学案3二项式定理

名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 二项式定理二项式定理理解二项式定理和二项展开式的理解二项式定理和二项展开式的性质性质.名师伴你行 二项式定理在高考中一般以选择题、填空题的题二项式定理在高考中一般以选择题、填空题的题型出现，重点考查求二项展开式中特定项的系数，求型出现，重点考查求二项展开式中特定项的系数，求二项展开式中某指定的项或项数，求二项展开式的二二项展开式中某指定的项或项数，求二项展开式的二项式系数或展开式的系数的性质项式系数或展开式的系数的性质.有时也考查两个二项有时也考查两个二项式的积或三项式的特定项系数或特定项问题，还有以式的积或三项式的特定项系数或特定项问题，还有以二项式定理为载体考查数列求和、不等式证明等二项式定理为载体考查数列求和、不等式证明等.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.1.二项式定理的内容二项式定理的内容 (a+b)n=.右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中的系，其中的系数数 (r=0,1,n)叫做展开式的叫做展开式的 ，式中的第式中的第r+1项项 an-rbr叫做二项展开式的叫做二项展开式的 ，记，记作作Tr+1=(其中其中0rn,rN,nN*).r rn nC Cr rn nC CN N*)(n nb bC Cb ba aC Cb ba aC Ca aC Cn nn nn nk kk k-n nk kn n1 1-1 1n n1 1n nn n0 0n n+二项展开式二项展开式 二项式系数二项式系数 通项通项 r rr r-n nr rn nb ba aC C名师伴你行 2.2.二项式系数的性质二项式系数的性质 （1）对称性与首末两端）对称性与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系的两个二项式系数相等，即数相等，即 .（2）增减性与最大值由）增减性与最大值由 知，当知，当k 时，二项式系数是逐渐的时，二项式系数是逐渐的 ，由对称性知它的，由对称性知它的后半部分是逐渐的后半部分是逐渐的 ，且在中间取最大值，且在中间取最大值.当当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，是奇数时，中间的两项中间的两项 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和为）各二项式系数的和为2n，即，即 =2n.（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即系数的和，即返回目录返回目录 k k1 1k k-n nC CC C-1-1k kn nk kn n+=2 21 1n n+.C CC CC CC C3 3n n4 4n n2 2n n0 0n n+=+m m-n nn nm mn nC CC C=增大增大 减小减小 C C,C C2 21 1n n2 21 1-n nn nn n+n nn n1 1n n0 0n nC CC CC C+名师伴你行(1)2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷若若(x-)9的展开式中的展开式中x3的系数是的系数是-84,则则a=.(2)2010年高考安徽卷年高考安徽卷 的展开式中的展开式中,x3的系的系数等于数等于 .返回目录返回目录 考查二项展开式的通项公式考查二项展开式的通项公式.6xyyx名师伴你行 【解析【解析】(1)由由 令令9-2r=3,r=3,有有 =-84,解得解得a=1.(2)原式原式=xy +(-1)yx 6，Tr+1=又又6-r=3,r=2,x3的系数为的系数为(-1)2 =15.返回目录返回目录 21r29r9rrr9r91rxC)a(xaxCT393Ca-名师伴你行213r23r236r6r2rrr2r6r6r6yxC)1(xy)1(yxC2326C（1）二项展开式的通项公式反映出展开式在指）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数.（2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力项公式列方程求得，考查计算能力.返回目录返回目录 名师伴你行（1）2010年高考辽宁卷年高考辽宁卷(1+x+x2)(x-)6的展开的展开式中的常数项为式中的常数项为 .（2）2010年高考湖北卷在年高考湖北卷在(x+)20的展开式的展开式中，系数为有理数的项共有中，系数为有理数的项共有 项项.【解析】【解析】(1)返回目录返回目录 x x1 1名师伴你行4364224626066515644463336242615160606262x1x6x1520 x15x6xxx1x1xCx1xCx1xCx1xCx1xCx1xCx1xCxx1x1xxx1返回目录返回目录 名师伴你行所以常数项为所以常数项为1(-20)+=-5.(2)展开式的通项展开式的通项由由0r20,Z得得r=0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有所以系数为有理数的项共有6项项.22x15x 43rr20r20r4r20r201r3yxC)3(xCT4r（1+2x）n的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数相等，求项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.根据条件可求出根据条件可求出n；再根据；再根据n的奇偶性，的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定组确定.返回目录返回目录 名师伴你行T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有依题意有 25=26 n=8.(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1 120 x4,设第设第r+1项系数最大项系数最大,则有则有 2r 2r-1 2r 2r+1 返回目录返回目录 6 6n nC C5 5n nC C5 5n nC C6 6n nC C4 48 8C Cr r8 8C Cr r8 8C C-1-1r r8 8C C1 1r r8 8C C+1 1)-r r-(8 81 1)!(r r8 8!2 2r r)!-(8 8r r!8 8!1 1)!r r-(8 81 1)!-(r r8 8!r r)-(8 8r r!8 8!2 2+名师伴你行 2(8-r+1)r r6 r+12(8-r)r5 又又rN，r=5或或r=6,系数最大的项为系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6.返回目录返回目录 5r6.名师伴你行求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶为偶数时中间一项的二项式系数最大数时中间一项的二项式系数最大.