量子力学主要知识点复习资料

大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1 能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是 某一最小能量 的整数倍,2,3,4,n 对频率为 的谐振子,最小能量 为:h 2.波粒二象性 波粒二象性(wave-particle duality)是指某物质 同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象 性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒 子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905 年，爱因斯坦提出了光 电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924 年，德布 罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子 也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。2h 德布罗意公式 E mc2 h p mv 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足 薛定格波动方程 2 i(r,t)2 V(r)(r,t)0 t 2m 中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应 该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的 概率大小 的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数 称为概率波。粒子的波动性可以用波函数来表示，自由粒子的波函数 Aexp i(p r Et)波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4.波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设 C 是一个常数，则(x,y,z)和 c(x,y,z对)粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数 C ei，则(x,y,z)和 ei(x,y,z)对粒子在点(x,y,z)附 件出现概率的描述是相同的。2|(x,y,z)|2 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。2|(x,y,z)|2 x y z 表示点(x,y,z)处的体积元 x y z 中找到粒子的概 率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为 1 2 必然有以下归一化条件|(x,y,z)|dxdydz 1 5.力学量的平均值 其 算符 H?h 2 V(rr)，被称为哈密顿算符，7.定态 2m 数学中，形如 A?f af 的方程，称为 本征方程。其中 方程 h2 2 r r r?r A?2 V(r)E(r)E E(r)H?E(r)AE 程，2m E(r)被称为能量本征函数，E 被称为能量本征值。i 当 E 为确定值，(r,t)=E(r)exp(Et)拨函数所描述的状态称为定态，处 于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改 变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理 但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其 中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即 既然|(rr)|2|(x,y,z)|2 表示 粒子出现在点 r(x,y,z)附件的概率，那么粒子 坐标的平均值，例如 x 的平均值 x，由概率论，有 x|(rr)|2 xd3r*(rr)x(rr)d3r,又如，势能 V是 r 的函数：V(r)，其平均值由概率论，d r dxdydz 可表示为 V(r)V(r)(r)d3r V(r)V(r)(r)d3r*r r r 3 再如，动量 的平均值为：p*(p)p(p)d3 p,*3 为什么不能写成 p*(r)p(r)(r)d 3r 因为 x 完全确定时 p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为 p*(r)p?(r)d3r 其中 p?i 为动量 p 的算符 6.算符 量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算 如动量算符 p?i 能量算符 E i t E?2 动能算符 T?2 动能平均值 T*(r)T?(r)d 3r 2m 角动量算符 l r p?角动量平均值 l*(r)l?(r)d3r 薛定谔方程(r,t)2m V(r,t)(r,t)称f 为能本量征本函征方数,本征值(x)cn n(x)，n|cn|2 表示在态(x)中发现粒子处于态 n(x),具有 能量En的概率 9.宇称 若势函数 V(x)=V(-x)，若(x)是能量本征方程对于能量本征值 E的解，则(x)也是能量本征方程对于能量本征值 E 的解 定义空间反演算符 P为:P(x)(x)如果 P(x)(x)(x)或 P(x)(x)(x)，称(x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如 偶宇称 P cos(x)cos(x)cos(x)奇宇称 Psin(x)sin(x)sin(x)注意：一般的函数没有确定的宇称 设(x)是能量本征方程对应于 能量本征值 E 的解，如果 V(x)V(x),若(x)无简并，则(x)具有确定的宇称。10.束缚态 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 11.一维谐振子的能量本征值 E En(n 1/2),n 0,1,2,.12.隧穿效应 量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现 象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能 量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势 垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透 barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如 H+H2 低温下 反应，其隧道效应就较突出。13.算符对易式 一般说来，算符之积不满足交换律，即 A?B?B?A?，由此导致量子力学中的一个基 本问题：对易关系 A?和B?,设 A?,B?A?B?B?A?，通常 A?,B?0 角动量的对易式 l?x,x 0,l?x,y i z,l?x,z i y,l?y,x i z,l?y,y 0,l?y,z i x,l?z,x i y,l?z,y i x,l?y,z 0,l?x,p?x 0,l?x,p?y i p?z,l?x,p?z i p?y,l?y,p?x i p?z,l?y,p?y 0,l?y,p?z i p?x,l?z,p?x i p?y,l?z,p?y i p?x,l?y,p?z 0,l?x,l?x 0,l?y,l?y 0,l?z,l?z 0,l?x,l?y i l?z,l?y,l?z i l?x,l?z,l?x i?y l?2,l?x 0,l?2,l?y 0,l?2,l?z 0 14.厄密算符平均值的性质 A?,则A?的共轭转置算符 A?*称为A?的厄密共轭算符,记为A?,即A?A?*。