第二章离散控制系统

第二章 离散控制系统张秦艳主要内容n2.1 离散系统基本概念n2.2 离散系统的差分方程描述n2.3 Z变换及反变换 n2.4 线性离散系统的Z传递函数描述n2.5 线性离散系统的性能分析2023-3-222张秦艳2.1 基本概念n离散系统n采样过程n量化过程n采样控制系统2023-3-223张秦艳离散系统n离散量：在时间上不连续的物理量。n离散系统：只要有一个以上的物理量是离散量的控制系统。r(t)+-He(t)Se*(t)Gc(t)2023-3-224张秦艳模拟量输入通道组成工业装置信号处理装置1信号处理装置2信号处理装置n.采样单元I/O接口电路CPU采样保持和放大器A/D控制电路2023-3-225张秦艳采样过程n把时间连续的信号变成一连串不连续的脉冲时间序列的过程称为采样过程或离散化过程。2023-3-226张秦艳续nf(t）是时间上连续且幅值上也连续的信号;nf*(t)是时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号，因它是一连串的脉冲信号，又称为采样信号。n采样开关两次采样（闭合）的间隔时间T，称为采样周期，采样开关闭合的时间，称为采样时间。0,T,2T各时间点为采样时刻。采样后的f*(t)可描述为nnnTttfnTtnTftf)()()()()(0*2023-3-227张秦艳采样保持电路工作原理控制信号AS输入+-A1输出CH+-A22023-3-228张秦艳A/D转换引起的不确定误差n孔径时间 ：A/D转换器完成一次A/D转换所需的时间。DAt/2023-3-229张秦艳续1n令n n式中，为正弦模拟信号的幅值；f为信号频率。nA/D转换起始时刻:;结束时刻 ;转换延迟所引起的误差是 。tUUmsintfUtUdtdUmmcos2cosmU0t1tU2023-3-2210张秦艳续2n可见，时，最大，孔径时间 一定，这时 就最大。n则有n取 ，则得 时转换的不确定电压误差为n相对误差为dtdUDAt/UfUtUm2DAtt/0t0tDAmftUU/21002/100/DAmftUU2023-3-2211张秦艳结论n一个10位的AD转换器，若要求:n 转换精度为 n 孔径时间 n则允许转换的正弦波模拟信号的最大频率为stDA10/HztfDA1610102100/1.026/%1.02023-3-2212张秦艳香农(Shannon)采样定理n其中 为信号所含的最高频率，为采样频率。n工程上，一般取 ，过程惯量越大，系数越大。max2SmaxSmax)105(S2023-3-2213张秦艳量化过程n所谓量化，就是采用一组数码(如二进制码)来逼近离散模拟信号的幅值，并将其转换为数字信号。2023-3-2214张秦艳续n量化单位q是指量化后二进制数的最低位所对 应的模拟量的值。设 和 分别为转换信号 的最大值和最小值，则量化单位为 式中：i转换后二进制数的位数。n例如，模拟信号 16V、=0V，取i=4，则q=1V,量化误差最大值 =0.5V。maxfminfmaxfminfiffq2)(minmaxmaxe2q2023-3-2215张秦艳量化值和编码的对应关系2023-3-2216张秦艳微型机I/O接口电路D/A转换器D/A转换器.通路1通路n微型机I/O接口电路D/A转换器多路开关输出保持输出保持.通路1通路n模拟量输出通道一个输出通路一个D/A转换器形式共用D/A转换器形式2023-3-2217张秦艳r(t)tr(t)+-b(t)负反馈e*(t)te*(t)计算机uc*(t)tuc*(t)D/Auc(t)tuc(t)控制对象c(t)tc(t)测量元件采样控制系统e(t)A/De(t)t计算机控制系统框图n 系统中传递的信息既有数字的也有模拟的，称之为采样控制系统，以区别传递信息全为数字量的离散时间系统。2023-3-2218张秦艳2.2 离散系统的差分方程描述n差分方程n用差分方程描述离散系统n差分方程的解法2023-3-2219张秦艳差分方程 差分方程：用t时刻变量差值来代替微分方程中的变量微分所得到的方程。