高等数学同济第五第5章答案

高等数学同济第五第5章答案习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入n-1个分点xi=a+b-ai(i=1, 2, , n-1), 把区间a, b分nb-a(i=1, 2, , n). nb-ai, 作和 n成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: Dxi= 第二步: 在第i个小区间xi-1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点xi=xi=a+ Sn=f(xi)Dxi=(a+i=1i=1nnb-a2b-ai)+1 nnb-an22a(b-a)(b-a)22 =a+ni+2i+1 ni=1n(b-a)2a(b-a)n(n+1)(b-a)2n(n+1)(2n+1)2na+n =2nn26na(b-a)(n+1)(b-a)2(n+1)(2n+1)+1. =(b-a)a+n6n22 第三步: 令l=maxDx1, Dx2, , Dxn= S=af(x)dx=limf(xi)Dxi l0i=1bnb-a, 取极限得所求面积 na(b-a)(n+1)(b-a)2(n+1)(2n+1)+1 =lim(b-a)a+nn6n2211 =(b-a)a2+a(b-a)+(b-a)2+1=(b3-a3)+b-a. 33 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)axdx(a0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间, 3上单调增加. 于是 13)=13arctan1= m=f( 因此 p363, M=f(3)=3arctan3=p3. p63(3-13)1xarctanxdx33p3(3-13), 即 p91xarctanxdx3232p. 3 (4)先求函数f(x)=ex f(x)=ex2-x在区间0, 2上的最大值M与最小值m. -x1(2x-1), 驻点为x=. 2 2-1-114 比较f(0)=1, f(2)=e, f=e,得m=e4, M=e 2. 于是 2-1e4(2-0)0ex222-xdxe2(2-0), . 即 -2e -10x2-xedxdx-2e42 7. 设f(x)及g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且af(x)dx=0, 则在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 则af(x)dx0; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且af(x)dx=ag(x)dx, 则在a, b上f(x)g(x). 证明 (1)假如f(x)0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, f(x) bbbbf(x0). 于是 2af(x)dx=af(x)dx+cf(x)dx+df(x)dxcf(x)dxbbcdbdf(x0)(d-c)0. 2这与条件af(x)dx=0相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, f(x)f(x0). 于是 2baf(x)dxf(x)dxcbdf(x0)(d-c)0. 2bb 证法二 因为f(x)0, 所以af(x)dx0. 假如af(x)dx0不成立. 则只有af(x)dx=0, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此af(x)dx0. (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在a, b上F(x)0且 baF(x)dx=ag(x)-f(x)dx=ag(x)dx-af(x)dx=0, bbbb由结论(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)0x2dx还是0x3dx？ (2)1x2dx还是1x3dx？ (3)1lnxdx还是1(lnx)2dx？ 222211 (4)0xdx还是0ln(1+x)dx？ (5)0exdx还是0(1+x)dx？ 解 (1)因为当0x1时, x2x3, 所以0x2dx0x3dx. 又当0xx3, 所以0x2dx0x3dx. (2)因为当1x2时, x2x3, 所以1x2dx1x3dx. 