多元函数基本概念12多元函数的极限与连

1.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1.1.1 n维空间维空间 点集的有关概念点集的有关概念nR12(,)|,1,2,nniRx xxxR in1212 (,),(,(,).nnnRx xxx xx中每一个元素可以看成是空间里的一个点 也可以认为是空间里的一个向量 以原点为起始点以为终点的一个向量定义定义1 内积内积1212(,),(,)(,),nnxx xxyy yyx y的内积是一个数 即1(,)niiix yx y:nR 里的内积有如下性质(1):(,)(,)x yy x对称性(2):双线性性质(,)(,)(,)(,)(,)(,)xy zx zy zxyzx yx z定义定义2 向量的长度向量的长度显然显然特别地特别地,21|(,)niixx xx|0(0,0,0)xx,nnxRyRxy点则 与 两点间的距离为21|()niiixyxy定义定义3 邻域邻域0 x 00000000,|,(,)();:|0|,(,)()nnDRxDRxxxxDxU xU xxxxxDU xU x设 是上的点集 点 为 上的一点是一正数称中点集为点 的 邻域记为或去心邻域是指记为或定义定义4 内点内点,外点外点,边界点边界点DP DP,nnDRxR设 是上的点集 点(3)(,)(,)(,)(),nxU xU xDU xRDxD如果点 的任一个 邻域都有与则称 是 的一个边界点.(2)(,),nxU xRDxD如果存在点 的一个 邻域则称 是 的一个外点.(1)(,),xU xDxD如果存在点 的一个 邻域则称 是 的一个内点.定义定义5 聚点聚点EP EP 0,nnDRxRDD设 是上的点集 点 为上的一个定点它可以属于 也可不属于000,.xDxxD如果 的任何邻域内都含有 中异于 的点则称 是 的一个聚点,.DDDDDDDD显然 的内点都是 的聚点 而 的边界点可能是 的聚点 也可能不是 的聚点当 为一个区域时 则 的内点及边界点都是 的聚点例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点定义定义6 孤立点孤立点.7为开集则称的点都是内点，如果点集定义EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集.,000的孤立点为则称都不属于外其余各点的某一个邻域内除点若点DxDxx22(,)|01x yxy是连通的开集，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集如果对于设定义DDDD8定义定义9 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo定义定义10 开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域.开区域和闭区域统称为区域开区域和闭区域统称为区域(域域).如果存在正数如果存在正数M,使得对于域使得对于域E中的任意点中的任意点P(x,y)到原点的距离小于到原点的距离小于M,即即 ,则称则称E为有为有界域界域,否则为无界域否则为无界域.Myx22 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的值按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义定义11 二元函数的定义二元函数的定义1.1.2 多元函数的定义多元函数的定义例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD （6）二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:1.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续1.2.1 二元函数的极限二元函数的极限-二重极限二重极限定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数，总存在正数，总存在正数，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf这里这里|0PP ）.说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 求二元函数的极限也称为二重极限求二元函数的极限也称为二重极限 方法方法1.利用定义求利用定义求方法方法2.利用一元函数的极限去求利用一元函数的极限去求例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 播放播放（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总 存 在 正 数总 存 在 正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等 式|00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP)(lim0.n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域域为为点点集集0,PD是是其其聚聚点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.定义定义2 2、多元函数的连续性、多元函数的连续性例例5 5 讨论函数讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取,cos x sin y333320cossin lim00lim(,)xyf x y故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 0(0,0)f从而从而330lim(sincos)例例6 6 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在一切多元初等函数在其定义区域内其定义区域内是连续的是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 例例8 求求2210ln()limyxyxexy解解显然显然(1,0)为函数的连续点为函数的连续点,所以所以2210ln()lim(1,0)ln2yxyxefxy例例9 求求2222ln()00limx yxyxye解解取取,cos x sin y则则222200limln()xyx yxy42220limsincosln即即2240lnlim2sincos42201limsincos022222ln()00lim1x yxyxye多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义小结小结 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否断断定定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz