《直线与圆的方程》复习指导

直线与圆的方程复习指导wwwMathsChinacom 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 直线与圆的方程复习指导 山东 胡大波 广东 谭渊 一 热点剖析 直线与圆是最基本的图形，有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型在考试中出现较多空间直角坐标系及空间两点之间的距离常与空间向量结合出现与圆有关的应用问题也是考查的热点，既有基本知识的应用，又有综合运用知识分析问题、解决问题的综合应用 二 圆的方程 1确定圆的方程的条件 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，圆的方程就被确定因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为： 根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2； 根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； 解方程组求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程 2点P(x0，y0)与圆的位置关系 若(x0-a)2+(y0-b)2=r2，则点P在圆上；若(x0-a)2+(y0-b)2r2，则点P在圆外；若(x0-a)2+(y0-b)20时，方程表示以-，D2+E2-4F为222半径的圆； ED-； 当D2+E2-4F=0时，方程表示点-，2222当D2+E2-4F0，这就确定了求圆的方程的方法待定系数法 注意：用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组 4直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种 代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究若有两组不同的实数解，即D0，则相交；若有两组相同的实数解，即D=0，则相切；若无实数解，即D0，则相离 学数学 用专页 第 1 页 共 3 页 教数学 用华软 wwwMathsChinacom 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离 注意：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用几何法 5直线与圆相切，切线的求法 当点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，切线方程为x0x+y0y=r2； 当点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上， 则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2； 斜率为k且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为y=kxr1+k2 提示：斜率为k且与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y=kx+m，然后变成一般式kx-y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m 点P(x0，y0)在圆外，则设切线的方程为y-y0=k(x-x0)，变成一般式后，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不要忽略 6圆与圆的位置关系 从交点个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论比如两圆只有一个交点时，虽然相切，但是是外切还是内切就很难分清楚所以判断两圆的位置关系通常还是从圆心距与两圆半径的关系下手，设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，圆心距O1O2=d，则两圆相离dr1+r2；两圆外切d=r1+r2；两圆相交r1-r2d1r+；两圆内切rd=r1-r2；两圆内含0dr1-r2；两圆是同心圆2d=0 7直线和圆的方程的应用 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后对坐标和方程进行代数运算，最后把代数运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲” 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为代数问题 第二步：通过代数运算，解决代数问题 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论 三 空间直角坐标系 1空间直角坐标系的建立 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置；在坐标平面上，一对有序实数(x，y)）才能确定一个点的位置；在空间确定一个点的位置需要三个实数，如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度 如右图，OABC-A1B1C1D1是单位正方体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD1的方向为正方向，以线段OA的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面学数学 用专页 第 2 页 共 3 页 教数学 用华软 wwwMathsChinacom 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面、zOx平面 在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOy=135，yOz=90 2空间直角坐标系中点的坐标 如右图，设M为空间一个定点，过M分别垂直于x轴、y轴、依次交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R设点P，Q和z轴的平面，R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点M就对应唯一的有序数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)其中x，y，z也可称为点M的坐标分量 反之，任意三个实数的有序数组(x，y，z)，就能确定空间一个点与之对应我们可以在x轴、y轴、z轴上依次各取坐标为x，y，z的点P，Q，R，分别过P，Q，R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x，y，z)确定的点M 这样，我们就在空间任意一点M与一个有序实数组之间建立起了一一对应的关系M(x,y,z) 其中x叫做点M的横坐标，也叫点M的x坐标；y叫做点M的纵坐标，也叫点M的y坐标；z叫做点M的竖坐标，也叫点M的z坐标 xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意实数； yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意实数； xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意实数 0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数； x轴是坐标形如(x，0)的点构成的点集，其中y为任意实数； y轴是坐标形如(0，y，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数 z轴是坐标形如(0，3.空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广式，推导原理是直角三角形中的勾股定理 空间任意一点P(x，y，z)到原点O的距离OP=x2+y2+z2 空间任意两点A(1，x，1，y)1，z(，B2x)间y的z距之离AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 学数学 用专页 第 3 页 共 3 页 教数学 用华软