进一步改写为(7 u)+ (7 udx xdy ydpu 丽+apdX + 卩+ p dx dy I dy 丿 dy (du、M dy丿引入质量方程，并且在如下条件下定常、忽略体积力考虑上式，有+ S M丿dududu + v dxdy dy+丄 dP0P dx相同条件下的层流边界层微分方程的表述为1 dP 八+ 0I P dy 丿 p dxdudud | u duu + v dxdydy I p dy以上两式相比，我们看到：湍流边界层中所以有动量与热量传递率的大幅度增加，关键在于有了项，即湍流扩散贡献能与分子扩散贡献进行比较。M在大多数情况下，发现充分湍流区中 U p，而在紧靠壁面的粘性底层中MU.P。对于-_ du _du u + v dx亠OM出p J的情形，可以用以下的微分方程去描述, )1 dP ndx7化du dy dy Ip、r dy 丿 它对应着湍流边界层中3 - 0.025J5对于Mdududu + v -dxdy dy的粘性底层。99VP的情形，可以用以下的微分方程去描述, du、 I M dy 丿1 dP n+ 0 p dx它对应着湍流边界层中(0.32-0.7 ) 99的低正比区段。现在，还有湍流边界层中的高正比区段(0.025 0.1699 和抛物线区段 G.16 0.32)5 99 未曾有描述。普朗特混合长度理论描述的是高正比区段(0.025 0.1699。 壁面附近总切应力分布的表达式 对于动量方程，我们关心的是壁面附近的状况，因为切应力发生在这个区域内。+ S M丿_ du_dudu + v dx dydy+丄 dP0P dx由上式，定义总视在切应力等于分子切应力与湍流切应力之和，可表示为+ Ip m丿dudy改写湍流动量微分方程，_du_du Qt dP 八pu+ pv-+= 0Qx Qy Qy dx壁面附近的考虑： 在紧靠壁面的区域，可忽略Pu学 项。Qx 在壁面附近区域，v二v0。满足上述条件的流动称之为Couette流动假定，相应的流动区域称为Couette流动区。在某 些情况下， Couette 流动区可包括整个边界层厚度的三分之一之多（？与图10-2 的结果 不相符合）。于是，上述偏微分方程就变成一个常微分方程，du Qt dP 八pv-+ 二 00 Qy Qy dx积分上式，积分限是：pv fy攀dy-Jy甞dy+Jy字dy0 0 Qy0 Qy0 dx=pv Ju du - Jt dT + Jy dP dy 0 0t 00 dx=pv u - G -T )+ dP (y - 0) 00 dx_() dP 八=pv u T T 丿 +y = 000 dx pv u整理得：二 1 + TT00无量纲参数表示的壁面附近总切应力分布的表达式 上式等号的左边，切应力的比值表现为无量纲。我们希望等号右边的诸物理量也用无量 纲参数来表示。根据摩擦系数c = 右 ），定义一个摩擦速度u ,fp u 2 2Tc u2,Tu 2 0 f 帝u 0-T p2p于是，形成如下一组无量纲参数，u u u uu + =二 =uT T 0 p -竺），对 P MM P上式进行积分:Tdu =0 dyH 粘性底层th duo =- nPP dy从壁面开始积分上式，fu du =H Jy dy0H0_ T u =-o y引用u +和y+的定义:u uu+ =uT；yVTPA 0-厂TH Bu+0 =7yP Hyu pT Hyp、订+ p ”T1 0对于p +二0（v0 = o）的基本情况发现两层模型的y+的临界值是y+ = 10.8。Tdudur du)2(n di du )-0 = 8u v = -， u V=-K y=-0.41 y 丁PMdyM dyI dy JIdy丿 充分湍流:22这一引用似乎有以下的错误:普朗特混合长度有效的区段并非To =K 2y2PQu是充分湍流段，而是在紧靠壁面处充分湍流段内,PU c项似乎不可忽略，因此Couette Qx流动假设部成立。但是我们还继续往下讨论。弓|用u +和y +的定义，uU + =uTdu 二 u du+Ty+yu P毛dy = dy+PuT2pu1 U2 _K 2 -y+u du + xT-dy丿TIpuT丿TH2=K 22 (y +)( 、pu 2厶Tdu+2 Pu丿I H丿 162.65，均为充分湍 流区域)的实验测试数据与两层模型理论计算的对比： 该实验数据涉及到部分的粘性底层： u+ _y+ 该实验数据涉及到全部的普朗特混合长度区段： u+ _ 2.439ln y+ +5.0 在粘性底层与普朗特混合长度区段之间，仍然存在着过渡区段(Van Driest)。 普朗特混合长度区段之外，就是由漩涡发展到漩涡停止发展的过渡区。数据拟合我们也充分注意到，图10-3中的实验数据与理论预测并不完全吻合。对粘性底层段以外的数据进行拟合，得到如下经验关系式，u + 二 8.75 +）7上式对于直到y+二1500的实验数据均能够吻合得很好。