又因为当1x2时, x2x3, 所以1x2dx1x3dx. (3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以1lnxdx1(lnx)2dx. 又因为当1x2时, 0ln x(ln x)2, 所以1lnxdx1(lnx)2dx. (4)因为当0x1时, xln(1+x), 所以0xdx0ln(1+x)dx. 又因为当0ln(1+x), 所以0xdx0ln(1+x)dx. (5)设f(x)=ex-1-x, 则当0x1时f (x) =ex-10, f(x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以0exdx0(1+x)dx. 又因为当01+x, 所以0exdx0(1+x)dx. 习题5-2 1. 试求函数y=0sintdt当x=0及x= 解 y=x111111112222222211111111p4时的导数. p2dxpy=sin=, 当x=0时, y=sin0=0; 当时, . sintdt=sinxx=042dx4tt 2. 求由参数表示式x=0sinudu, y=0cosudu所给定的函数y对x的导数. 解 x(t)=sin t , y(t)=cos t , yxdyy(t)=cost. dxx(t) 3. 求由0etdt+0costdt=0所决定的隐函数y对x的导数 解 方程两对x求导得 e y y +cos x =0, dy. dx于是 dycosx=-y. dxex2 4. 当x为何值时, 函数I(x)=0te-tdt有极值？ 解 I(x)=xe-x, 令I (x)=0, 得x=0. 因为当x0时, I (x)0时, I (x)0, 所以x=0是函数I(x)的极小值点. 5. 计算下列各导数: 2dx2 (1)1+t2dt; dx0dx31dt; (2)x24dx1+t (3)dcosx2cos(pt)dt. dxsinx令x2=ududx2du221+tdt=1+u22x=2x1+x4. 解 (1)01+tdt0dxdudxdx31d01dx31dt=x2dt+0dt (2)x2444dxdxdx1+t1+t1+t =-dx21dx31dt+dt dx01+t4dx01+t4 =-11+(x2)42x1+x8(x2)+11+(x3)4(x3) =-+3x21+x12. (3)dcosxdsinxdcosx222cos(pt)dt=-cos(pt)dt+cos(pt)dt dxsinxdx0dx0 =-cos(psin 2x)(sin x)+ cos(pcos 2x)( cos x) =-cos xcos(psin 2x)-sin xcos(pcos 2x) =-cos xcos(psin2x)- sin xcos(p-psin2x) =-cos xcos(psin2x)+ sin xcos(psin2x) =(sin x-cos x)cos(psin2x). 6. 计算下列各定积分: (1)0(3x2-x+1)dx; 2312a312(3x-x+1)dx=(x-x+x)|=a-a+a. 002221 (2)(x2+4)dx; 1x211113-35213-3 解 (x2+4)dx=(x3-x-3)|1. =(2-2)-(1-1)=2133338xa 解 a (3)4x(1+x)dx; 解 949x(1+x)dx=491(x2231292312231122+x)dx=(x+x)|4=(9+9)-(42+42)=45. 3232326 (4)13dx231+x; 解 3dx1231+x=arctanx313=arctan3-arctan1=-=. 3366ppp (5)12-12dx1-x2; 解 012-12dx1-x2=arcsinx12-1211ppp=arcsin-arcsin(-)=-(-)=. 22663 (6) 解 3a2dx201a+x3adxdx4-x2; 3a01x=arctanaa2+x2a; 11p=arctan3-arctan0=. aa3a (7)0 解 001dx4-x2=arcsinx211p=arcsin-arcsin0=. 0263x4+3x2+1dx; (8)-12x+14203x+3x+101p2303dx=(3x+)dx=(x+arctanx)|=-(-1)-arctan(-1)=1+ 解 -1. -1-14x2+1x2+1 (9) 解 dx; -e-11+x-2dx-2-e-11+x=ln|1+x|-e-1=ln1-lne=-1. -2 (10)4tan2qdq; 0p 解 p40tanqdq=04(secq-1)dq=(tanq-q)2p2p40=tanpp4-4=1-p4. (11)0|sinx|dx; 解 2p02p2p|sinx|dx=0sinxdx-psinxdx=-cos x|p0+cos x|p=-cosp +cos0+cos2p-cosp=4. p2px+1 x1 (12)0f(x)dx, 其中f(x)=12. x x1221221213281xdx=(x+x)|+(x)|1=. 