材料力学答案第三单辉祖

材料力学答案第三单辉祖第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 2-1 试画图示各杆的轴力图。 题2-1图 解：各杆的轴力图如图2-1所示。 图2-1 2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。 (a)解：由图2-2a(1)可知， 轴力图如图2-2a(2)所示， 题2-2图 FN(x)=2qa-qx 1 FN,max=2qa (b)解：由图2-2b(2)可知， 轴力图如图2-2b(2)所示， 图2-2a FR=qa FN(x1)=FR=qa FN(x2)=FR-q(x2-a)=2qa-qx2 FN,max=qa 图2-2b 2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm，载荷F=50kN。试求图示斜截2面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。 题2-3图 解：该拉杆横截面上的正应力为 F50103N=1.00108Pa=100MPa 62A50010m斜截面m-m的方位角=-50o，故有 2 a=cos2=100MPacos2(-50o)=41.3MPa =sin2=50MPasin(-100o)=-49.2MPa 2杆内的最大正应力与最大切应力分别为 max=100MPa max=50MPa 22-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限sp、屈服极限ss、强度极限sb与伸长率d，并判断该材料属于何种类型。 题2-5 解：由题图可以近似确定所求各量。 该材料属于塑性材料。220106PaE=220109Pa=220GPa 0.001p220MPa, s240MPa b440MPa, 29.7% 2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长 l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。 3 题2-6图 F420103N解： =2.55108Pa=255MPa 22A0.010m查上述-曲线，知此时的轴向应变为 =0.0039=0.39% 轴向变形为 拉力卸去后，有 故残留轴向变形为 l=l=(0.200m)0.0039=7.810-4m=0.78mm e=0.00364， p=0.00026 l=lp=(0.200m)0.00026=5.210-5m=0.052mm 2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，板厚d=15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力。 题2-9图 解：根据 查应力集中因数曲线,得 根据 得 d/b=0.020m/(0.100m)=0.2 K2.42 F， K=max n(b-d)n= 4 KF2.4232103Nmax=Kn=6.45107Pa=64.5MPa 2(b-d)(0.1000.020)0.015m2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b=90mm，b=60mm，12板厚d=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力。 题2-10图 解：1.在圆孔处 根据 查圆孔应力集中因数曲线，得 故有 d0.010m=0.1111 b10.090mK12.6 K1F2.636103N8max=K1n1=1.1710Pa=117MPa 2(b1d)(0.0900.010)0.010m2在圆角处 根据 Db10.090m=1.5 db20.060mRR0.012m=0.2 db20.060m查圆角应力集中因数曲线，得 故有 3. 结论 K21.74 max=K2n2K2F1.7436103N8=1.0410Pa=104MPa b20.0600.010m2max=117MPa 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为2-14s，试确定载荷F的许用值F。 5 题2-14图 解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为 FN1=2F FN2=FN3=F 根据强度条件，要求 由此得 2Fs AF=sA 22-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为s。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的a值。 题2-15图 解：1.求各杆轴力 设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点B的平衡条件求得 2.求重量最轻的a值 由强度条件得 FN1=F， FN2=Fctan sinA1=FF， A2=ctan sina 6 结构的总体积为 由 得 V=A1l1+A2l2=FlFlFl2+ctan=(+ctan) sincossin2dV=0 d3cos2-1=0 由此得使结构体积最小或重量最轻的值为 opt=54o44 2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为s。若节点A和C间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定q的最佳值。 题2-16图 解：1.求各杆轴力 由于结构及受载左右对称，故有 2.求q的最佳值 由强度条件可得 结构总体积为 由 得 由此得q的最佳值为 FN1=FN2=F 2sinA1=A2=F2sinV=2A1l1=FlFl =sin2cossin2dV=0 dcos2=0 opt=45o 7 2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力s120MPa，许用切应力t90MPa，许用挤压应力sbs240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。 题2-17图 解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为 理想的情况下， d2Ft=s 4(D2-d2)Fb=sbs 4Fs=dht (a) (b) (c) Ft=Fb=Fs 在上述条件下，由式与以及式与，分别得 s h=d 4t 于是得 由此得 D=1+sd sbsD:h:d=1+ss:1 sbs4tD:h:d=1.225:0.333:1 12122-18 图示摇臂，承受载荷F与F作用。