信息光学Chapter0105

Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU1.5 FT的基本性质及有关的定理的基本性质及有关的定理 本节给出本节给出FTFT的一些重要性质和有关的定理，有的一些重要性质和有关的定理，有些加以推导，有些不推导。些加以推导，有些不推导。利用这些性质和定理，只要知道不多几个函数利用这些性质和定理，只要知道不多几个函数的的FTFT，就能够容易地求出许多其它函数的，就能够容易地求出许多其它函数的FTFT。这些性质和定理在线性系统分析、信号处理、这些性质和定理在线性系统分析、信号处理、图像处理及本课程中经常用到。图像处理及本课程中经常用到。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU1.5-1 基本性质基本性质1)线性性质（均匀性，叠加性）线性性质（均匀性，叠加性）(,)(,),(,)(,)F u vFT f x yG u vFT g x y若：若：则：则：(,)(,)(,)(,)FT af x ybg x yaF u vbG u v其中：其中：a 和和 b 是常数是常数和的和的FT等于等于FT的和的和 叠加性叠加性幅值按同样的比例缩放幅值按同样的比例缩放 均匀性均匀性同时具有叠加性和均匀性同时具有叠加性和均匀性 线性性质性线性性质性Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU2).对称性质对称性质(,)(,)F u vFT f x y若：若：(,)(,)FT F x yfuv则：则：证明方法一：证明方法一：(,)exp2()exp2()f u vju xv y du dvjuxvy dxdy (,)(,)exp2()FT F x yF x yjuxvy dxdy(,)exp2()()f u vjuu xvv y dxdy du dv (,)(,)(,)f u vuu vv du dvfuv Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU证明方法二：证明方法二：(,)(,)exp 2()f x yF u vjuxvy dudv(,)(,)exp 2()f u vF x yjxuyv dxdy(,)(,)exp2()(,)fuvF x yjuxvy dxdyFT F x y Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU 若若 f(x,y)为偶函数，则为偶函数，则 F(u,v)也是偶函数，也是偶函数，即即:若若 f(-x,-y)=f(x,y),则则 F(-u,-v)=F(u,v)。若若 f(x,y)为奇函数，则为奇函数，则 F(u,v)也是奇函数，也是奇函数，即：若即：若f(-x,-y)=-f(x,y),则则 F(-u,-v)=-F(u,v)。关于关于FT的对称性还有：的对称性还有：(,)(,)fxyFuv(,)(,)fxyFuv(,)(,)F u vfxy(,)(,)Fuvf x yInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU3)迭次迭次FT 证明：证明：(,)exp2()exp2()f x yjuxvy dxdyjuxvydudv (,)(,)FT FT f x yfxy(,)exp2()()f x y dxdyjxx uyy vdudv (,)(,)(,)(,)f x yxx yy dxdyfxyfxy(x,y)(u,v)(-x,-y)F(u,v)f(x,y)f(-x,-y)Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU1(,)(,)FTFT f x yf x y(x,y)(u,v)(x,y)F(u,v)f(x,y)f(x,y)Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU4)坐标缩放性质坐标缩放性质(,)(,)F u vFT f x y若：若：则：则：1(,)(,)u vFT f ax byFaba ba，b为不为为不为零的实常数零的实常数v光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。如：孔径夫琅和费衍射。如：孔径夫琅和费衍射。证明：证明：Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU5)平移性：平移性：(,)(,)F u vFT f x y若：若：则：则：x0，y0 为实常数为实常数证明：证明：0000(,)exp2()(,)FT f xxyyjuxvyF u vv空域中的平移造成频域中频谱的相移。空域中的平移造成频域中频谱的相移。v光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不 变性。变性。例如：孔径的夫琅和费衍射（加透镜）例如：孔径的夫琅和费衍射（加透镜）Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDUffy1x1v=y2/(f)u=x2/(f)在透镜前横向平移。在透镜前横向平移。00(,)f xxyy00exp2()(,)juxvyF u v强度分布（衍射图样）强度分布（衍射图样）Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU6)体积或面积的对应关系体积或面积的对应关系则有则有：(0,0)(,)Ff x y dxdy(0,0)(,)fF u v dudv (,)(,)FT f x yF u v若有若有：Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU7)复共轭函数的复共轭函数的FT (,)(,)FT f x yF u v若有若有：(,)(,)FT fx yFuv(,)(,)FT fxyFu v则有：则有：由上式知，若由上式知，若 f(x,y)为实函数为实函数,则其则其FT具有厄具有厄米对称性，即米对称性，即:(,)(,)F u vFuvInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU1.5-2 FT的基本定理的基本定理1)卷积定理卷积定理(Convolution Theorem)2)相关定理相关定理(Correlation Theorem)3)巴塞伐定理巴塞伐定理(Parsevals Theorem)4)广义巴塞伐定理广义巴塞伐定理(Generalized Parsevals Theorem)5)导数定理导数定理(Derivative Theorem)Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU1)卷积定理卷积定理(Convolution Theorem)若：若：(,)(,)F u vFT f x y(,)(,)G u vFT g x y(,)(,)(,)(,)()FT f x yg x yF u v G u vA(,)(,)(,)(,)()FT f x y g x yF u vG u vB则有：则有：v即两个函数卷积的即两个函数卷积的FT等于它们的等于它们的FT之积。之积。v两个函数乘积的两个函数乘积的FT等于它们的等于它们的FT的卷积。的卷积。v若若f(x,y)和和g(x,y)表示两幅图像，卷积定理即表示：两表示两幅图像，卷积定理即表示：两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。频谱等于两图像频谱之卷积。