021263 7. 设k为正整数. 试证下列各题: 解 0f(x)dx=0(x+1)dx+p21 (1)-pcoskxdx=0; (2)-psinkxdx=0; (3)-pcos2kxdx=p; (4)-psin2kxdx=p. p111 证明 (1)coskxdx=sinkx|p=sinkp-sink(-p)=0-0=0. -p-pkkkp11111 (2)sinkxdx=-coskx|p=-coskp+cosk(-p)=-coskp+coskp=0. -p-pkkkkkppp (3)cos2kxdx=-p (4)sin2kxdx=-ppp1p11ppp(1+cos2kx)dx=(x+sin2kx)|=+=p. -p2-p22k221p11ppp(1-cos2kx)dx=(x-sin2kx)|=+=p. -p2-p22k22 8. 设k及l为正整数, 且kl . 试证下列各题: (1)-pcoskxsinlxdx=0; (2)-pcoskxcoslxdx=0; pp (3)-psinkxsinlxdx=0. p1psin(k+l)x-sin(k-l)xdx 2-p11cos(k+l)xpcos(k-l)xp =-p-p=0. 2(k+l)2(k-l) 证明 (1)coskxsinlxdx=-pp1pcos(k+l)x+cos(k-l)xdx 2-p11sin(k+l)xpsin(k-l)xp =-p+-p=0. 2(k+l)2(k-l) (2)coskxcoslxdx=-pp1pcos(k+l)x-cos(k-l)xdx. 2-p11sin(k+l)xp+sin(k-l)xp =-p-p=0. 2(k+l)2(k-l) (3)sinkxsinlxdx=-pp 9. 求下列极限: cost (1)lim0x0x2dtx2; (2)limx0(0etdt)2x0tex0xx2t2. dt2cost 解 (1)lim0x (2)limx0xdtcosx2=lim=1. x0120etdt(0etdt)xe2x2x2(0etdt)22x20tex0x2t2=limx0=limx020etdtexxe2x2x22=limx020etdtxex2x2dt =lim2ex222ex+2x2ex2=lim=2. x01+2x2x2 x0, 1x 10. 设f(x)=. 求j(x)=0f(t)dt在0, 2上的表达式, 并讨论j(x)在(0, 2)内的x x1, 2连续性. xx1 解 当0x1时, j(x)=f(t)dt=t2dt=x3; 003x1x11111 当1x2时, j(x)=f(t)dt=t2dt+tdt=+x2-=x2-. 001322261x3 0x1因此 j(x)=3. 211x- 1x26211111111 因为j(1)=, limj(x)=limx3=, limj(x)=lim(x2-)=-=, x1-03x1+023x1+062633x1-0所以j(x)在x=1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 1sinx 0xpx 11. 设f(x)=2. 求j(x)=0f(t)dt在(-, +)内的表达式. 0 xp 解 当xp时, j(x)=f(t)dt=00xpx1111sintdt+p0dt=-cost|p0=-cosp+cos0=1. 22220 x0, 所以在(a, b)内 F(x)=1f(x)-f(x)0. x-a习题5-3 1. 计算下列定积分: (1)psin(x+)dx; 32pp 解 21pppsin(x+)dx=-cos(x+)333ppp2=-cos4p2p11+cos=-=0. 3322 (2)-2 解 dx11-2=-2(11+5x)35-2(11+5x)p0(11+5x)1dx; 1-2=-115116-2+1-2=. 1010512 (3)2sinjcos3jdj; 1 解 02sinjcosjdj=-02scosjdsinj=-cos3j433ppp201p11=-cos3+cos30=. 4244 (4)0(1-sin3q)dq; 解 320(1-sinq)dq=0dq+0sinqdcosq=qppppp0+0(1-cos2q)dcosq p1 =p+(cosq-cos3q)3 (5)p2cos2udu; 6p04=p-. 3p 解 pp2cos2udu=61p12(1+cos2u)du=u2p26pp261+sin2u4pp261pp1pp3 =(-)+(sinp-sin)=-. 