当系统的微分方程为n阶时，则差分方程可写为一般形式：)()1()(01kcankcankcn)()1()(00010kkrbkmkrbkmkrbmm式中 nm2023-3-2220张秦艳举例n线性非时变离散系统 n非线性定常离散系统 n线性时变离散系统)2()(3)1(2)(krkrkckc)1(4)()2(6)3()1(3)(22krkrkckckckc)2()()2()(2krekrkkkckck2023-3-2221张秦艳用差分方程描述离散系统 用差分方程描述离散系统的过程就是建立该离散系统数学模型的过程。建立数学模型一般有两种方法：系统模型化 系统辨识2023-3-2222张秦艳本息支付问题 n开始时借人资金c(0)，欠款支付利息的利率每期为100%,现打算每期付相同款项r，N期还清本息。试建立欠款本息支付过程的数学模型，用以计算rn 设c(k)为第k期时的欠款。根据要求，第一期欠款为 rcc)0()1()1(第二期欠款为。rcc)1()1()2(第k期欠款为这样，已知c(0)、N及c(N)=0，可从上式求解出r。rkckc)1()1()(2023-3-2223张秦艳例1有两种解法：n1.积分n2.差分)()()(0trKtctcdtdT2023-3-2224张秦艳解法1将上式两边分别从k到(k+1)进行积分，可得:tktkTtTtkTtkdttreKtkcTetkcTe)1(0/)1()()()1(左右同除 ，等式右边换元 得:TtkTe/)1()()1(tkcetkcTttTtTtTtdettkreK00)()(k ttt)()()(0trKtctcdtdT)()(0treKtcTedtdTtTtdttrKetcTedTtTt)()(左右同乘以 得:Tte/2023-3-2225张秦艳续1有时为了强调是序列，而不是作为时间的变量则上式可改写为当 时，n.#)()()()(kreKkcekcTtTt1101/TtTteTt/1)()()1()1(0krTtKkcTtkc设在 上 相当于在采样开关后记了一个一阶保持器，则tt0)()(tkrttkr)()1()()1(0tkreKtkcetkcTtTt2023-3-2226张秦艳解法2)()()(0trKtctcdtdTtkckctcdtd)()()(1)()()()1(0krKkctkckcT令则整理得)()()1()1(0krTtKkcTtkc2023-3-2227张秦艳2.3 Z变换nZ变换的定义式nZ变换性质nZ反变换n用Z变换解差分方程2023-3-2228张秦艳已知有拉氏变换定义式由广义脉冲函数 的性质：令 把 记作E(z)定义Z变换为Z变换的定义式00000*()*()*()()()()()ststkstkEsL etet edte kTtkT edte kTtkT edt()t0()stkTstkT edteTsez 0)()()(*kkTtkTete0)()(kkzkTezE*()Es2023-3-2229张秦艳Z变换与拉氏变换对比拉氏变换z变换连续函数离散函数微分方程差分方程tkTsz2023-3-2230张秦艳Z变换方法n级数求和法n部分分式展开法n留数计算法2023-3-2231张秦艳级数求和法 n级数求和法是根据z变换的定义式求函数e(t)的z变换。2023-3-2232张秦艳(1)单位脉冲函数设 ，求z变换E(z)。因为 只有在t=0处值为1，其余均为零，所以有 (4-28)()(tte)(t1100zzkTezEkk)()(2023-3-2233张秦艳(2)单位阶跃信号设e(t)=1(t)，求z变换E(z)。(4-29)这是一个公比为 的等比级数，当 即时，级数收敛,则式(4-29)可写成闭合形式 (4-30)02111kkzzzkTzE)()(1z11z1z)1(111)(1zzzzzE2023-3-2234张秦艳(3)单位理想脉冲序列设 ，求z变换E(z)。（4-31）0kTkTttte)()()(032111kkzzzzkTzE)()()1(1111zzzz2023-3-2235张秦艳(4)单位斜坡信号 设e(t)=t，求z变换E(z)。