求展开式中系数最求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法式组的方法.返回目录返回目录 名师伴你行在在(3x-2y)20的展开式中的展开式中,求求:(1)二项式系数最大的项二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项系数最大的项.返回目录返回目录 名师伴你行(1)二项式系数最大的项是第二项式系数最大的项是第11项项,T11=310(-2)10 x10y10=610 x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1项项,320-r2r 319-r2r+1 320-r2r 321-r2r-1,3(r+1)2(20-r)2(21-r)3r,解得解得 r .所以所以r=8.即即T9=31228x12y8是系数绝对值最大的项是系数绝对值最大的项.返回目录返回目录 10102020C C10102020C Cr r2020C Cr r2020C C1 1r r2020C C+1 1r r2020C C+于是于是化简得化简得5 52 27 75 52 28 88 82020C C名师伴你行 (3)由于系数为正的项为奇数项由于系数为正的项为奇数项,故可设第故可设第2r-1项系数项系数最大最大,于是于是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 320-2r22r,10r2+143r-1 0770 10r2+163r-9240.解之得解之得r=5,即即25-1=9项系数最大项系数最大.T9=31228x12y8.返回目录返回目录 2 2-2r2r2020C C2 2-2r2rC C4 4-2r2r2020C C2 2r r2 20 0C C8 82 20 0C C 化简得化简得 名师伴你行设（设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（）（a0+a2+a100）2-(a1+a3+a99)2.返回目录返回目录 利用二项式系数的性质利用二项式系数的性质.3 3名师伴你行（1）由）由(2-x)100展开式中的常数项展开式中的常数项为为 2100，即，即a0=2100,或令或令x=0，则展开式可化为，则展开式可化为a0=2100.（2）令）令x=1，可得，可得 a0+a1+a2+a100=(2-)100，a1+a2+a100=(2-)100-2100.返回目录返回目录 3 30 01 10 00 0C C3 33 3名师伴你行（3）令）令x=-1,可得可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100，与与x=1所得到的所得到的联立相减可得联立相减可得a1+a3+a99=.（4）原式）原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.返回目录返回目录 3 32 2)3 3(2(2-)3 3 -(2(2100100100100+3 33 3名师伴你行（1）求关于展开式中系数和的问题，往往根据）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,.（2）一般地，对于多项式）一般地，对于多项式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn.g(x)的各项的系数和为的各项的系数和为g(1),g(x)的奇数项的系数和为的奇数项的系数和为 g(1)+g(-1),g(x)的偶数项的系数和为的偶数项的系数和为 g(1)-g(-1).返回目录返回目录 2 21 12 21 1名师伴你行设设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9,则则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（）A.29 B.49 C.39 D.59 B(由通项公式可知，由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含的展开式中含x的奇的奇次幂的项的符号均为次幂的项的符号均为“-”，即，即a1,a3,a9均小于零均小于零.|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9中令中令x=-1，便可求出其，便可求出其值值.即即|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49.故应选故应选B.)返回目录返回目录 名师伴你行（1）已知）已知nN*,求证求证:1+2+22+23+25n-1能被能被31整数整数;（2）求）求0.9986的近似值的近似值,使误差小于使误差小于0.001.返回目录返回目录(1)要先用等比数列的前要先用等比数列的前n项和公式项和公式,然后应用然后应用二项式定理转化成含二项式定理转化成含31的倍数的关系式的倍数的关系式.(2)把把0.998变成变成1-0.002,然后应用二项式定理展开然后应用二项式定理展开.名师伴你行(1)证明证明:1+2+22+23+2 5n-1=2 5n-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+31n-2+31+1-1=31(31n-1+31n-2+)显然括号内的数为正整数，故原式能被显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除整除.(2)0.9986=(1-0.002)6=1-(0.002)+(0.002)2-(0.002)3+,第三项第三项T3=15(0.002)2=0.000 060.001,以后各项更小，以后各项更小，0.99861-0.012=0.988.返回目录返回目录 26C16C2121n51 1n nC C2 2n nC C36C-1nnC名师伴你行1 1n nC C-1nnC返回目录返回目录 名师伴你行证明：证明：2(1+)n1时，时，(1+)n=1+=1+1+2.当当n=1时等号成立时等号成立.(1+)n2成立成立.返回目录返回目录 n n1 11 11 1n n1 11 1n nC C2 2n nC Cn n1 12 2n n1 13 3n nC C3 3n n1 1n nn nC C2 2n n1 12 2n nC C2 2n n1 1n nn nC Cn nn n1 1n n1 1名师伴你行(1+)n=1+1+1+2+=2+=2+1-()n-1=3-()n-13.2(1+)n3成立成立.返回目录返回目录,k k!1 1n nk k!1 1)+k k-(n n2 2)-1 1)(n n-n n(n n=n n1 1C Ck kk kk kn nn n1 11 1n nC Cn n1 12 2n nC C2 2n n1 1n nn nC Cn nn n1 1n n!1 1+3 3!1 1+2 2!1 1-1 1n n2 22 21 1+2 21 1+2 21 12 21 1-1 1)2 21 1(-1 12 21 1-1 1n n2 21 12 21 1n n1 1名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行