Mathematica学习之路538

Mathematica 入门教程 二.“表”及其用法 “表”是 Mathematica 中一个相当有用的数据类型，它即可以作为数组，又可以作为矩阵；除此以外，你可以把任意一组表达式用一个或一组括起来，进行运算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存，可以方便地进行插入、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。如果你建立了一个表，你可以通过下表操作符(双方括号)来访问它的每一个元素，如我们定义 table=2,Pi,Sinx,aaa,A*I为一个表，那么 table1就为 2，table2就是 Pi，而table3,1表示嵌套在table中的子表aaa,A*I的第一个元素即aaa，table3,2表示aaa,A*I第二个元素即 A*I。总之，表每一层次上并列的部分用逗号分割，表可以无穷嵌套。你可以通过 Append表,表达式或 Prepend表,表达式把表达式添加到表的最前面或最后面，如 Append1,2,3,a表示1,2,3,a。你还可以通过 Union表 1，表 2，.,Jion表 1,表 2,.来把几个表合并为一个表，二者不同在于 Union 在合并时删除了各表中重复的元素，而后者仅是简单的合并；你还可以使用 Flatten表把表中所有子表抹平合并成一个表，而Patition 表，整 数n 把 表 按 每 n个 元 素 分 段 作 为 子 表，集 合 成 的 表。如Flatten1,2,Sinx,dog,y表示1,2,Sinx,y,而 Partition1,2,Sinx,y,2把表每两个分段，结果为1,2,Sinx,y；还可以通过 Delete表，位置、Insert表，位置来向表中按位置插入或删除元素，如要删除上面提到的 table 中的 aaa,你可以用 Deletetable,3,1来实现；Sort表给出了表中各元素的大小顺序，Reverse表、RotateLeft表，整数 n、RotateRight表，整数 n可以分别将一个表进行翻转、左转 n 个元素、右转 n 个元素等操作，Length表给出了表第一个层次上的元素个数，Position表，表达式给出了表中出现该表达式的位置，Count表，表达式则给出表达式出现的次数。各种表的操作函数还有很多，这里就不再一一介绍了。三.图形函数 Mathematica 的图形函数十分丰富，用寥寥几句就可以画出复杂的图形，而且可以通过变量和文件存储和显示图形，具有极大的灵活性。图形函数中最有代表性的函数为 Plot表达式，变量，下限，上限，可选项，(其中表达式还可以是一个表达式表，这样可以在一个图里画多个函数)；变量为自变量；上限和下限确定了作图的范围；可选项可要可不要，不写系统会按默认值作图，它表示对作图的具体要求。例如 PlotSinx,x,0,2*Pi,AspectRatio-1表示在 0 xx0 x-x0 时函数的极限 Limitexpr,x-x0,Direction-1 x-0 x时函数的极限 Limitexpr,x-x0,Direction-1 x-0 x时函数的极限 In1:=LimitSinxDx,x0D Out1:=1.微商和微分 在Mathematica中能方便地计算任何函数表达式的任意阶微商(导数).如果f是一元函数,Df,x表示dxxdf)(;如果 f 是多元函数,Df,x表示fx.微商函数的常用形式如下:Df,x 计算偏导数fx Df,x1,x2,计算多重导数1x2xf Df,x,n 阶 导 数计算nfxnn In1:=Dxx,x Out1:=xxH1+LogxDL 下面列出全微分函数 Dt 的常用形式及其意义:Dtf 全微分 df Dtf,x 全导数 dxdf Dtf,x1,x2,多重全导数fdxdfdxdf.21 In1:=Dtx2+y2 Out1:=2 x DtxD+2 y DtyD .不定积分和定积分 1.不定积分 Integreate 函数主要计算只含有 1“简单函数”的被积函数.“简单函数”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如下：Integratef，x 计算不定积分dxxf)(Integratef，x，y 计算不定积分 dyyxfdx),(Integratef，x，y，z 计算不定积分 dzzyxfdydx),(In1：=Integrate1Hx2-1L,xD Out1：=12Log-1+xD-12Log1+xD In2：=Integrate3 x2+y,x,yD Out2：=x3y+x y22 2定积分 计算定积分的命令和计算不定积分是同一个 Integrate 函数，在计算定积分时，除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时，用 N%命令总能得到其数值解.Nintegrate 也是计算定积分的函数,其使用方法和形式和 Integrate 函数相同.