已知载荷F=50kN，F=35.4kN，许用切应力t=100MPa，许用挤压应力sbs=240MPa。试确定轴销B的直径d。 8 题2-18图 解：1. 求轴销处的支反力 由平衡方程Fx=0与Fy=0，分别得 由此得轴销处的总支反力为 FBx=F1-F2cos45o=25kN FBy=F2sin45o=25kN FB=252+252kN=35.4kN 2.确定轴销的直径 由轴销的剪切强度条件 得 =Fs2FB= Ad22FB235.4103d=m=0.015m 6pp10010由轴销的挤压强度条件 得 bs=FbFB=bs ddddFB35.4103d=m=0.01475m bs0.010240106结论：取轴销直径d0.015m=15mm。 2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。 解：剪应力与挤压应力分别为 题2-19图 50103Nt=5 MPa (0.100m)(0.100m)50103Nsbs=12.5 MPa (0.040m)(0.100m) 9 2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力s =160MPa，许用切应力t = 120 MPa，许用挤压应力sbs = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。 解：最大拉应力为 题2-20图 230103Nsmax=153.3 MPa 2(0.170-0.020)(0.010)(m)最大挤压与剪切应力则分别为 230103Nsbs=230 MPa 5(0.020m)(0.010m)4230103Nt=146.4 MPa 5(0.020m)22-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力s=6MPa，许用挤压应力sbs=10MPa，许用切应力t=1MPa。试确定钢板的尺寸d与l以及木杆的高度h。 题2-21图 解：由拉伸强度条件 得 由挤压强度条件 =F b(h-2)F45103h-2=m=0.030m b0.2506106 10 得 bs=Fbs 2bF45103=m=0.009m=9mm 62bbs20.2501010由剪切强度条件 得 F45103l=m=0.090m=90mm 62bt20.250110=F 2bl取=0.009m代入式，得 h(0.030+20.009)m=0.048m=48mm 结论：取 9mm，l90mm，h48mm。 2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力s=160MPa，许用切应力t=120MPa，许用挤压应力sbs=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。 题2-22图 解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知， FN1=F， FN2=3F/4 1=FN1F= A1(b-d)F(b-d)=(0.200-0.020)0.015160106N=4.32105N=432kN 2=FN23F= A24(b-2d)44F(b-2d)=(0.200-0.040)0.015160106N=5.12105N=512kN 33 11 2.考虑铆钉的剪切强度 图2-22 Fs=F 8Fs4F= 2A8dF2d2=20.0202120106N=3.02105N=302kN 3考虑铆钉的挤压强度 F4FbFsbs=sbsd d4d d Fb=F4ddbs=40.0150.020340106N=4.08105N=408kN 结论：比较以上四个F值，得 F=302kN 2-23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚d=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力t=100MPa，许用挤压应力sbs=300MPa，许用拉应力 s=160MPa。试校核钢带的强度。 解：1钢带受力分析 题2-23图 12 分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。 铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为 F6103N Fb=2.0103N 33孔表面的最大挤压应力为 sbsFb2.0103N=1.25108Pa=125MPasbs dd(0.002m)(0.008m) 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪，切应力为 Fb2.0103Nt=2.5107Pa=25MPat 2da2(0.002m)(0.020m)钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。 截面1-1与2-2的正应力分别为 FN12F2(6103N)s1=83.3MPas A13(b-2d)d3(0.040m-20.008m)(0.002m)FN2F6103Ns2=93.8MPas A2(b-d)d(0.040m-0.008m)(0.002m) 13 第三章 轴向拉压变形 3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比m=0.30。试计算该杆外径的改变量DD及体积改变量DV。 解：1. 计算DD 由于 故有 =mFFD ， =-me=-EADEA4mFD40.302001030.060D=D=-=-=-m22922EAE(D-d)8010(0.060-0.020） mFD =-1.7910-5m=-0.0179mm2.计算DV 变形后该杆的体积为 故有 3Fl200100.4003V=V-V=V(+2)=(1-2)=m(1-20.3)9 E8010 =4.0010-7m3=400mm3V=lA=(l+el)(D+D)2-(d+d)2=Al(1+)(1+)2V(1+2) 43-4 图示螺栓，拧紧时产生Dl=0.10mm的轴向变形。已知：d = 8.0mm，d = 6.8mm，12d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，s=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。 题3-4图 解：1.求预紧力F 各段轴力数值上均等于F，因此， 由此得 l=lFl1l2l34Fl1l2(+)=(2+2+32) EA1A2A3Ed1d2d3 14 El2101090.1010-3F=N=1.865104N=18.65kN l0.0060.0290.008ll+)4(12+22+32)4(2220.0080.00680.007d1d2d32.