0kkzkTzE)(10zzzkk20111)()(zzkkk)()(1120zzTzzkTkk由式(4-29),式(4-30)有 (4-32)将式(4-32)两边对z求导数，并将和式与导数交换得两边同乘(-Tz)得单位斜坡信号的z变换 (4-33)2023-3-2236张秦艳(5)指数函数 设 ,求z变换E(z)，a 为实常数。这是一个公比为 的等比级数，当 时，级数收敛，可写成闭合形式 （4-35）atete)(0kkakTzezE)(332211zezezeaTaTaT)(1 zeaT11zeaTaTaTezzzezE111)(（4-34）2023-3-2237张秦艳(6)正弦信号设 ，求z变换E(z)因为 所以 ttesin)()(21sintjtjeejtkkkTjkTjzeejzE0)(21)()()(002121kkkTjkkkTjzezejj21)(TjTjezzezzjzE1)()(212tjTjTjTjeezzeezj1cos2sin2TzzTz2023-3-2238张秦艳求取z变换的部分分式法)()(11sssE111)1(1)(sssssEtetssLte)(1111)(1)(1)(tetZzE)()(TTTezzezezzzz111设 ，求 的z变换。此时可将E(s)进行部分分式展开：再求其拉氏反变换再利用式(4-30)和式(4-35)得(4-41)(*te2023-3-2239张秦艳Z变换表2023-3-2240张秦艳Z变换的主要运算定理n线性性质n初值定理n终值定理n脉冲序列平移定理n 1）右位移（延迟）定理n 2）左位移（超前）定理n像函数位移定理12(1)()()(0)()(2)(1)nnZ e tnTzE zee T zeT ze nT z)()(10nkknzkTezEz2023-3-2241张秦艳续n脉冲序列加权的Z变换定理n像函数微分定理n差分的Z变换定理n求和的z变换定理n脉冲列的卷积定理2023-3-2242张秦艳Z反变换n定义n常用方法：综合除法:例4-7部分分式展开法:例4-5，例4-6留数计算法2023-3-2243张秦艳例4-7已知)2)(1(10)(zzzzE21123110)2)(1(10)(zzzzzzzE试求其z反变换。解应用综合除法得 所以 321703010)(zzzzE)3(70)2(30)(100)(*TtTtTtte2023-3-2244张秦艳例4-6 已知Z变换试利用部分分式法求其z反变换。123)(22zzzzzE解：的特征方程式为 解得 为两重根。设 可得 为求 ，先将方程两边同乘 ，得 )(zE0122 zz12,1z)1()1()(221zAzAzzE2)1()13()1()()1(122121zzzzzzzzzEzA2A2)1(z212)1()()1(AzAzzEz2023-3-2245张秦艳再将上式两边对z求导，得 所以 设T=1，查表得 采样函数 3)13()()1(1122zzzdzdzzEzdzdA)1(3)1(2)(2zzzzE)1(3)1(2)(2zzzzzE23()1()e tttTT *03()21()()ketkkTtkTT2023-3-2246张秦艳用Z变换法解差分方程n步骤：n举例：例4-11差分方程以z为变量的代数方程查表X(z)Z反变换X(k)代入初始值，整理2023-3-2247张秦艳 用z变换法解下列差分方程：已知初始条件 。求 解：对方程两边进行z变换 化简 代入初始条件 0)(2)1(3)2(kckckc1)1(,0)0(cc)(kc0)(2)0(3)(3)1()0()(22zCzczzCzcczzCz)1()0()3()()23(22zcczzzCzzzzCzz)()23(2例4-112023-3-2248张秦艳所以 查z反变换表得 21)2)(1(23)(2zzzzzzzzzzzC,.2,1,0,)2()1()(kkckk2023-3-2249张秦艳2.4 Z传递函数描述n1.Z传递函数定义n2.开环系统（或环节）的Z传递函数n3.闭环系统的Z传递函数n4.z变换的局限性和扩展Z变换n5.