初中几何辅助线做法大全

初中几何辅助线做法大全线、角、相交线、平行线 规律1.平面上有n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，每两点画一条直线，一共可以画出规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成12n(n1)条. 12n(n+1)+1个部分. 规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n1)条. 规律4.线段上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有12n(n1)个. 规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n个. 规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n对对顶角. 规律8.平面上有n个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为1n(n1)(n2）个. 612n(n1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 三角形部分 规律15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D、E为ABC内两点，求证：ABACBDDECE. 证法：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N 在AMN中， AM ANMDDENE 在BDM中，MBMDBD 在CEN中，CNNECE 得 AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDECE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P为ABC内任一点，求证：BMDAGEFNC12(ABBCAC)PAPBPCABBCAC 规律16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知BD为ABC的角平分线，CD为ABC 的外角ACE的平分线，它与BD的延长线交于D. 求证：A = 2D 证明：BD、CD分别是ABC、ACE的平分线 ACE =21, ABC =22A = ACE ABC A = 2122又D =12 A =2D 规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90o- 1 - B2AD1CE12A 证明：BD、CD分别平分ABC、ACBA2122 = 180o 2(12)= 180oABDC = 180o(12) (12) = 180BDC把式代入式得 2(180oBDC)= 180oA即：360o2BDC =180oA DB12oA12BDC = 180oABDC = 90o2CA 规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分EBC、FCB， 求证：BDC = 90o12A 证明：BD、CD分别平分EBC、FCBEBC = 21、FCB = 22 21 =AACB 22 =AABC 得2= AABCACBA2= 180oA = 90o12ABDC = 180o(12)BDC = 180o(90o12A)BDC = 90oA12A 2CFABE1DBEDC规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差的一半. 例：已知，如图，在ABC中，CB， ADBC于D， AE平分BAC. 求证：EAD = 12(CB) 证明：AE平分BACBAE =CAE =12BACBAC =180o(BC)EAC = 12180o(BC)ADBCDAC = 90o CEAD = EACDAC EAD = 12180o(BC)(90oC)= 90o12(BC)90oC= 12(CB) 如果把AD平移可以得到如下两图，FDBC其它条件不变，结论为EFD = 12(CB). 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力. 规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D为ABC内任一点，求证：BDCBAC 证法：延长BD交AC于E， BDC是EDC 的外角，BDCDEC 同理：DECBACBDCBAC证法：连结AD，并延长交BC于F BDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCAD BDFCDFBADCAD即：BDCBAC 规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. - 2 - BDAECBDFCA 例：已知，如图，AD为ABC的中线且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF 证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB，1 = 2，ED = ED，BDENDE BE = NE，同理可证：CF = NF，在EFN中，ENFNEF BECFEF 规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为ABC的中线，且1 = 2，3 = 4， 求证：BECFEF 证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM，BDE和CDM中，BD = CD，1 = 5，ED = MD BDECDM，CM = BE，又1 = 2，3 = 4，123 4 = 180o3 2 = 90o ，ANEB1234FDC即EDF = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中， ED = MD，FDM = EDF，DF = DFEDFMDF EF = MF在CMF中，CFCM MF，BECFEF 此题也可加倍FD，证法同上） 规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为ABC的中线，求证：ABAC2AD 证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE AD为ABC的中线BD = CD在ACD和EBD中 BD = CD 1 = 2，AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD 规律24.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ab ab = c ab = cd 例：已知，如图，在ABC中，ABAC，1 = 2，P为AD上任一点， 求证：ABACPBPC 证明：截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN 在APN和APC中，AN = AC，1 = 2AP = AP APNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC 补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC 练习：1.已知，在ABC中，B = 60o,AD、CE是ABC的角平分线,并且它们交于点O 求证：AC = AECD 2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 规律25.