校核螺栓的强度 F4F418.65103N8max=2=5.1410Pa=514MPa Amind20.00682m2此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6，在5以内，故仍符合强度要求。 3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应-42= 2.010-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性变分别为1= 4.010与模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角q之值。 题3-5图 解：1.求各杆轴力 FN1=E11A1=2001094.010-420010-6N=1.6104N=16kN FN2=E22A2=2001092.010-420010-6N=8103N=8kN 2.确定F及之值 由节点A的平衡方程Fx=0和Fy=0得 化简后，成为 及 FN2sin30o+Fsin-FN1sin30o=0 FN1cos30o+FN2cos30o-Fcos=0 FN1-FN2=2Fsin (a) 15 联立求解方程(a)与(b)，得 由此得 3(FN1+FN2)=2Fcos (b) FN1-FN2(16-8)103tan=0.1925 33(FN1+FN2)3(16+8)10=10.89o10.9o FN1-FN2(16-8)1034F=N=2.1210N=21.2kN o2sin2sin10.893-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。 题3-6图 解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为 llFFl=dx=dx 0EA(x)0Edb(x) (a) 由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为 代入式(a)，于是得 b(x)=b1+b2-b1x ll=b2Fl1Fl dx=ln0b-bEb+21xE(b2-b1)b11l3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为r，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。 16 题3-7图 解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为 该处微段dy的轴向变形为 于是得截面B的位移为 FN=rgAy dy=rgAyEA ldy=rgyEdy Cy=rgE 0ydy=rgl22E () 3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量d。 题3-8图 解：1. 轴力分析 摩擦力的合力为 根据地桩的轴向平衡， 由此得 截面y处的轴力为 Fy= lkl3 fdy=kydy= 03 l2kl3=F 3k=3F l3 y*2*FN= y 0ky3 fdy=kydy= 03*2. 地桩缩短量计算 截面y处微段dy的缩短量为 17 积分得 将式(a)代入上式，于是得 d=FNdy EA= lFdyN 0EAk l3kl4 =ydy=3EA 012EA=Fl 4EA3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。 题3-9图 解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为l。 图3-9 以刚性梁为研究对象，由平衡方程MA=0得 由此得 由图3-9可以看出， 可见， 根据k的定义，有 FNa+FN(a+b)=F(2a+b) FN=F Dy=q (2a+b) l=y1+y2=qa+q(a+b)=q(2a+b) y=l (b) 18 于是得 FN=kl=ky y=FNF= kk3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。 题3-10图 解： 利用截面法，求得各杆的轴力分别为 FN1=FN2=F FN4=2F FN3=0 于是得各杆的变形分别为 Dl1=Dl2=Dl4=Fl (伸长) EA2F2l2Fl (伸长) EAEADl3=0 如图310(1)所示，根据变形Dl1与Dl4确定节点B的新位置B,然后，过该点作长为l+Dl2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A,此即结构变形后节点A的新位置。 于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为 Ax=0 Ay=Dl1+2Dl4+Dl2=Fl2FlFlFl +2+=21+2EAEAEAEA() 19 图3-10 解：显然，杆1与杆2的轴力分别为 FN1=F FN2=0 于是由图310(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为 Fl EAFl Ay=Dl1=EAAx=Dl1=3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，q应取何值。 题3-11图 解：1.求各杆轴力 由图3-11a得 FN1=F， FN2=Fctan sin 20 2.求变形和位移 由图3-11b得 及 3.求的最佳值 由dBy/d=0，得 由此得 图3-11 l1=FN1l1Fl2Fl2Flctan =， l2N22=2EA1EA1sin2EA2EA2l1l2Fl22ctan2By=+=(+) sintanEA1sin2sinA2-2(2cos2sin+cossin2)2ctancsc2-=0 22A1A2sin2sin2A1cos3-A2(1-3cos2)=0 将A1与A2的已知数据代入并化简，得 cos3+12.09375cos2-4.03125=0 解此三次方程，舍去增根，得 由此得的最佳值为 cos=0.564967 opt=55.6o 3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为sn=Be，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。 21 解：两杆的轴力均为 轴向变形则均为 于是得节点C的铅垂位移为 题3-12图 FN=F 2cosanFl Dl=el=l=2AcosaBBDlFnl Cy=cosa2nAnBcosn+1asn3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。 题3-13图 解：1.