脉冲传递函数的求取2023-3-2250张秦艳1.Z传递函数定义n脉冲传递函数n 在零初始条件下，系统（或环节）输出离散信号的z变换式 与输入离散信号的z变换式 之比。)(zXo)(zXi)()()(zXzXzio2023-3-2251张秦艳1）Z传递函数的推导n推导思路是：先求出连续部分之理想脉冲序列作用下的连续输出，即从r*(t)求出c(t)，然后再对c(t)采样求出c*(t)及其z变换，最后得出)()()(zRzCzG2023-3-2252张秦艳n因为n则n取任意时刻 t=kT,则上式成为n两边同乘 ，并k对取和式得式（4-79）0*)()()(kkTtkTrtr0)()()(kkTtgkTrtc)()()()()()0(kTtgkTrTtgTrtgr)2()2()()()()0()(TkTgTrTkTgTrkTgrkTckz00)2()2()()()()0()(kkkkzTkTgTrTkTgTrkTgrzkTc2023-3-2253张秦艳n上式右端各项可分别写为n第一项：n第二项：n因为当时t0，g(t)=0，所以g(-T)=0，由此n同理第三项为021)2()()0()0()()0(kkzTgzTggrzkTgr021)()0()()()()(kkzTgzgTgTrzTkTgTr0211)2()()0()()()(kkzTgzTggzTrzTkTgTr0212)2()()0()2()2()2(kkzTgzTggzTrzTkTgTr 2023-3-2254张秦艳021)2()()0()(kkzTgzTggzkTc)2()()0(21zTrzTrr00)()(kkkkzkTrzkTg)()()(zRzGzC)()()(zRzCzG下面各项以此类推，将上面各项代回式（4-79）并整理后得 由z变换定义式得即 这就是开环系统的Z传递函数，由式（4-80）知（4-80）0k)()(kzkTgzG)(zG)(tg 所以Z传递函数 ,就是连续系统脉冲响应函数经采样后 的z变换。)(*tg2023-3-2255张秦艳2）求Z传递函数的步骤1）先求出系统连续部分的传递函数 。2）对 进行拉氏反变换，求出连续系统脉冲响应函数 。3）对 采样，求出离散系统脉冲响应函数4)求离散系统脉冲响应函数 的 变换，即求出传递函数 z)(zG)(sG)(sG)()(1sGLtg)(tg0*)()()(kkTtkTgtg)(*tgz0)()(kkzkTgzG2023-3-2256张秦艳例4-13 设计算机控制系统的被控对象的传递函数是 试求连续部分的 传递函数。有两种解法：1.先求模拟传函，然用部分分式法，查表求每一部分的z变换。2.由模拟传函求脉冲响应函数，再由位移定理求出每一部分的时间函数，再由z变换定义式进行z变换。ssG)(0z2023-3-2257张秦艳解法解法1 1 系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为 求其z传递函数 根据z变换的线性定理和实位移（延迟）定理 有 )()1()(1)(0ssesGsesGTsTs)()1()()(ssezsGZzGTs)()()()()(ssZzssZzssZzG1112023-3-2258张秦艳ssZzzG1111)()(11111111zezzT)(1111zezeTT)(TTeze1由此可见，可简单地提到z变换符号之外，变换成 将 展开成部分分式，在查z变换表得)1(1 z)(ss)(Tse12023-3-2259张秦艳tetssLssL)(111)(11)(1)(1)(TtTseTtessL解法解法2 先求出 的连续脉冲响应函数 。