2264368 (6)0 解 22-x2dx; p令x=2sintp22cost2costdt=2(1+cos2t)dt 2-x2dx00p20021 =(t+sin2t)2=p2. (7)- 解 228-2y2dy; 8-2ydy=2-p222-22p令y=2sinx4-ydy24p2cosx2cosxdx 2-41 =224p(1+cos2x)dx=22(x+sin2y)-24p4-p4=2(p+2). (8)1121-x2x2dx; 解 1121-x2x2p令x=sintpcost122(dxcostdt=psin2tpsin2t-1)dt=(-cott-t)44pp24=1-. 4p (9)0x2a2-x2dx; 解 a0ax2令x=asintpa4222a-xdx0asintacostacostdt=42202sinp22tdt a4 =822(1-cos4t)dt=0pa4t8p20a4-sin4t32p20a4p=. 16 (10)13dxx1+x2; 解 13dxxp2令x=tant21+xp3tan2tsectsec4p12tdt 1 =p32dt=-sint4sintcostpp34=2-23. 3 (11)-1 解 1xdx5-4x; 1-141xdx令5-4x=u111132(5-u)du=-(5u-u)83835-4xdxx1=. 36 (12) 11+4; 2112udu=2(1-11+u11+u)du=2(u-ln|1+u|)221 解 11+14dx令x=uxdx1-x-12=2(1+ln). 3 (13)3 解 ; 110112(-2u)du=20(1+)du=2(u+ln|u-1|)210u-12u-1134dx令1-x=u1-x-12a=1-2ln2. (14)0xdx3a-x22; 解 012axdx3a-x-t2222=-12a12222d(3a-x)=-3a-x203a2-x22a0=a(3-1). (15)0te 解 dt; 1-t220tee21-t22dt=-0edxtd(-)=-e22-t2210-1=1-e2. (16)1 解 1e2x1+lnxdxx1+lnx; =1e211+lnxdlnx=21+lnxe21=2(3-1). (17)02dxx+2x+2 00dx1=-2dx=arctan(x+1) 解 -222x+2x+21+(x+1) (18)2pcosxcos2xdx; -2-2; 0-2=arctan1-arctan(-1)=p2. p 解 2cosxcos2xdx=2(1-2sin2-p-p22pp2x)dsinx=(sinx-sin3x)3p2-p22=. 3 (19)2pcosx-cos3xdx; -2p 解 p2-p2cosx-cosxdx=2pcosx1-cos2xdx -23p =-pcosx(-sinx)dx+20p2032cosxsinxdx=cos2x30-p232-cos2x3p204= 3 (20)01+cos2xdx. 解 p0pp1+cos2xdx=20sinxdx=-2cosxpp0=22. 2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)-px4sinxdx; 解 因为x 4sin x在区间-p, p上是奇函数, 所以-px4sinxdx=0. (2)2p4cos4qdq; -2pp 解 24cos4qdq-p2p=224cos4qdq0p=802(pp1+cos2x2)dq 2 =22(1+2cos2x+cos20p312x)dq=202(+2cos2x+cos4x)dq 22p201 =(3q+2sin2x+sin4x)4=3p. 2 (3)12-12(arcsinx)21-x2dx; 解 12-12(arcsinx)21-x2dx=2120120(arcsinx)21-x2dx=202(arcsinx)2d(arcsinx) 12 =(arcsinx)335=p3324. x3sin2xdx. (4)-542x+2x+1 解 因为函数 3. 证明: ax3sin2xx4+2x2+1是奇函数, 所以-5a5x3sin2xx4+2x2+1dx=0. 22-aj(x)dx=20j(x)dx, 其中j(u)为连续函数. 证明 因为被积函数j(x2)是x的偶函数, 且积分区间-a, a关于原点对称, 所以有 -aj(xa2)dx=20j(x2)dx. bba 4. 设f(x)在-b, b上连续, 证明-bf(x)dx=-bf(-x)dx. 