求各杆轴力 由Fx=0，得 由Fy=0，得 2求各杆变形 FN2=0 FN1=FN3=F=10kN 2 22 l2=0 FN1l101031.000-4 l1=m=5.010m=0.50mm=l3 EA20010910010-63求中点C的位移 由图3-13易知， 图3-13 x=l1=0.50mm()， y=l1=0.50mm() 3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移DB/C。 题3-14图 解：1. 内力与变形分析 利用截面法，求得各杆的轴力分别为 FN1=FN2=FN3=FN4=F2FN5=F 于是得各杆得变形分别为 Dl1=Dl2=Dl3=Dl4=Fl (伸长) 2EA 23 Dl5= 2. 位移分析 F2l2Fl= (缩短) EAEA如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段Dl3与Dl2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C，即为节点C的新位置。 可以看出， Dl52FlFl2+2FlB/C=2(Ci+iC)=2+2Dl3+2 =2EA22EA2EA()3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。 题3-15图 (a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为 该桁架的应变能为 2FN112212F2l22+1iliV=(Fl2+Fl)= 2EA2EA2242EA4i=13FN1=221F， FN2=-F， FN3=F 222依据能量守恒定律， 图3-15 F=V 2 24 最后得 2F2l22+1(22+1)Fl () =F2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下： i 1 2 3 4 5 FNi li 2FNili F 0 F F -2F l l l l 2l F2l 0 F2l F2l 22F2l (3+22)F2l 于是， 依据能量守恒定律， 可得 2FN(3+22)F2liliV= 2EA2EAi=15F=V 2=(3+22)Fl () EA3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移DB/C。 题3-16图 解：依据题意，列表计算如下： i 1 2 FNi 2F/2 2F/2 li 2FNili l l F2l/2 F2l/2 25 3 4 5 2F/2 2F/2 -F l l 2l F2l/2 F2l/2 2F2l (2+2)F2l 由表中结果可得 依据 得 2FN(2+2)F2liliV= 2EAi=12EA5W=Ve B/C=(2+2)Fl () EA3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。 题3-17图 解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为 22lFNFNVe=dx=dx 02EA(x)02Edb(x)l(a) 由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为 b(x)=b1+b2-b1x l将上式代入式,并考虑到FN=F,于是得 b1F2F2l V=dx=ln2 02Eb-b2E(b2-b1)b1b1+21xl设板的轴向变形为Dl，则根据能量守恒定律可知， l 或 Fl=V 2bFlF2l=ln2 22E(b2-b1)b1 26 由此得 l=bFlln2 E(b2-b1)b13-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。 题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为 F=0, F+F-FxAx-FBx=0 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。 AC，CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为 图3-19a FN1=FAx, FN2=FAx-F, FN3=FAx-2F Dl=得 FAxa(FAx-F)a(FAx-2F)a+=0 EAEAEAFAx-F=0 由此得 FAx=F FBx=2F-FAx=F 杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为 27 FN,max=F (b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为 Fx=0, qa-FAx-FBx=0 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。 AC与CB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为 图3-19b FN1=FAx, FN2=FAx-qx FAxa1a(FAx-qx)dx=0 Dl=+0EAEA得 qa212FAxa-=0 EA2由此得 FAx=qa 43qa 4FBx=qa-FAx=杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为 FN=max3qa 43-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力st=160MPa, 许用压应力sc=110MPa，试确定各杆的横截面面积。 28 题3-20图 解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力， FN1为压力，且大小相同，即 FN2=FN1 以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程 M=0, FN2a+FN1a-F2a=0 由上述二方程，解得 FN2=FN1=F 根据强度条件， FN120103NA1=1.81810-4m2 6sc11010PaFN220103NA2=1.2510-4m2 6st16010Pa取 A1=A2=182mm2 3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。 题3-21图 (a)解：此为一度静不定桁架。 设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由Fy=0，得 FN,BC+FN,AB=F (a) 后取节点A为研究对象，由Fx=0和Fy=0依次得到 29 及 FN,AD=FN,AG (b) 2FN,ADcos45o=FN,AB 在节点A处有变形协调关系 (c) 物理关系为 lBC-lAB=lAD=2lAD ocos45FN,AD2lEA(d) lBC=FN,BClEA， lAB=FN,ABlEA， lAD=lAG (e) 将式(e)代入式(d)，化简后得 联解方程(a)， (c)和(d)，得 FN,BC-FN,AB=2FN,AD (d) 2-122-2， FN,AB=， FN,AD=FN,AG=FFF 222(b)解：此为一度静不定问题。 