利用位移定理求出)(sG)(tg所以)()(1)(1)(TtteTtettg2023-3-2260张秦艳求 的z变换，并应用延迟定理，得 )()(1)(1)(TkTkTeTkTekTkTg)()()()()(*kTteTkTekTtgkTkTkT011)(*tg)()()(*tgZtgZzGTTezzzzzzezzzz1111TTeze12023-3-2261张秦艳3）串联环节的z传递函数r(t)r*(t)R(z)G1(s)d(t)d*(t)D(z)G2(s)c(t)c*(t)C(z)G1(z)G2(z)G(z)=G1(z)G2(z)4-4a（相隔）2023-3-2262张秦艳r(t)r*(t)R(z)G1(s)G2(s)c(t)c*(t)C(z)G(z)=G1G2(z)d(t)4-4b（相联）2023-3-2263张秦艳例（P111）设 对于图4-4a所示开环系统，其z传递函数 而图4-4b所示开环系统，其z传递函数 很明显 ssGssG)(,1)(21 TezzzzsGZsGZzGzGzG1)()()()()(21211212()()()()(1)()(1)()TTG zGG zZ G s G szeZs szze)()()(2121zGzGzGG2023-3-2264张秦艳4）有零阶保持器的开环系统Z传递函数r(t)r*(t)seTs1)(sGPc(t)c*(t)r(t)r*(t)TsesG1)(1ssGsGP)()(2c(t)c*(t)结论：G(z)的极点数及其分布情况只决定于GP(s)而和零阶保持器无关。2023-3-2265张秦艳 )()()1()()()()()(21212zRzGzzRzGzzRzGzC)()(12zRzGzz ssGZzzzGzzzRzCzG)(1)(1)()()(2)()()(1ssQsPsGnkkksscscscsQssPssGsG3221122)()()()(所以，开环系统z传递函数 在控制系统中常见的情况为 是s的有理分式，无重极点，且含有一个s=0的极点，即 )(sG证明：证明：2023-3-2266张秦艳)()()()()0()0()()()0()0()()(1212102122102121limkkkkssksssQssPsQsdsdsssPdsdcQPssQssPcQPdsdssQssPdsdcknkTskkezzczTzczzcssGZ3221)1(1)(nkTskkezzczTzczzczzzG3221)1(11)(式中 从z变换表可找出相应的z变换于是，开环系统的z传递函数为 nkTskkezzczzcc321)1(12023-3-2267张秦艳3.闭环系统的z传递函数n 推导 d306,d3072023-3-2268张秦艳推导)()()()()()(*tctrtetctrte对上式进行z变换有：)()()()()()()()()(zDzEzXzGzXzCzCzRzE于是由闭环脉冲传递函数定义式有：)()(1)()()()()(zGzDzGzDzRzCz2023-3-2269张秦艳典型闭环离散系统方块图P117表4-31.系统的环节相同，但采样开关的个数或位置不同，则系统的闭环脉冲传递函数(或C(z)将是不同的。如表中的插图1、3及插图 6、7。2.表中图2,5和6所示系统的输出信号C(z)中不包含R(z)，因此，该系统得不出闭环传递函数，只能以C(z)表示。2023-3-2270张秦艳4.Z变换的局限性和扩展z变换n1）z变换的局限性 实际的开环或闭环采样系统，其输出大多是连续信号c(t)而不是采样信号c*(t)。而用一般的z变换只能求出采样输出c*(t)，它不能反映采样间隔内的c(t)值。2023-3-2271张秦艳例4-18 设开环采样系统如图所示，采样周期 ，试比较 与 。)(1)(ttrsT1)(*tc)(tcr(t)r*(t)c(t)c*(t)11s 解 由于采样信号未经保持器直接加入系统中，故脉宽 对系统有影响。实际上要将结果乘上 ，才能使系统的总增益不变。下面为讨论方便，未计入 的影响。1先用 变换法求 ，因为z)(*tc1)(zzzRTezzsZsGZzG11)()(2023-3-2272张秦艳TezzzzzRzGzC1)()()(,1sT)368.0)(1()(2zzzzC432156.155.15.1368.11)(zzzzzC)2(5.1)(368.1)()(*TtTtttc)3(55.1Tt所以代入 得用幂级数法求得于是2023-3-2273张秦艳作出c*(t)曲线如图所示2023-3-2274张秦艳 现在我们用拉氏变换法，求环节1/(s+1)在理想脉冲序列 作用下的连续输出c(t)。