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU证明：（以一维函数为例）证明：（以一维函数为例）()()(2)fg xexpjux dx d()()exp(2)G ufjud()()G u F u()()()()exp(2)FT f xg xfg xdjux dx()()exp(2)fG ujud Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU()()()()exp(2)FT f x g xf x g xjux dx()exp(2)()exp(2)F uju x duG uju x du exp(2)jux dx()()exp2()F u G ujuuu x dx du du()()()F u G uuuu du du()()()F uG uuuu du du()()()()F u G uu duF uG uInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDUv卷积定理在卷积定理在FT理论及应用中非常重要：理论及应用中非常重要：对于一个复杂函数，其对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可用易求，则可用卷积定理。卷积定理。如：如：tri()FTx？2tri()rect()rect()sinc()sinc()sinc()FTxFTxxuuutri()rect()rect()xxx当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求，乘积后，再求IFT,即可得两者之卷积。即可得两者之卷积。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU如：如：sinc()sinc()?xx sinc()sinc()sinc()sinc()FTxxFTxFTxrect()rect()rect()uuu1sinc()sinc()rect()sinc()xxFTux数字图像处理或数字信号处理中有数字图像处理或数字信号处理中有FFT与与FIFT算法和程序；算法和程序；光学上可用光学上可用FT透镜实现透镜实现FT和和IFT功能。功能。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU2)相关定理相关定理(Correlation Theorem)(1)互相关定理互相关定理(Cross-correlation Theorem)若：若：(,)(,)F u vFT f x y(,)(,)G u vFT g x y则有：则有：(,)(,)(,)(,)FT f x yg x yFu v G u v通常把通常把 F*(u,v)G(u,v)称为称为 f(x,y)和和 g(x,y)的互谱能的互谱能量密度量密度,简称为互谱密度。简称为互谱密度。互相关定理表明：两个函数的互相关与其互谱密度互相关定理表明：两个函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。构成傅里叶变换对。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU()()exp(2)G ufjud*()()F u G u证明：证明：(方法一）方法一）(,)(,)()()exp(2)FT f x yg x yfgx djux dx()()exp(2)fgxjux dx d()()exp(2)fG ujud 证明：证明：(方法二）方法二）Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU可用相关与卷积的关系、及卷积定理，来证明：可用相关与卷积的关系、及卷积定理，来证明：*()()()()f xg xfxg x*(,)(,)()()()()FT f x yg x yFT fxg xFT fxFT g x()()Fu G u(2)自相关定理自相关定理(Auto-correlation Theorem)2(,)(,)(,)(,)(,)FT f x yf x yFu vF u vF u v|F(u,v)|2 称为的称为的 f(x,y)的能谱密度。的能谱密度。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU说明：说明：相关定理常用来求两个函数或图像的相关；当两个相关定理常用来求两个函数或图像的相关；当两个函数或图像的相关难求时，可先求得各自的函数或图像的相关难求时，可先求得各自的FT，将，将第一个函数的第一个函数的FT取复共轭，乘积后，再求取复共轭，乘积后，再求IFT,即可即可得两者之相关。即：得两者之相关。即：FT-1F*(u)G(u)=f(x)g(x)相关定理常常用于信号检测、图像识别。相关定理常常用于信号检测、图像识别。根据相关的物理意义和特性。相关函数具有中心峰值根据相关的物理意义和特性。相关函数具有中心峰值分布。当函数是实函数时，其自相关具有中心对称的分布。当函数是实函数时，其自相关具有中心对称的峰值分布。峰值分布。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU3)巴塞伐定理巴塞伐定理(Parsevals Theorem)(,)(,)F u vFT f x y22(,)(,)f x ydxdyF u vdudv 则则:若若:在应用问题中，等号两边的积分都可以表示某在应用问题中，等号两边的积分都可以表示某种能量。该定理表明，对能量计算既可以在空域种能量。该定理表明，对能量计算既可以在空域种进行也可在频域中进行，两者等价。种进行也可在频域中进行，两者等价。在物理意义上，该定理是能量守恒的体现，所在物理意义上，该定理是能量守恒的体现，所以也称为能量守恒定理。以也称为能量守恒定理。Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU()()F u Fu du2()F udu()exp(2)()exp(2)F ujux duF uju x dudx 证明：证明：2()()()f xdxf xfx dx()()exp2()F u Fujuu x dx dudu()()()F uFuuu du duInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU可用来计算较复杂的积分，如：可用来计算较复杂的积分，如：22sinc()rect()rect()1x dxuduu du4)广义巴塞伐定理广义巴塞伐定理(Generalized Parsevals Theorem)可用于求复杂的积分，如可用于求复杂的积分，如:(,)(,)(,)(,)f x y gx y dxdyF u v G u v dudv 32sinc()sinc()sinc()rect()tri()x dxxx dxuu du12032(1)4u duInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU5)导数定理导数定理(Derivative Theorem)设设(,)(,)FT f x yF u v(,)(,)(,)(,)(,)(,)mnm nmnmnm nmnfx yfx yxyF u vFu vuv且且则有则有(,)(,)(2)(2)(,)m nmnFT fx yjujvF u v(,)(,)()()(,)22mnmnm njjFT x y f x yFu vInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU以一维函数为例的证明见以一维函数为例的证明见应用应用FTP109P109页页 Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU6积分定理积分定理(Integral Theorem)7矩定理矩定理(Moment Theorem)Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDUInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU小结小结 Information OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDUInformation OpticsInstitute of Information Optics,ISE,SDU