FN,BC=考虑小轮A的平衡，由Fy=0，得 由此得 FN1sin45o-F=0 FN1=2F 在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，l20，故有 FN2=0 FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。 3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为s1=40MPa，s2=60MPa，s3=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。 30 题3-22图 解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。 图3-22 由图a可得平衡方程 Fx=0，F3N1=2FN2 F1y=0， 2FN2+FN3=F 由图b得变形协调方程为 lol1ctan30+2sin30o=l3 根据胡克定律，有 lF=F1=N1l1N1l1A， lFlFllFlFl2=N22=N21， 3=N33=N31EAA 112E13E2A23E2A3E3A33E33将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为 15FN1+32FN2=8FN3 联解方程(a)，(b)和(c)，并代入数据，得 FN1=22.6kN(压)， FN2=26.1kN， FN3=146.9kN 根据强度要求，计算各杆横截面面积如下： AFN122.6103221=m=5.6510-4m=565mm26 14010AFN2=26.1103m2-4260106=4.3510m2=435mm2 231 (a) (b) (c) (d)(c) FN3146.91032A3=m=1.22410-3m2=1224mm2 6312010根据题意要求，最后取 A1=A2=2A32450mm2 3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移dy=0.075 mm，试确定载荷F与各杆轴力。 题3-23图 解：1. 求解静不定 在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。 由平衡方程MA=0，得 FN2-F=0 2由变形图中可以看出，变形协调条件为 FN1+(a) 根据胡克定律， Dl1=2Dl2 (b) FN1lFl, l2=N2 EAEA将上述关系式代入式，得补充方程为 l1=(c) FN1=2FN2 联立求解平衡方程与上述补充方程，得 4F2F (d) , FN2=55 2. 由位移dy确定载荷F与各杆轴力 变形后，C点位移至C(CCAC)，且直线AC与AB具有相同的角位移q，因此，FN1= 32 C点的总位移为 又由于 由此得 d=CC=ACDl1=2Dl1 ABd=2dy Dl1=dy 将式与的第一式代入上式，于是得 F=5EAdy4l5(200109Pa)(10010-6m2)(0.07510-3m)=1.875104N -34(10010m)并从而得 FN1=1.5104N, FN2=7.5103N 3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。2试在下列两种情况下确定杆端的支反力。 (a) 间隙d=0.6 mm； (b) 间隙d=0.3 mm。 题3-24图 解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为 (200103N)(1.5m)FadF=0.57mm EA(210109Pa)(250010-6m2) 当间隙d=0.6 mm时，由于dFd，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。 杆的平衡方程为 图3-24 33 补充方程为 由此得 F-FBx-FCx=0 FaFBx2a-=d EAEAFBx=FdEA-22a9-62200103N(0.0003m)(21010Pa)(250010m) =-=47.5 kN22(1.5m)而C端的支反力则为 FCx=F-FBx=200 kN-47.5 kN=152.5 kN 3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为DT=DTBx2/l2，式中的DTB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与al。试求杆件横截面上的应力。 题3-25图 解：1.求温度增高引起的杆件伸长 此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长 全杆伸长为 lTBx2d(lt)=lTdx=dx l2 llTBx22lt= 0ldx=lTBl 32求约束反力 设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为 由变形协调条件 lF=FNlFl =EAEAlF=lt 34 可得 F=3求杆件横截面上的应力 EAlTBlEAlTB =l33FNFElTB =AA3=3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为D。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。 题3-26图 解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断，杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。 根据平衡条件，由图a可得 由图b可得 图3-26 FN1=FN2=FN3 (a) FN4=FN5 ， FN3=2FN4cos30o=3FN4 (b) 变形协调关系为(参看原题图) 依据胡克定律，有 将式(d)代入式(c)，得补充方程 =l1l4+l3 cos60ocos30o(c) li=FNili (i=15) EA(d) 35 =2FN1l2FN43lFN3l +EAEA3EA(e) 联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即 FN3=(9-23)EA(33-2)EA, FN4= 23l23lFN,BC=FN,GD=FN,GE=FN,CD=FN,CE(9-23)EA 23l(33-2)EA= 23l3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。 