先转置，再共 轭。*d*A?d A?*体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄 米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15.量子力学关于算符的基本假设 1、微观粒子的状态由波函数(r,t)描写。2、波函数的模方|(r,t)|2 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程 ih t r h2 2 r?r(rr,t)(h 2 V)(rr,t)H?(rr,t),2m H?h 2 V(rr,t)哈密顿算符 2m 16.算符的本征方程，本征值与本征函数 数学中，形如 A?f af 的方程，称为 本征方程。其中 A?算符,f 本征函数,a 本征值 满足 A?A 的 和A不止一组,l?z2,有 对易式 坐标对易关系 ,p?i 0,x,y,z 可能有 n组，因此 A?n An n 此式称为 A)的本征方程，An称为 A?的 一个本征值，n称为 A?的一个本征态。n和An是算符A?的本征态与本征值，如 果 An,都是不简并的，则 n能构成一组正交归一 完备态矢，系统的任何 状态 均可展开如下：(x)an n,其中，an n*dr n 17.不确定度关系的严格表达 18.两个算符有共同本征态的条件 两个算符对易，即 A?,B?0 19.力学量完全集 若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征 态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由 的本征值不能确定体 系状态，必再加上 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本 征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系 的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。20.力学量完全集共同本征态的性质若能级简并 21.守恒量 对于 Hamilton 量 H 不含时的量子体系，如果力学量 A 与 H 对易，则无论体系处于什么状态(定态或非定态)，A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把 A 称为量子体 系的一个守恒量。22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用 把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|表 示态矢，左矢|表示其共厄矢量，内积，于等于 0，称为模方。|是外积。|右矢 代表量子态；|左矢 量子态 的共轭态*若 k是力学量完全集 F 的本征态，则|k|k,如球谐函数 Ylm是(l?2,l?z)的共同本征函数，|Ylm|lm 采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。|k k|I 或 Pk I,Pk|k k|为投影算符 kk 算符向左作用 23.角动量平方和角动量 z 分量的共同本征函数 这样，l?2和 l?z的共同本征函数为 Ylm(,)(1)m 2l 1(l mm)!Plm(cos)eim 4(l 其中 m l,l 1,l 1,l,l 0,1,2,Ylm称为球谐函数，它们满 足 l?2Ylm l(l 1)l?zYlm m Ylm 2Ylm 注意量纲 m l,l 1,l 1,l l 0,1,2,注意，推导过程计算题有可能要考 24.氢原子的能量本征值与能级简并度 氢原子的能级是 n2简并的 25.正常 Zeeman 效应 原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理 论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26.电子自旋 电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称 自旋不是机械的自转 27 关于电子自旋的 Stern-Gerlach 实验 E En e 4 1 2 2 n2 e 2 1 2a n 2 n 1,2,3,Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由 O.斯 特恩和 W.革拉赫在 1921 年完成的。实验装置如图斯特恩革拉赫实验装置示意图 示。使银原子在电炉 O内蒸发,通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的 磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片 P 上。在显像后的底片上现了两 条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。实验上高温炉中的 Ag 原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数 为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28 碱金属原子光谱双线结构 对钠原子，3p 3s 的跃迁产生一条黄线 589.3nm,用高分辨率的光谱仪进 行观测，发现它实际上 是由 两条谱线构成：1 589.6nm，2 589.0nm。与 Zeeman 效应不同，此现象并非 外界因素作用的结 果，而是原子的故有特 性。其根源正是电子的 自旋。29.量子跃迁与选择定则 在外电场的激发下，谐 振子从基态|0 只 能跃迁到第一激发态|1。22 P10()q 2e 2 2 2 2 0,Pn0()0,n 1 以上结果表明，0 1可以发生，0 2，0 3，0 n 不能发生，表明允许谐振子 n 1的跃迁发生，这称为跃迁的选择定则。即谐振子只能跃迁到相邻能级 30.禁戒跃迁已知 Ckk(t)kk 1 ei kkt Hkkdt(12)i0 令Pkk(t)|Ckk(t)|2,则Pk k(t)代表系统从初态 k 跃迁到末态 k 的概率。当 k k时，有 1 t i t 2 Pkk(t)2|ei kkt Hkkdt|2(13)0 若存在这样的末态 k，使得 Hkk 0，Pk k 0，表明从k到k的跃迁是不可能的，或 者说，从 k 到k 的跃迁是禁戒的。在外电场的激发下，谐 振子从基态|0 不 能跃迁到激发态|n,其中 n 1。或者说，0 2，0 3，0 n的跃迁为禁戒跃迁。31.微扰论的思想 解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同 的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略 去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似 解。这种方法称为微扰论。32.突发微扰与绝热微扰 当外界的微扰十分缓慢 地作用到系统上时，不 会改变系统的状态，这 样的微扰叫 做绝热微扰。当外界的微扰十分突然 地作用到系统上时，也 不会改变系统的状态，这样的微扰叫 做突发微扰。33.能量与时间不确定度 t E h 被称为时间能量的不 确定度关系，可以证明 此式的一般形式为：Et 2 此式反映了一个力学量 变化快慢的周期 t，同系统能量的不确定 度 E 不能同时为零 34.能级宽度与谱线宽度 由于能量不确定性 Ek t 2 所以，所有的能级都有 一个宽度，这叫能级的 展宽。既然能级有展宽，即 Ek E(k0)Ek,Ek 1 E(k0)1 Ek 1，所以，当电子从 Ek跃迁到Ek 1时，发出的谱线，就不止 0(E(k0)E(k0)1)/h 一个频率，而是有一个 频率范围.谱线的频率应 该是 0,其中，(Ek Ek 1)/h这叫谱线的展宽,称为谱线宽度。35.半经典理论 36 吸收，受激辐射，自发辐射