证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD相交于F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF 证明：ADF =B3 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF和AEF中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEF DF = EF - 3 - BD1234AAEB123FD45CB12DCMEA12A12NBDPCPBDCMDEA1234BCAECF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，过A作任一条直线AN，作BDAN于D，CEAN于E，求证：DE = BDCE 证明：BAC = 90o, BDAN12 = 90o 13 = 90o2 = 3BDAN CEAN BDA =AEC = 90o在ABD和CAE中，BDA =AEC 2 = 3 AB = AC ABDCAE BD = AE且AD = CE AEAD = BDCE DE = BDCE 规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为ABC的中线，且CFAD于F，BEAD的延长线于E 求证：BE = CF 证明： 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B 求证：AD = BC 证明：分别延长DA、CB交于点E ADAC，BCBDCAE = DBE = 90o 在DBE和CAE中，DBE =CAE，BD = AC，E =E DBECAE，ED = EC，EB = EA，EDEA = EC EBAD = BC 规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，ABCD，ADBC 求证：AB = CD 证明：连结AC ABCD，ADBC1 = 2 在ABC和CDA中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDAAB = CD 练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”. 例：已知，如图，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延长线于E 求证：BD = 2CE 证明：分别延长BA、CE交于F BECFBEF =BEC = 90o在BEF和BEC中1 = 2 AEDoA12DB3EACNFB12DCEEAODBCEA13DD42CBCAFBF1BE = BE，BEF =BECBEFBECCE = FE =2ooCF B12BAC = 90 , BECFBAC = CAF = 90 1BDA = 90 1BFC = 90oBDA = BFC在ABD和ACF中BAC = CAF，BDA = BFC，AB = AC ABDACF，BD = CF，BD = 2CE 练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD于D， 求证：ABAC = 2CD - 4 - BDCA12CAODBC规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD， 求证：A = D证明： 规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC，A = D 求证：ABC = DCB 证明：分别取AD、BC中点N、M， 连结NB、NM、NC BCAD规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，1 = 2 ，P为BN上一点，且PDBC于D，ABBC = 2BD， 求证：BAPBCP = 180o 证明：过P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD 在RtBPE和RtBPD中，BP = BP，PE = PD，RtBPERtBPDBE = BD ABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAE，AE = CD，PEBE，PDBC PEB =PDC = 90在PEA和PDC中，PE = PD，PEB =PDC，AE =CD，ooo1EAPNB2DCPEAPDC，PCB = EAP，BAPEAP = 180，BAPBCP = 180 练习：1.已知，如图，PA、PC分别是ABC外角MAC与NCA的平分线，它们交于P， PDBM于M，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线 MDAPBEADCBCFN2. 已知，如图，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分线，D是AC上一点，若CBD = 20o，求CED的度数。 规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BDAC于D，求证：BAC = 2DBC 证明：作BAC的平分线AE，交BC于E，则1 = 2 = 又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDAC DBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC 过A作AEBC于E 取BC中点E，连结AE 有底边中点时，常作底边中线 求证：DE = DF证明：连结AD. D为BC中点，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题 - 5 - BEA1212BAC ADCEBDFC例：已知，如图，ABC中，AB = AC，D为BC中点，DEAB于E，DFAC于F， 例：已知，如图，ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EFBC 证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC BACBACNANC = 180o 2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90o NCBCAE = AFAEF = AFE 又BAC = AEF AFE BAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANC AEF = ANCEFNCEFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：过D作DNAE，交BC于N，则DNB = ACB，NDE = E， AB = AC，B = ACBB =DNB BD = DN又BD = CE DN = EC 在DNF和ECF中1 = 2 NDF =E DN = EC DNFECFDF = EF 过E作EMAB交BC延长线于M,则EMB =B 常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE 求证：DEBC 证明：过点E作EFBC交AB于F，则 AFE =BAEF =CAB = AC B =CAFE =AEFAD = AE AED =ADE DEFE又EFBCDEBC 证法二）过点D作DNBC交CA的延长线于N， 过点A作AMBC交DE于M， 常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形 例：已知，如图，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度数. 