因为 所以 而 对上式进行拉氏反变换，并考虑到延迟定理有 )()(ttrT0)()()(kTkTtttrTsTsTseeesR321)()(11)(sRssC)3(1)2(1)(1)1)()()3()2()(1TteTteTtetesCLtcTtTtTtt（2023-3-2275张秦艳作出c(t)曲线如图所示2023-3-2276张秦艳)()(*kTckTc0)(limssGs比较图4-14和图4-15，看出连续信号c(t)在采样瞬时呈现跳跃，即 其原因是由于连续环节1/(s+1)只能平滑阶跃输入，而不能平滑脉冲输入，所以在采样点处出现跳变。如果连续环节改为1/s(s+1)，那么就能平滑冲击输入，或在1/(s+1)前面加一零阶保持器，使脉冲输入转换为矩形脉冲输入，这样1/(s+1)的输出就不会产生跳变。由此得出结论，当连续部分的输入直接为理想脉冲串(即冲击序列)时，其传递函数必须满足极点数比零点数多两个以上，即满足条件 2023-3-2277张秦艳2）扩展z变换n扩展z变换法由于能够计算区间 (k-1)TtkT之间的e(t)值，因而缓和了在z变换中的限制。n 1)对象具有延迟环节的系统的z变换：n 这里是指延迟环节的延迟时间不是采样周期的整数倍的系统。2023-3-2278张秦艳0)()()()()(kkzkTgsGZzGtgLsG)()(),(lTtgLesGlsGlTs设某系统的传递函数为G(s)，其单位脉冲响应为g(t)。显然 当系统含有延迟环节时，如图4-16b所示，系统的传递函数记为 其中0l1l)1()(),()1(TmtgLesGmsGTsm为方便计算，令m=1-(4-99)l，则式(4-99)成为2023-3-2279张秦艳)()(),(kTtTmTkTgmkg0)1()(),(kTktmTkTgmkg0)1()(),(kTskemTkTgmsGTsez 010)1()()(),(kkkkzmTkTgzzmTkTgmzG)(1mTsesGZzg(t-(1-m)T)的采样序列应为 当k=0时，(mT-T)0，g(m T-T)=0，故 对上式进行拉氏变换，得延迟系统的传递函数 令，则系统的z传递函数为 该式即为系统具有时间为(1-m)T的延迟环节的扩展z变换。2023-3-2280张秦艳)()(),(TtgLesGsGTs10TskkesGZzTkTgzG)()(),(02)若假设延迟环节具有负延迟(超前)，则 按照求G(z，m)相同的方法，可求得 2023-3-2281张秦艳1),(3.10TsTsesseZmzG)()1()()1(3.0113.0TsTsTsTsessZzzesseeZ)()(7.01-3.0TsTsessZzessZ解 现在求 例4-19 求图4-17所示系统的闭环z传递函数。2023-3-2282张秦艳3.0l7.0m)()(sssE7.0m117.01111-011)1(),(zezezzzzmzGTT),()(),()(),()()(),(00mzGzDmzCzRmzGzDzEmzC由于，所以，因此是求，的扩展z变换，不难得出 所以),()(1),()(),(00mzGzDmzGzDmz)7.0(7.017.01)7.0(1)11()(TtTsTseTtessLessL2023-3-2283张秦艳5.脉冲传递函数的求取n1.由差分方程求取 用Z变换，补充例1d301n2.由微分方程求取 先转化为差分方程，照1做,补充例2d303n3.