用Integrate 函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate 函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算.Integratef,x,a,b 计算定积分badxxf)(NIntegratef,x,a,b 计算定积分badxxf)(Integratef,x,a,b,y,c,d 计算定积分dcbadyyxfdx),(NIntegratef,x,a,b,y,c,d 计算定积分dcbadyyxfdx),(In1:=IntegrateCosxD2+SinxD3,8x,0,1D Out1:=76-3 Cos1D4+Cos3D12+Sin2D4 In2:=NIntegrateCosxD2+SinxD3,8x,0,1D Out2:=0.906265 In3:=Integratex+y,8x,b,a,8y,0,xD Out3:=32ika33-b33y .幂级数 幂级数展开函数 Series 的一般形式:Seriesexpr,x,x0,n 将 expr 在 x=x0 点展开到 n 阶的级数 Seriesexpr,x,x0,n,y,y0,m 先对 y 展开到 m 阶再对 x 展开 n 阶幂级数 用 Series展开后,展开项中含有截断误差xnO In1:=SeriesSin2 xD,8x,0,6D Out1:=2 x-4 x33+4 x515+OxD7 In2:=SeriesfxD,8x,o,3D Out2:=foD+foDHx-oL+12foDHx-oL2+16fH3LoDHx-oL3+Ox-oD4 In3:=SeriesCosxD CosyD,8x,0,3,8y,0,3D Out3:=ik1-y22+OyD4y+ik-12+y24+OyD4yx2+OxD4 .常微分方程 求解常微分方程和常微分方程组的函数的一般形式如下:Dsolveeqns,yx,x 解 y(x)的微分方程或方程组 eqns,x为变量 Dsolveeqns,y,x 在纯函数的形式下求解 NDsolveeqns,yx,x,xmin,xmax 在区间xmin,xmax上求解变量 x的数的形式下求解常微分方程和常微分方程组 eqns的数值解 In1:=DSolveyxDa yxD,yxD,x Out1:=8yxDaxC1D In2:=DSolve8yxDa yxD,y0D1,yxD,xD Out2:=8yxDax In3:=DSolve8xtDytD,ytDxtD,8xtD,ytD,tD Out3:=9xtD12-tIC1D+2tC1D-C2D+2tC2DM,ytD12-tI-C1D+2tC1D+C2D+2tC2DM=.线性代数 1.定义向量和矩阵函数 定义一个矩阵,可用函数 Table或 Array.当矩阵元素能用一个函数表达式时,用函数 Table在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值.用函数 Range只能定义元素为数值的向量.Array只能用于定义向量、矩阵和张量,并规定矩阵和张量的元素下标从 1开始.Array的一般形式:Array向量元素名,n,f 定义下标从 f 开始的有 n 个元素的向量,当 f 是 1 时可省略.Array矩阵元素名,m,n 定义 m行 n列的矩阵.其中:矩阵元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是u,v,w时定义一个张量.Table表达式 f,循环范围 表达式 f 表示向量或矩阵元素的通项公式;循环范围定义矩阵的大小.循环范围的一般形式:循环变量名,循环初值,循环终值,循环步长.在 Array或 Table的循环范围表示方法略有区别.请在下面的实例中注意观察.In1:=Tableai,jD,8i,2,8j,2D Out1:=8a1,1D,a1,2D,8a2,1D,a2,2D(*矩阵每一行元素用一对括起来*)In2:=U=Arraya,82,2D Out2:=8a1,1D,a1,2D,8a2,1D,a2,2D In3:=IdentityMatrix3D(*IndentityMatrixn生成 n 维矩阵*)Out3:=81,0,0,80,1,0,80,0,1 In4:=DiagonalMatrix81,2,3D(*生成对角元素为表元素的对角矩阵*)Out4:=81,0,0,80,2,0,80,0,3 In5:=TableForm%D(*TableFormm或 MatrixFormm按矩阵形式输出 m*)Out5:=100020003 一个矩阵可用一个变量表示,如 In2所示 U 是一个矩阵,则 UI表示 U 的第 I 行的 N 个元素;TransposeUj表示 U 的第 J 行的 M 个元素;UI,j或 aI,j表示 U 的第 I 行第 J 列元素;Ui1,i2,ip,j1,j2,jq表示由行为i1,i2,ip和列为j1,j2,jq组成的子矩阵.2.