解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则BAE =ABE = 60o AE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACE EAC =BACBAE= 80o 60o = 20o ACE = AFBNADMECBAFCENADBADB121NFCEF2CEM又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90o 即FED = 90o 12(180oEAC)= 80oACB= 12(180oBAC)= 50o BPCEBCE =ACEACB= 80o50o = 30o PCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60o EBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10o PBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBC BC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BE - 6 - AB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = 70o 解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以BC为一边作等边三角形BCE，连结AE,则EB = EC = BC，BEC =EBC = 60o EB = ECE在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线EABC AEB = E12(180oABP)= A12BEC = 30o =PCB o由解法一知：ABC = 50 ABE = EBCABC = 10o =PBC BPCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BP BAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40o PAB = 12(180oABP) = 12(180o40o)= 70o 规律35.有二倍角时常用的辅助线 构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C， 求证：ABBD = AC 证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE 则BED = BDEABD =EBDEABC =2E ABC = 2CE = C 在AED和ACD中 E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE 即ABBD = AC 平分二倍角 例：已知，如图，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC 求证：ABC = ACB 证明：作BAC的平分线AE交BC于E，则BAE = CAE = DBC BDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180CAEC= 90AEBCABCBAE = 90 CAEC= 90oBAE = CAEABC = ACB 加倍小角 例：已知，如图，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC 求证：ABC = ACB 证明：作FBD =DBC,BF交AC于F 规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 例：已知，如图，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E 求证：BF =BFDCoooA12BEDCADBEAC12FC 证明：连结AF，则AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120o B =CBAC =12(180oBAC) = 30oFAB = 30o AooooFAC =BACFAB = 12030 =90又C = 30 BEFC- 7 - AF = 12FCBF =12FC 练习：已知，如图，在ABC中，CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DMAB于M，DNAC延长线于N 求证：BM = CN 规律37. 有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC中，B =2C，ADBC于D 求证：CD = ABBD 证明：在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE B =AEB B = 2C AEB = 2C 又AEB = CEAC C =EAC AE = CE 又CD = DECE CD = BDAB 延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC 规律38.有中点时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD 求证：ABC为直角三角形 证明：过D作DEBC，交AC于E，连结BE，则BE = CE， C =EBCABC = 2CABE =EBC BC = 2AB，BD = CDBD = AB 在ABE和DBE中AB = BDABE =EBC，BE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即ABC为直角三角形 规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在ABC中，A = 90o，DE为BC的垂直平分线 求证：BE2AE2 = AC2 证明：连结CE，则BE = CE A = 90o AE2AC2 = EC2 AEAC= BE BE2AE2 = AC2 练习：已知，如图，在ABC中，BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点 求证：PB2PC2= 2PA2 规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. A222AMBECNDACEDBACDBFAECDBAEABDCBPC例：已知，如图，在ABC中，B = 45o，C = 30o，AB =- 8 - 2，求AC的长. BDC解：过A作ADBC于DBBAD = 90o， B = 45o，B = BAD = 45o，AD = BDAB2 = AD2BD2，AB =AD = 1C = 30o，ADBCAC = 2AD = 2 四边形部分 规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知,ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长. 解：四边形ABCD为平行四边形AB = CD，AD = CB，AO = CO ABCDDACB = 60，AOABOB(OBBCOC) = 8ABBC = 30，ABBC =8 AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm. 规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，RtABC，ACB = 90o，CDAB于D，AE平分CAB交CD于F，过F作FHAB交BC于H 求证：CE = BH 证明：过F作FPBC交AB于P，则四边形FPBH为平行四边形 B =FPA，BH = FPACB = 90o，CDAB 5CAB = 45o，BCAB = 90o5 =B 5 =FPA又1 =2，AF = AFCAFPAF CF = FP4 =15，3 =2B3 =4 CF = CECE = BH 练习：已知，如图，ABEFGH，BE = GC 求证：AB = EFGH 规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点 求证：CMDM 证明：延长DM、CB交于N四边形ABCD为平行四边形 AD = BC，ADBCA = NBA ADN =N 又AM = BMAMDBMNAD = BN BN = BCAB = 2BC，AM = BMBM = BC = BN 1 =2，3 =N123N = 180，13 = 90CMDM 规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF 规律46.