由G(s)求取(两种方法)1)先转换为微分方程，照2做 2)G(s)g(t)G(z),补充例3d3042023-3-2284张秦艳例1 已知某离散系统的差分方程为且 ，求解：对上式进行z变换将上两式代入原式有0)(2)(3)2(kTfTkTfTkTf0)0(f1)(Tf)(*tf)0()()(zfzzFTkTfZ)()0()()2(22TzffzzFzTkTfZ0)(2)0(3)(3)()0()(22zFzfzzFTzffzzFz2023-3-2285张秦艳以初始条件 ，代入上式有由上式有查表得所以0)0(f1)(Tf2()3()2()0z F zzzF zF z2()3212zzzF zzzzzkktf)2()1()(*)2,1,0(kkzZ aza2023-3-2286张秦艳例2 求数字PID调节器的脉冲传递函数已知PID调节器的微分方程为其传递函数为现将它离散化，并求取对应的脉冲传递函数便可将微分方程 写成如下的差分方程dttdekdttektektxdip)()()()(skskksEsXsDdip)()()(dttetX)()()()1()(kTTeTkxkTx2023-3-2287张秦艳对上式进行z变换有于是积分环节的脉冲传递函数可写成于是PID调节器的积分部分的脉冲传递函数)()()(1zTEzXzzX11)()(zTzEzX11)(1zTzKzTKzDiii2023-3-2288张秦艳微分部分e(t)在t=KT时刻的导数可近似用下列差分方程来代替对上式进行z变换，即可得微分部分的脉冲传递函数PID调节器的脉冲传递函数，根据线性定理可写成TTkekTedttdeKTt)1()()(TzzKTzKzDddd11)(1TzzKzTzKKzDdip)1(1)(2023-3-2289张秦艳例3 求系统连续部分的脉冲传递函数G(z)设被控对象的传递函数解：连续部分的传递函数00()1KG sT s)1()1()()()1()1()(1)(000sTseKZsGZzGsTseKsGsesGTsTsTs2023-3-2290张秦艳由z变换的线性定理和延迟定理，可得将代入前式有)1()1()1(1)1(1)(0010sTsKZzzsTsKZzsTseKZzGTs）（）（)(1()1()1(1)1(100000TTTTezzezTssTZsTsZ00)1()(TTTTezeKzG2023-3-2291张秦艳(一)S平面到Z平面的变换 1.S平面上的 在Z平面上的映射 图4-21 2.S域主副频带在Z域的映射关系 (1)主频带在Z域的映射 图4-22 (2)副频带在Z域的映射 图4-23 3.S左半平面在Z域的映射 图4-24 4.S右半平面在Z域的映射 图4-25(二)朱利-阿斯特隆姆稳定判据 例4-29(三)二阶离散系统的稳定判据 例4-32(四)离散系统稳定性的劳斯-霍尔维茨稳定判据 例4-332.5 线性离散系统的稳定性分析2023-3-2292张秦艳1.S平面上的 在Z平面上的映射Tsez 2023-3-2293张秦艳2.(1)主频带在Z域的映射2023-3-2294张秦艳2.(2)副频带在Z域的映射2023-3-2295张秦艳3.S左半平面在Z域的映射2023-3-2296张秦艳4.S右半平面在Z域的映射2023-3-2297张秦艳设线性定常离散系统的特征方程为:0)(1110nnnnazazazazA 第一行系数，用特征方程的高次幂系数到低次幂系数顺序排列；第二行系数，是将上行系数倒序排列而成；第三行系数，采用以下公式求得 (4-150)即表中第三行系数为 第一行首系数第一行末系数第二行系数第一行系数0111aaaabnn0111aaaabnnn000aaaabnnn朱利-阿斯特隆姆稳定判据0000aaaabnn2023-3-2298张秦艳显然，算至最后一个系数 必定为零，即 这样，每经过一次这样的运算，系数就少掉一个。第四行系数，是第三行系数的倒序排列，也即所有偶数行的系数都是上一奇数行系数的倒序排列。第五行系数的算法又类似于第三行，即采用如下公式 (4-151)nb000aaaabnnn第三行首系数第三行末系数第四行系数第三行系数2023-3-2299张秦艳即 即最后一个系数为零，又少掉了一个系数。01100bbbbcnn01211bbbbcnn01122bbbbcnnn001011bbbbcnnn2023-3-22100张秦艳2023-3-22101张秦艳朱利-阿斯特隆姆稳定判据：离散系统特征方程（4-149）的所有根都在Z平面单位圆内的充分必要条件为，朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零。