证明 令x=-t, 则dx=-dt, 当x=-b时t=b, 当x=b时t=-b, 于是 而 所以 -bf(x)dx=bbb-bf(-t)(-1)dt=-bf(-t)dt, b-bf(-t)dt=-bf(-x)dx, -bf(x)dx=-bf(-x)dx. bbb 5. 设f(x)在a, b上连续., 证明af(x)dx=af(a+b-x)dx. 证明 令x=a+b-t, 则dx=d t, 当x=a时t=b, 当x=b时t=a, 于是 而 所以 bbaf(x)dx=bf(a+b-t)(-1)dt=af(a+b-t)dt, abbabf(a+b-t)dt=af(a+b-x)dx, bbaf(x)dx=af(a+b-x)dx. x1+x21b(x0). 1+x2111 证明 令x=, 则dx=-2dt, 当x=x时t=, 当x=1时t=1, 于是 txt 6. 证明: dx=1x1dx1111dx1=(-2)dt=1xdt, x21211+xt1+tx1+2t1dx, 1+x21dxx=所以 x. 2211+x1+x而 1x111+t21dxdt=1x11 7. 证明: 0x1m(1-x)ndx=0xn(1-x)mdx. 10111 证明 令1-x=t , 则0xm(1-x)ndx=-1(1-t)mtndt=0(1-t)mtndt=0xn(1-x)mdx, 即0xm(1-x)ndx=0xn(1-x)mdx. 8. 证明: 证明 而 所以 p110sinnpnxdx=202sinnxdx. pp2pnn0sinxdx=02sinxdx+psinxdx, 2pnpsinpp令x=p-t0n2sinntdt=2sinnxdx, xdxsin(p-t)(-dt)=p0020sinpnxdx=202sinnxdx. a+1p 9. 设f(x)是以l为周期的连续函数, 证明a 证明 已知f(x+l)=f(x). f(x)dx的值与a无关. 而 所以 因此aa+1aa+1f(x)dx=af(x)dx+0f(x)dx+l0la+lf(x)dx=0f(x)dx+lla+lf(x)dx-0f(x)dx, ala+laa令x=t+laf(x)dxf(t+l)dt=f(x+l)dx=000f(x)dx, aa+1f(x)dx=0f(x)dx. lf(x)dx的值与a无关. x 10. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明0f(t)dt是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明0f(t)dt是奇函数. 证明 设F(x)=0f(t)dt. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 则f(-t)=-f(t), 从而 -xxx令t=-ux F(-x)=0f(t)dtf(-u)(-1)du=f(u)dx=000f(x)dx=F(x), xx即F(x)=0f(t)dt是偶函数. 若f(t)是连续函数且为偶函数, 则f(-t)=f(t), 从而 -xxx令t=-ux F(-x)=0f(t)dtf(-u)(-1)du=-f(u)dx=-000f(x)dx=-F(x), x即F(x)=0f(t)dt是奇函数. 11. 计算下列定积分: (1)0xe-xdx; 解 -x-x-x0xedx=-0xde=-xee1x1110+0e-xdx=-e-1-e-x110=1-2e-1. (2)1xlnxdx; 解 1xlnxdx=2pe1e212lnxdx=xlnx212e1-1e211212xdx=e-x20x241=(e2+1). 14e (3)0wtsinwtdt(w为常数); 解 02pwtsinwtdt=-w012pwtdcoswt=-1wtcoswt2pw0+wcoswtdt 0w12p =- (4)p342pw22+1w2sinwt2pw0=-2pw2. pxsinxdx; 解 psin2xdx=-p34pxppp343xdcotx=-xcotx4+pp3cotxdx=-p134+lnsinx34ppp341313 =(-)p+ln. 49224lnxdx; (5)1x4lnx4dx=21lnxdx=2xlnx 解 1x41dx=8ln2-4x =8ln2-21x4141-2141xdx x=4(2ln2-1). (6)0xarctanxdx; 1112111212arctanxdx=xarctanx-xdx 20202021+x1p1p111p1pp1 =-(1-)dx=-(x-arctanx)=-(1-)=-. 