平行四边形一边上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. BOFCAEDAEDoo152 CEHBFA243DPAFHBEGCD21CAM3BNBC- 9 - 如图：SBEC = 12SABCD 规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：SAOB SDOC = SBOCSAOD = 12SABCD AOBCD规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 如图：AO2OC2 = BO2 DO2 规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形GHMN是矩形 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. BOAOBAGHNMCDADCBCD例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P为对角线BD上一点，PFBE于F，PGAD于G 求证：PFPG = AB 证明：证法一：过P作PHAB于H，则四边形AHPG为矩形 AH = GP PHADADB =HPBBE = DEEBD = ADB HPB =EBD又PFB =BHP = 90oPFBBHPHB = FP AHHB = PGPF即AB = PGPF 证法二：延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形， 规律51.直角三角形常用辅助线方法： 作斜边上的高 例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE 证明：过A作AFBD，垂足为F，则AFEGFAE = AEG 四边形ABCD为矩形BAD = 90o OA = ODBDA =CADAFBD ABDADB = ABDBAF = 90oBAF =ADB =CAD AE为BAD的平分线BAE =DAEBAEBAF =DAEDAC即FAE =CAECAE =AEGAC = EC 作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： 有斜边中点时 例：已知，如图，AD、BE是ABC的高， F是DE的中点，G是AB的中点 求证：GFDE 证明：连结GE、GD AD、BE是ABC的高，G是AB的中点GE = F是DE的中点GFDE - 10 - BGCAEFDAHBEGFPNDCAOBFGDCE12AB，GD = 12ABGE = GD 有和斜边倍分关系的线段时 例：已知，如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，且DABA于A，AC = 求证：ACB = 2B 证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = AC = 12BD 12BD1 =B 1A12BDAC = AEACB =2 B22 =1B2 = 2B ACB = 2B 规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等. ECD例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PEBC于E，作PFCD于F 求证：AP = EF 证明:连结AC 、PC四边形ABCD为正方形 BD垂直平分AC，BCD = 90oAP = CP PEBC，PFCD，BCD = 90o四边形PECF为矩形 PC = EFAP = EF 规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点. 例：已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MNMD，BN平分CBE并交MN于N 求证：MD = MN 证明：取AD的中点P，连结PM，则DP = PA =BADPEFC12AD D1CNM2四边形ABCD为正方形AD = AB, A =ABC = 90o 1AMD = 90o，又DMMN2AMD = 90o 1 =2M为AB中点AM = MB = PABE12ABDP = MB AP = AM APM =AMP = 45oDPM =135oBN平分CBECBN = 45oMBN =MBCCBN = 90o45o= 135o即DPM =MBNDPMMBNDM = MN 注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。 练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且AP = PCBC 求证：BAP = 2QAD 规律54.利用正方形进行旋转变换 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法. 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中. 例：已知，如图，在ABC中，AB = AC，BAC = 90o，D为BC边上任一点 求证：2AD2 = BD2CD2 证明：把ABD绕点A逆时针旋转90得ACE BD = CE，B = ACEBAC = 90oDAE = 90oDE2 = AD2AE2 = 2AD2 BACB = 90oDCE = 90oCD2CE2 = DE22AD2 = BD2CD2 注意：把ADC绕点A顺时针旋转90o 也可，方法同上。 练习：已知，如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分CBE交CD于F 求证：BE = CFAE 规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形. - 11 - BCAEDFoDQPCABAEBDC例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点 求证：AP = AB 证明：延长CF交BA的延长线于K四边形ABCD为正方形 BC = AB = CD = DA BCD =D =BAD = 90o E、F分别是CD、DA的中点 CE = CPE12DFK12CD DF = AF = 12AD BACE = DFBCECDFCBE =DCF BCFDCF = 90o BCFCBE = 90oBECF 又D =DAK = 90o DF = AF 1 =2CDFKAFCD = KABA = KA又BECFAP = AB 练习：如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CDCP 求证：AQ平分DAP ADQBADPCBEC规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD = 3，AB = 4，BC = 7 求B的度数 解：过A作AECD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形AD = EC， CD = AE AB = CD = 4, AD = 3, BC = 7 BE = AE = AB = 4ABE为等边三角形B = 60o 规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形. 例：已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB = AC，BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O 求证：CO = CD 证明：过A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形 AE = DFAB = AC，AEBC，BAC = 90o， AE = BE = CE =AE = DF = 12BC，ACB = 45o BC = BD AOBD12BD又DFBCDBC = 30o EFCBD = BCBDC =BCD = 12(180oDBC)= 75o DOC =DBCACB = 30o45o = 75oBDC =DOCCO = CD 规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC = 10，DEBC于E 求DE的长. 