8.6 动量边界层的近似解 关于U += 875（ J7的适用范围虽然上式是在恒定自由流速度（没有压力梯度）的情况下导出的，但对于相当强烈的加 速流动和适度的减速流动，也是很好的近似解。可是，当存在吹出或吸入时，它完全无用 上式在边界层的相当高度内可以认为是有效的。的近似解0假定上式在整个边界层有效，边界层厚度为，速度为u，则,00uU=u + = 8.75, + 人（iA=8.757=8.75ypjp 0： pl严丿u = 8.75 -5 S p S7T14+2 p 114*2 g0=8.75-5 17 p 17171 47 p-470=8.75-5 p-7 h-F 470u 74 = 8.75?4 -5 X4p4H14Tg0t = 8.75-74 - u0=0.02246- pu2 -u -145-14p-J4H*4-1474- *4 p 34 H *4=0.02246 - pu 2 -gggpu g-l H丿在第六章中曾经谈到关于层流的若干边界层的厚度及其彼此间的关系a）边界层厚度：5 = 4.641 竺pu人gb）排量厚度：5 =1-73 I p1 V pugc）动量厚度：5 = 0.6642：巴2 pug现在我们有了湍流边界层中的速度分布表达,C !一 、ypjjp 0卩丿亠=8.75将上式分别代入，dy5 = J1-卫10 I p u 丿=Jg01-丄 8.75 ；=- P 、g5 =32=Jg0puggu丿g-厂 yPxpdy711-T11 -8.750 -ugdy排量厚度和动量厚度的结果，$ = 0.1255 = 0.097霭=129=H用动量厚度表示壁面切应力，t = 0.02246 - pu 2 -0g5 pu2(0.097=0.01253 - pu 2 -g=0.01253 - pu2 - Re -14g52cT,匚=0.01253 - Re 二 42pu 252g推导5 2 = f C)的函数关系T0 +p u 2gg若：v = 0.00P v-0-puggdPgdxd5cZdx1 dpgP dxg则上式变为，5+ 2 + 15丿 2丿1 dug u dxgggtd5q0 =2 +5P u 2dxgg5 pu21 duu dx0.01253H丿d55= 2 + 3.29u=吧 + 5 |(2 +1.29)丄丝 dx 2u dxg？dxdudx、d5 - 4 u 4.11= 0.0156u 3.86(2g 丿g(pj？g4dx0.036 (叶2 u 3.29(P丿I xu3.86dx0g0.8当u = const.，上式可简化为, g5 =2 u 3.29g0.2 ( ) u 3.86 - x力.80.036 (卩2= 0.036u 3.29 (p丿g(H0.2C 3.86 - x)8gx=0.036化23丿u 3.86x0.8-3.29 x0.8-1g= 0.036 Re-0.2xg？cf = 0.0287 Re-0.22 x8.7 散逸边界层以上讨论的是不能渗透C = 0）的壁面情形。如果壁是多孔的，并且有流体“吹出”边0界层，或从边界层中“抽吸”流体，则会发生C丰0）的情况。采用散逸这个名称，作为在0表面有吹出、吸入、喷射、表面处有质量传递等情况的相互可替换的一般性描述。 散逸改变了湍流边界层的分布，并且显著影响着切应力分布，从而也就强烈影响着粘性 底层的厚度。湍流边界层的动量方程，_ du_duu + vdxdy1 dPP dx=0令与二0 （无压力梯度条件）, dx上式为，_ du _ dudu+ v一一dxdydy (p应用 Couette 流动近似：u匹0,dxfP + 8 dy dy 1( pdu d v0积分上式，积分限：八(du y = 0: T =T = H 0 d 丿 0y = 5 : t = 0.0, u = uv Jydudy-Jyd0 0 dy 0=v udu -Jyd0 0 0(pH+ 8M丿dudydydudy=v (u - 0)0+ 8(P M丿dy 丿ydy丿0应用第一个边界条件，并且注意到粘性底层处有： 8 M因此有，(pdyH ( du、p( dy 丿0整理后再行积分，积分上限用第二个边界条件，Jug0du=f5dyv u +t p 0 8 + p00M11 (- T )-ln v u + 00 P丿0 +1 =J5ugv(0V u p0_gIT 0丄lnv0定义，Bvu=_g_gT0则，ln v u +-0 - In 0 (0 g p 丿dy0 8 M话v u0 gTpu 20gV u0gcf2IP丿ln( + B )_ v j-d _ 二Bu j-f 0 0 s +yp 2 f g 0 s +ypMMc lnC + B ) 1f _2lnG + B )lim匚二 limB” t0bb” T01 + B1j- d0 S +P PM上式对应着C =o)的情形，相应的摩阻系数为,c -fl 2丿01j- d0 S +P PM于是，有散逸的C丰0)和不渗透壁面的C = 0)情形下摩阻系数之比为,0cln G + B )匚_2(c )-f-l2丿0 关于散逸边界层的字_ f 6 )22cln( + B )？