即 如果有小于零的系数，其个数表明特征方程的根在Z平面单位圆外的个数 0000000000mlcba2023-3-22102张秦艳例4-29离散系统的特征方程 试判别系统的稳定性。解：按前述方法构造朱利表 1 -3 +2.25 -0.5-)-0.5 2.25 -3 1 0.75 -1.875 0.75 0.75 -1.875 0.75 0当算到第5行，发现首列系数已为零，已不满足朱利判据，可断定系统不稳定。05.025.23)(23zzzzA15.075.075.02023-3-22103张秦艳例4-32二阶离散系统稳定的充分必要条件为：0)1(0)1(1)0(AAAR(s)T=1seTs1)1(ssKC(s)(zGC(z)T 设线性定常离散系统的结构如图，若取开环增益K=1，试比较T=1s和T=4s时系统的稳定性2023-3-22104张秦艳解：在例4-31开环传递函数G(z)的公式中代入K=1，并考虑到闭环特征方程A(z)=1+G(z)=0,经整理得闭环特征方程即或 T=1时，闭环系统的特征方程为 0)1()1(2111zzeTzT01)2()1(12zTzTeT0)1()2(2TTezTz0)1()21(12ezz0632.02 zz625.05.02,1jz直接解上式，得一对特征根为2023-3-22105张秦艳所以可见，和 位于单位圆内，所以系统是稳定的。由稳定判据：A(0)=0.6320,A(-1)=2.6320,也能判定该系统是稳定的。T=4时，闭环系统的特征方程为 直接解上式，得特征根为 显然 ，即 位于单位圆外，所以系统不稳定。由稳定判据：A(0)=0.927,A(1)=3.927 A(-1)=-0.0730，可知该系统不稳定。由上例可见，当采样周期大到一定程度后，系统就可能出现不稳定 796.0)625.0()5.0(2221 zz1z2z0)41)24(42ezz（092672.022 zz135.1,865.021zz1135.12z2z2023-3-22106张秦艳步骤如下：1）求出离散系统的闭环特征方程2）进行 变换，求出3）应用劳斯-霍尔维茨稳定判据，判别稳定性若系数 的符号不相同，则系统不稳定建立劳斯-霍尔维茨计算表0)(zA0|)()(11zzAAnnaaaa,110劳斯-霍尔维茨稳定判据2023-3-22107张秦艳04321343212753116420ccccbbbbaaaaaaaannnn其中 ,.1,1,1716013514012312011aaaaabaaaaabaaaaab,.1,1,1417113315112213111bbaabcbbaabcbbaabc2023-3-22108张秦艳 若上述计算表中第一列各元素均为正，则所有特征根均在 平面的左半平面，闭环系统稳定。若上述计算表中第一列出现负数，则闭环系统不稳定，第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。2023-3-22109张秦艳例4-33R(s)T=1seTs1)1(ssKC(s)(zGC(z)T 用劳斯-霍尔维茨判据确定图中系统增益k的范围解 已得闭环系统的特征方程，即2(0.3681.368)(0.3680.267)0zKzK令 代入方程并整理得11z0632.0)528.0264.1()104.0736.2(2KKK2023-3-22110张秦艳建立劳斯-霍尔维茨计算表 2.736-0.104K 0.632K 1.264-0.528K 0 0.632K要使系统稳定，必须使该计算表中第一列各元素均为正，故有取三者的公共区，即0K2.39，则可保证系统稳定。210039.23.2600.632K00.528K-1.2640104.0736.2KKKK2023-3-22111张秦艳作业2n自动控制原理与系统(第2版)孔凡才 d316（12-7）已知)()(315sssF，试求F(z).(12-13）已知采样周期T=0.05，试判断此离散系统的稳定性。R(s)T=0.05s).(1104ssC(s)+-2023-3-22112张秦艳