资源描述
D16重要极限第六节极限存在准则 两个重要极限 第一章第一章 加逼准则加逼准则两个重要极限两个重要极限单调有界准则单调有界准则D16重要极限azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则夹逼准则(准则准则1),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件由条件(2),0,1N当当1Nn 时时,nya当当2nN时时,nza令令,max21NNN 则当则当Nn 时时,有有,ayan,azan由条件由条件(1)nnnzxya a即即,axn故故.limaxnn,2ND16重要极限注意注意:利用夹逼准则求极限重要的是构造出两个易利用夹逼准则求极限重要的是构造出两个易求极限的数列。求极限的数列。解解222211,11nnnnnnnn 21limlim11nnnnnn 又1,221limlim111nnnnn 1,222111lim()1.12nnnnn 222111().12limnnnnn 例例1 1 求求D16重要极限例例2.证明证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则利用夹逼准则.nnnnn222121122nnn22nn且且22limnnnn11limnn122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由P56 题题4（2）D16重要极限 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则准则准则1、.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0(0)xX()x ()x ()x 且且D16重要极限1sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积准则准则1的应用的应用 1sinlim.10 xxx证证:当当即即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，时，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1o11sincosxxx故有故有（*）D16重要极限说明：说明：（1）由（）由（*）式，可得重要不等式）式，可得重要不等式Rxxx,sin（2）极限极限1sinlim0 xxx的特点是：的特点是：00型未定式，型未定式，若若0)(lim0 xxx且在且在0 x的某去心邻域内的某去心邻域内在使用时，在使用时，,0)(x则则1)()(sinlim0 xxxxD16重要极限当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注D16重要极限例例.求求.tanlim0 xxx解解:xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例.求.arcsinlim0 xxx解解:令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1D16重要极限例例.求.cos1lim20 xxx解解:原式=2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21D16重要极限2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则准则2)121nnxxxxMmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1 nxM1x2xxmnx1nx1x2xx(证明略证明略)abD16重要极限333nx 例例3 3、证明数列证明数列证明证明133,x 13,nnxx213,nnxx 21limlim(3),nnnnxx 23,AA 113lim.2nnx （n n重根式）的极限存在重根式）的极限存在.1,nnxx 因为因为 nx是单调递增的；且是单调递增的；且 nx是有界的；是有界的；limnnx存在存在.13kkxx 333,3,kx 假定假定113113,22AA (舍去舍去)，解得解得P57 题题4（3）D16重要极限例例4.设设,),2,1()1(1nxnnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在.证证:利用二项式公式利用二项式公式,有有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2nP54 重要极限重要极限D16重要极限11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又又比较可知比较可知D16重要极限根据准则根据准则 2 可知数列可知数列nx记此极限为记此极限为 e,ennn)1(lim1 e 为无理数为无理数,其值为其值为590457182818284.2e即即有极限有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n2.exxx)1(lim1说明说明:此极限也可写为此极限也可写为ezzz1)1(lim0课本54页注解函数极限的单调有界准则函数极限的单调有界准则设函数设函数 f(x)在点在点x0的某个右邻域内的某个右邻域内单调且有界单调且有界，则，则f(x)在在x0的右极限的右极限 f(x0+)必定存在必定存在.例例5.求.)1(lim1xxx解解:令,xt则xxx)1(lim1ttt)1(lim1 1limttt)1(1e1说明说明：若利用,)1(lim)()(1)(exxx则 原式111)1(limexxxD16重要极限例例6.求1lim().1xxxx解解1:21222lim(1)111xtxx21e2e解解2：1lim()1xxxx1(1)lim1(1)xxxxx11(1)lim1(1)xxxxx1ee2e1lim()1xxxxlimx例例7.求.)cos(sinlim11xxxx解解:原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin11sinlim)1(0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注:代表相同的表达式代表相同的表达式 1、两个重要极限两个重要极限内容小结内容小结思考与练习思考与练习填空题填空题 (14);_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101eD16重要极限备用题备用题 求下列极限：求下列极限：)sin1(sinlim)1(xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示:xxsin1sin)1(21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小无穷小有界有界D16重要极限令1lim)2(x1 xt0limt)1(sin)2(ttt0limttttsin)2(0limtttt)2(2xxsin12D16重要极限0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e则有)()(1lim0 xvxxxu注意注意:若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1D16重要极限.sin12lim410 xxeexxx解解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式=1(2000考研考研)D16重要极限故极限存在，故极限存在，备用题备用题 1.1.设设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且且求求.limnnx解：解：设设Axnnlim则由递推公式有则由递推公式有12()aAAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，,01x故故axnnlim利用极限存在准则利用极限存在准则,0nxD16重要极限 2.设设,),2,1(0iai证证:显然显然,1nnxx证明下述数列有极限证明下述数列有极限.)1()1)(1()1)(1(12121211nnaaaaaaaaanx),2,1(n即即nx单调增单调增,又又nkkknaaax11)1()1(1111a1(1)nkkaa211)1()1(1)1()1(11kaa)1()1(111naa1nnx lim存在存在“拆项相消拆项相消”法法
展开阅读全文