0828201+x2824421 解 0xarctanxdx=1 (7)02e2xcosxdx; 解 p2e0p2xcosxdx=02edsinx=esinx2e2xdcosx=ep0p2x2xp20-202e2xsinxdx -42e2x0p =e+2所以 pp+2ecosx2xp20pcosxdx=e+2-402e2xcosxdx pp02e2p2x1cosxdx=(ep-2), 5于是 (8)1xlog2xdx; 解 12xlog2xdx=12212logxdx=xlog2x22122121-1221xdx 21xln2 =2-p112x2ln22=2-3. 4ln2 (9)0(xsinx)2dx; 解 20(xsinx)dx=p1p213x(1-cos2x)dx=x206p0p0-1p2xdsin2x 40-40p = =ep31-xsin2x646-xcos2x4p031p+0sin2x2xdx4p0=p316xdcos2xp0p0 . p311pp3p1+0cos2xdx=-+sin2x4648=p3p6-4 (10)1sin(lnx)dx; 解法一 因为 ttt0sintedt=0sintde=esint11110令lnx=t1tsin(lnx)dx10sintedt. e1-0etcostdt 10 =esin1-0costdet=esin1-etcost =esin1-ecos1+1-0etsintdt, 所以 因此 1-0etsintdt 11te0e1sintdt=(esin1-ecos1+1). 211sin(lnx)dx=2(esin1-ecos1+1). 1sin(lnx)dx=xsin(lnx)eeee1-1xcos(lnx)dx=esin1-1cos(lnx)dx 1xe 解法二 =esin1-xcos(lnx)e1-1xsin(lnx)dx 1xe =esin1-ecos1+1-0sin(lnx)dx, 故 1sin(lnx)dx=2(esin1-ecos1+1). eee1 (11)1|lnx|dx; 解 1e1e|lnx|dx=-lnxdx+lnxdx=-xlnx1111eee+xlnxe1+1dx-1dx e1e111 =-+e+(1-)-(e-1)=2(1-). eee (12)0(1-x 解 12m)2dx(m为自然数); 令x=sintpm+1dx02costdt. 0(1-x12m)2 根据递推公式2cosnxdx=0m122(1-x)0pn-1p2cosn-2xdx, 0nmm-2m-4 531p m为奇数m+1m-1m-36422. dx=mm-2m-4 642 m为偶数753m+1m-1m-3 (13)Jm=0xsinmxdx(m为自然数). 解 因为 pp令x=p-t0mmmxsinmxdx(p-t)sin(p-t)(-1)dt=psintdt-p00tsintdt, p0p所以 Jm=xsinxdx=0p0pmpsin20pmxdx=22p2sinm0pxdx=p02sinmxdx(用第8题结果). p 根据递推公式2sinnxdx=n-1p2sinn-2xdx, 0nm-1m-3m-5531p2mm-2m-4 6422 m为偶数 Jm=. m-1m-3m-5642 p m为奇数753mm-2m-4 习题5-7 1. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: +dx (1); 1x4 解 因为 +dx1-3+1-311 =-x=lim(-x)+=, 411x+3333x所以反常积分 (2)1+1+dx1dx收敛, 且=. 441xx3dxx; + 解 因为1+dxx=2x+1=lim2x-2=+, 所以反常积分1x+dxx发散. (3)0e-axdx(a0); 解 因为 +-ax1-axedx=-e0a+0111=lim(-e-ax)+=, x+aaa+1所以反常积分0e-axdx收敛, 且e-axdx=. 0a (4)0e-ptchtdt(p1); 解 因为 +-pt1+(1-p)techtdt=e020+11(1-p)t1-(1+p)t+e-(1+p)tdt=e-e21-p1+p+0=pp2-1, 所以反常积分0e-ptchtdt收敛, 且0e-ptchtdt= (5)0e-ptsinwtdt(p0, w0); 解 +pp2-1. +0e-ptsinwtdt=-1+0w+0e-ptdcoswt +1 =-e-ptcoswtw+1+0w0+p+-pt1coswt(-pe)dt=-2edsinwt -ptww01p =-2e-ptsinwtwww20. p+p2+-pt1sinwt(-pe)dt=-20esinwtdt, -ptww所以 (6)+0e-ptsinwtdt=wp2+w2dx; -2x+2x+2+dxdx 解 -2=-=arctan(x+1)x+2x+21+(x+1)2+-=p-(-)=p. 22p (7)01x1-x2dx; 解 这是无界函数的反常