亠 _d 2 B二 0.01253 + Bf ) Re-签B-2c 关于散逸边界层的_ln( + B )ln( + B )匚 0.0287 Re-0.2Bx8.8 表面粗糙度的影响表面粗糙度定量描述的建立粗糙度度湍流边界层的影响，主要在壁面处。用符号为 k 的一个长度量纲，作为描述 s粗糙度基元的尺寸,它真正是关于粗糙的实际尺寸。粗糙度的无量纲表述，逻辑上应以剪切 速度作_.叮0为基础，这样就导致一个粗糙度雷诺数，用它作为表面粗糙度的一种无量 纲的量度，RekPu ks根据Re k值，可对表面粗糙度的三种状态进彳亍判别(显然这种判别是人为的): Re 5.0:完全光滑表面（空气动力学光滑表面）k 5.0Re 70.0 :充分粗糙表面（粘度不再是一个有意义的变量）k 表面粗糙度的处理问题：当Re 70.0时，粘度不再是一个有意义的量，这意味着粘性底层的完全消失。于 k是，切应力对壁面的传递，不再能依靠粘性，而必须依靠别的不同的机制。解决：采用普朗特混合长度方案，这寸，壁面上的混合长度不再等于零，于是下式不再有效, 心k y 适合于高正比层段（0.025 - 0.16，不适合粘性底层99 对于充分粗糙表面，混合长度显然必须是有限量，我们用一个所谓的近壁混合长度方程 来进行模化，.L=k（y + 8j ）适合于充分粗糙表面，可一直延伸到表面0应用壁面坐标方案时，8y的无量纲形式是6y丄，00（8y厂沁0 卩实验发现，近壁混合长度可以近似表达为， 丄=0.031Re0kdu +1数学：借用： =，引用近壁混合长度,dy+ ky+du+dy+0积分上式，注意到充分粗糙区没有粘性底层，故而积分下限是Y+= 0，1y +u + = In 干+1 KGy人L 0 0把= 0.031Re代入上式,0ku + = lnY+ +1/V + 1=丄1口1 Y + +1=丄In32.258 y + +K（5y人K0.031ReKRe00kk上式对完全光滑表面不适用因为ks = 0 = Rek =罟=0。对于y + Re (进入到充分湍流层)，第二项可忽略, k32.258 y+Re_k11 32.258=In y + + InKK Rek 8.9连续壁面定律：Van Driest模型以上涉及的是关于湍流边界层的勺两层模型，改进两层模型有许多十分可能的方法。对于 包含一个完全粘性底层 C= )的任何模型，动量方程解也许完全令人满意。但在 + A( 1 ) lim l =Ky 1 ytyoV ey A 丿用无量纲参数予以表述，l =K yl1 Vey+ a+丿适合于高正比层段G.025 0.16)599 和粘性底层与两层模型相比， Van Driest 模型在计算整个边界层的总切应力的过程中，任何地方 都即不忽略财，也不忽略比;P。与两层模型相比，Van Driest模型增加了 a+参数，因此需要予以确定。对于没有压力梯度或散逸的边界层，已经确定A + = 25.0，如图10-3所示。压力梯度和散逸(还有表面粗糙度，或许还有其他因素）显著影口刨+。以上这些叙述表明，Van Driest模型中釆用的 特定函数，是没有任何理论基础的。8.10 本章小结 以动量厚度描述的雷诺数可以界定层流流动的上限：Re只=162.65 ； 实验观察给出关于充分湍流区的简单的两层模型，实验数据则指出充分湍流区存在着 5 个层段； 与层流相比，湍流的描述多了uv项，这就是湍流“封闭”问题的由来； 解决不的最为简单的理论就是普朗特混合长度模型，其实这是基于两层模型基础上 的。混合长度也得到实验数据的支持； Couette 流动假设对于最终获得湍流边界层内沿高程的速度分布的定量表达至关重要， 对于无压力梯度、无散逸情形，结合两层模型，应用普朗特混合长度模型，我们可以得I u + = y+到：彳；I u + = 2.4391n y + + 5.0cc数表述为：丁 = 03321Re-0.5 ,2x湍流关于湍流边界层的摩阻系数表述为：寸=0.0287 - Re - 0.2，而关于层流边界层的摩阻系0.0287Re -0.2=x = 0.0864Re0.3 ；0.3321Re-0.5x层流关于有散逸的湍流边界层，其摩阻系数的求解方式，是直接借用无散逸的湍流边界层的 ln（ + B有散逸=上述结论，找出两者的比例系数：x（cf X无散逸 表面粗糙将会导致粘性底层的消失，这使得两层模型失效。为解决这种失效，引入粗糙 度雷诺数，并将普朗特混合长度模型应用至表面。相应的无量纲速度方程为：u + = 2.439y + + 8.473 - lnRe将粗糙和光滑表面的无量綁速度相减，得到Au +=.+ ?-.+ ，其结果为，/）粗糙光滑|Au + = Y.439ln y + - y + 丿+ 8.473 - ln ReI Au + = 3.473 - lnRekVan Driest 模型虽然改善了普朗特混合长度模型中的过渡层段，并且也非常好地适合无压力梯度与无散逸的现存实验数据，但却缺乏任何理论基础。对于实验数据所揭示的五层段湍流结构现象，本章未作详细描述。