题3-27图 解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进d=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。 设螺栓所受拉力为FNb，伸长为Dlb，套管所受压力为FNt，缩短为Dlt，则由图b与c可知，平衡方程为 而变形协调方程则为 利用胡克定律，得补充方程为 FNb-FNt=0 (a) Dlb+Dlt=d FNblFNtl+=d AbEbAtEt(b) 最后，联立求解平衡方程与补充方程，得螺栓与套管所受之力即预紧力为 dAbEbFN0=FNb=FNt= l(1+k)式中， 36 k=AbEb AtEt3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为als=12.510-6-1与alc=1610-6-1。 题3-28图 解：设温度升高DT时钢杆和铜管自由伸长量分别为Ts和Tc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为 或写成 Ts+ls=Tc-lc ls+lc=Tc-Ts 这里，伸长量ls和缩短量lc均设为正值。 引入物理关系，得 FNslFNcl+=(lc-ls)lT EsAsEcAc将静力平衡条件FNs=FNc=F代入上式，得 F=EsAsEcAc(lc-ls)T EsAs+EcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得 =FSFEsAsEcAc(lc-ls)T= A2A2A(EsAs+EcAc)2001090.0302100109(0.0502-0.0302)(16-12.5)10-640Nt= 20.01022001090.0302+100109(0.0502-0.0302)m2 =5.93107Pa=59.3MPa3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两37 种情况下，画变形图，建立补充方程。 (1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为d； (2) 若杆1的温度升高DT，材料的热膨胀系数为al。 题3-29图 (1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D，即DD=d。 当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C。DD=l2，过C作直线Ce垂直于杆1的轴线，显然Ce=l1，即代表杆1的弹性变形，同时，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。 图3-29(1) 可以看出， DD=2CC 即变形协调条件为 d-l2=22l1 而补充方程则为 d-或 F2l4F1l-=0 EAEAEAd=0 l (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位F2+4F1-于C，即CC=al2lT。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线Ce垂直于直线CC，显然，eC=l1即代表杆1 38 的弹性变形，同时，DD=l2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。 图3-29(2) 可以看出， DD=2CC 故变形协调条件为 l2=22al2lT-l1 而补充方程则为 ()F2lF12l=22a2lT-l EAEA或 F2+4F1-4EAalT=0 3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与s，试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l+。试问当D为何值时许用载荷最大，其值Fmax为何。 题3-30图 解:此为一度静不定问题。 节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。 39 图3-30 由图a得平衡方程为 FN1=FN2， 2FN1cos30o+FN3=F 由图b得变形协调条件为 (a) 依据胡克定律,有 l1=l3cos30o (b) FNili (i=1,2,3) EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为 4 FN3=FN1 3将方程(b)与方程(a)联解，得 34 FN1=FN2=F， FN3=FFN1 4+334+33li=(c) (b) 由此得 max=FN34F= A(4+33)A(4+33)sA(4+33)sA , F=44为了提高F值，可将杆3做长D，由图b得变形协调条件为 Fl3+=l1cos30o式中，Dl3与Dl1均为受载后的伸长，依题意，有了D后，应使三根杆同时达到，即 由此得 4l+=l E3Ell4 =(-1)=3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有 Fmax=2(sAcos30o)+sA=(1+3)sA 40 第四章 扭 转 4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500Nm，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 1DdDdR0=(+)=20.5mm， d=-=1mm 22222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 T500N8 t=1.89410Pa=189.4MPa 2222R0d20.02050.001m依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 =189.4MPa 该圆管表面纵线的倾斜角为 189.4106g=rad=2.5310-3rad 9G751004-7 试证明，在线弹性范围内，且当R/d10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。 解：薄壁圆管的扭转切应力公式为 T 22R0设R0/=，按上述公式计算的扭转切应力为 TT =22R0223=(a) 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 极惯性矩为 由此得 d=2R0-， D=2R0+ Ip=R2(D4-d4)=(2R0+)4-(2R0-)4=0(4R0+2) 32322T(2b+1)TT(R0+)=(2R+d)= 02Ip2R0d(4R0+d2)bd3(4b2+1)