矩阵的运算符号和函数 表达式 意义 A+c A 为矩阵,c 为标量,c 与 A 中的每一个元素相加 A+B A,B 为同阶矩阵或向量,A 与 B 的对应元素相加 cA A 为矩阵,c 为标量,c 与 A 中的每个元素相乘 U.V 向量 U 与 V 的内积 A.B 矩阵 A 与矩阵 B 相乘,要求 A 的列数等于 B 的行数 DetM 计算矩阵 M 的行列式的值 TranseposeM M 的转置矩阵(MT或M)InverseM 计算矩阵 M 的逆矩阵(M1)EigenvalusA 计算矩阵 A 的全部(准确解)特征值 EigenvalusNA 计算矩阵 A 的全部(数值解)特征值 EigenvectorsA 计算矩阵 A 的全部(准确解)特征向量 EigenvectorsNA 计算矩阵 A 的全部(数值解)特征向量 EigensystemA 计算矩阵 A 的所有(准确解)特征值和特征向量 EigensystemNA 计算矩阵 A 的所有(数值解)特征值和特征向量 3.方程组求解函数 在 Mathematica中用 LinerSolveA,B,求解满足 AX=B的一个解.如果 A 的行列式不为零,那么这个解是方程组的唯一解;如果 A的行列式是零,那么这个解是方程组的一个特解,方程组的全部解由基础解系向量的线性组合加上这个特解组成.NullSpaceA计算方程组 AX=0的基础解系的向量表,用 LinerSolveA,B和 NullSpaceA联手解出方程组 AX=B的全部解.Mathematica中还有一个美妙的函数 RowReduceA,它对 A 的行向量作化间成梯形的初等线性变换.用 RowReduce可计算矩阵的秩,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线性无关组等工作.解方程组函数 意义 RowReduceA 作行的线性组合化简 A,A为 m 行 n 列的矩阵 LinerSolveA,B 求解满足 AX=B的一个解,A 为方阵 NullSpaceA 求解方程组 AX=0的基础解系的向量表,A为方阵 例:已知 A=111110-1131-133213,计算 A 的秩,计算 AX=0 的基础解系.In1:=A=81,1,1,1,81,0,-1,1,83,1,-1,3,83,2,1,3;In2:=RowReduceAD Out2:=81,0,-1,1,80,1,2,0,80,0,0,0,80,0,0,0(*显然,A 的秩是 2*)In3:=NullSpaceAD Out3:=8-1,0,0,1,81,-2,1,0(*A 的两个线性无关解*)五.程序流程控制 作为一种语言，Mathematica 提供了分支、循环、跳转等程序控制语句，如Iftest,block1,block2表明满 足条 件 test，则执行 语句 块 block1,否则执 行 block2；Switchexpr,test1,block1,test2,block2,.表示如果表达式 expr 的值等于第 i 个 testi 的值，则执行语句块 blocki。循环语句有 For赋初值，循环条件，增量语句，语句块表示如果满足循环条件，则执行语句块和增量语句，直到不满足条件为止，Whiletest,block表明如果满足条件 test 则反复执行语句块 block,否则跳出循环，Doblock,i,imin,imax,istep与前者功能是相同的。还有Gotolab,Labellab提供了程序中无条件跳转，Continue和 Break提供了继续循环或跳出循环的控制，Catch语句块 1和 Throw语句块 2提供了运算中对异常情况的处理。另外，在程序中书写注释可以用一对(*)括起来，注释可以嵌套。六.其他 以上是对 Mathematica 语法的一些特点做了一个很粗略的介绍，如果同学们对Mathematica 感兴趣，你最好还是亲自使用一下。上机的过程中，希望你注意以下几点 1.使用帮助，Mathematica 的帮助文件提供了 Mathematica 内核的基本用法的说明，十分详细，可以参照学习。2.你可以使用?符号名或?符号名来获得关于该符号(函数名或其他)的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符，例如?M*，则系统将给出所有以 M 开头的关键词和函数名，再如?For 将会得到关于 For 语句的格式和用法的详细情况。3.在 Mathematica 的编辑界面中输入语句和函数，确认光标处于编辑状态(不断闪烁)，然后按 Insert 键来对这一段语句进行求值。如果语句有错，系统将用红色字体给出 出错信息，你可以对已输入的语句进行修改，再运行。如果运行时间太长，你可以通过 Alt+.(Alt+句号)来中止求值。4.对函数名不确定的，可先输入前面几个字母(开头一定要大写)，然后按 Ctrl+K，系统会自动补全该函数名。关于 Mathematica 我们就暂时介绍到这里，由于水平有限，只能介绍一些基本用法，有兴趣的同学可以多上机，自己摸索，一定会有收获的。当然，计算机是为我们服务的，我们不是为了学习而学习，而是应该把它当成一种有力的工具，应用与我们的日常学习、工作和生活中。希望 Mathematica 会为你将来的探索之路增添一份力量。七.应用例子 量子一维、二维简谐振子问题 量子一维简谐振子图像 量子二维简谐振子图像