解：过D作DFAC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形 AC = DF， AD = CF，四边形ABCD为等腰梯形AC = DB BD = FDDEBC BE = EF =AD12BF=12(BCCF) =12(BCAD) BECF1210 = 5ACDF，BDACBDDFBE = FEDE = BE = EF = 12BF = 5 答：DE的长为5. 规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形. E- 12 - ADBC例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB = DC，B =C，ADBC 求证：四边形ABCD等腰梯形 证明：延长BA、CD，它们交于点E B =CEB = EC又AB = DCAE =DE EAD =EDA EEADEDA = 180o ，BCE = 180o EAD =BADBCADBC，B =C四边形ABCD等腰梯形 规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形ABCD中，ADBC，E为CD中点，EFAB于F 求证：S梯形ABCD = EFAB 证明：过E作MNAB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形 EFABSABNM = ABEFADBCM =MNC 又DE = CE 1 =2CENDEMSCEN = SDEM S梯形ABCD = S五边形ABNEDSCEN = S五边形ABNEDSDEM = S梯形ABCD = EFAB 规律61. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形. 例：已知,如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABAD于A，DE = EC = BC 求证：AEC = 3DAE 证明：连结BE并延长交AD的延长线于N ADBC3 =N又1 =2 ED = ECDENCEBBE = EN DN = BC ABADAE = EN = BEN =DAEAEB =NDAE = 2DAE DE = BC BC = DNDE = DNN =11 =2 N =DAE2 =DAE AEB2 = 2DAEDAE即AEC = 3DAE 规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线. 例：已知,如图，梯形ABCD中，ADBC，ADBC，E、F分别是AD、BC的中点，且EFBC 求证：B =C 证明：过E作EMAB, ENCD,交BC于M、N，则得ABME，NCDE AE = BM，AB= EM，DE = CN，CD = NEAE = DEBM = CN 又BF = CFFM = FN又EFBCEM = EN1 =2 ABEM， CDEN1 =B 2 =CB = C 规律63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半. 例：已知,如图，梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O，且ACBD，AC = 4，BD = 3.4, 求梯形ABCD的面积. 解：ACBDSABD =SBCD = B122ADF12MECBNADN1EB3CAEDMFNC12AOBD AOBD12COBDS梯形ABCD = SABD SBCD C1=21COBD =(AOCO)BD 211即S梯形ABCD = ACBD = 43.4=6.8 22答：梯形ABCD面积为6.8. 规律64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题. 例:已知：ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，AE、CD交- 13 - B1AOBD2ADFNEC于点F 求证：F为CD的中点 证明：过D作DNAE交BC于ND为AB中点BN = EN又E为BC的三等分点BN = EN = CE DNAEF为CD的中点 规律65.有下列情况时常作三角形中位线. 有一边中点；有线段倍分关系；有两边中点. 例：如图，AE为正方形ABCD中BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O 求证：OF =12CE A12DN5OF64证明：取AE的中点N，连结ON,则ON为ACE的中位线 1ONCE，ON =2CE6 =ONE四边形ABCD为正方形 B33 =4 = 45o5 =31, 6 =421 =2 5 =66 =ONEONE =5ON = OFOF =规律66.有下列情况时常构造梯形中位线 有一腰中点有两腰中点涉及梯形上、下底和 EC12CE 例1：已知,如图，梯形ABCD中，ADBC，DAB = 90o ,E为CD的中点，连结AE、BE 求证：AE = BE 证明：取AB的中点F，连结EF，则FAD DAB =EFB =90EFAB EF为AB的中垂线AE = BE oAFBDEC例2：从ABCD的顶点ABCD向形外的任意直线MN引垂线AA、BB、CC、DD，垂足分别为A、B、C、D 求证：AACC = BBDD 证明：连结AC、BD，它们交于点O，过O作OEMN于E，则AAOECC 四边形ABCD为平行四边形AO = CO AE = CE AACC = 2OE 同理可证：BBDD = 2OEAACC = BBDD 规律67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形. 规律68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形. 规律69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形. 规律70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形. 规律71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形. 规律72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半. 以上各规律请同学们自己证明. 规律73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，AD = BC，对角线AC、BD相交于O，AOB = 60o ，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点 求证：MEF是等边三角形 证明：连结BF、CE 四边形ABCD为等腰梯形AD = BC，AC = BD 又AB为公共边ABDBAC - 14 - AFBDEOCMBBAECDNAOCDMCAB =DBAOA = OB AOB = 60o ABO为等边三角形 又F为AO中点BFAC M为BC中点MF =同理可证：ME =12BC 12BCE、F分别为OD、OA中点EF =12AD AD = CBME = MF = EFMEF为等边三角形 规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半. 例：已知，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AOB = 120. 求证：AB =OAOBD12BD C规律75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积. 例：已知,如图，梯形ABCD中，ADBC，E为CD中点，EFAB于F 求证：S梯形ABCD = EFAB 证明：过E作MNAB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形 EFABSABNM = ABEFADBCM =MNC 又DE = CE 1 =2CENDEMSCEN = SDEM S梯形ABCD = S五边形ABNEDSCEN = S五边形ABNEDSDEM 规律76.若菱形有一内角为120o，则菱形的周长是较短对角线长的4倍. 例：已知，四边形ABCD是菱形