力学课后答案

f = Rcosti + Rsintj + 2tk,2.2.6 （1）R为正常数。求t=0,n /2时的速度和加速度。（2）f = 3ti - 4.5t2 j + 6t3,求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。解：(1)f = Rcosti + Rsintj + 2tk,drV = 一 Rsinti + Rcostj + 2氏,dtdva = 一 Rcosti 一 Rsintjdt当t=0时，V = Rj + 2虹 V = -Ri,v = 0,v = R,v = 2,a = R,a = a = 0当t=n /2时，v = 一Ri + 2k, a = 一Rj,v = R,v = 0,v = 2,a = 0,a = R,a = 0xyz(2)r = 3ti - 4.5t2j + 6t3k, drv = dr = 31 - 9tj + 18t2k,dvV = dV = -9Jdf当t=0时，v = 31, a = 一9j,当 t=1 时，V = 31 9J +1811, a = 一9J + 36k,2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为s = 80t 一t2 （长度：m时间：s）。t=0时，列车在图中o点，此圆弧形轨道的 半径r=1500m.求列车驶过o点以后前进至1200m处的速率及加速度。解，采用自然坐标系，o为自然坐标系的原点。由 s = 80t 一 t2 得dsdvv = 80 2t a = t = 2t dtt dr80t . 1200 = 80t -12当 s=1200m 时，由 s = 80t 一2得t = 20,t = 60,(舍去)因为当t=60时，v = 80 2 x 60 = 40T即列车驶过o点以后前进至1200m处的速率为40m/s.t = 20, v = 80 2 x 20 = 40(m/ s)当T， 过o点以后前进至1200m处的加速度：dvt =2(m/s2)V2402t = = 1.067(m/S2) n r 1500a = a2 + a2 = 2 +1.0672 = 2.267(m/ S2), t na v可以算出a与v的夹角为1520。此时释放小4.5.2装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解答W(1)v=2mg(AB) - k(009)2m包含球杆弹簧的质点组受力 如图所示：N不做功。重力和弹性力为保守力（不 计摩擦）系统机械能守恒设杆水平时势能为零c 11 _、0 二一 mv 2 一 mg(AB)+ k()22、,2、-=心A + AC2 = 10.52 + 0.12 = 0.5099(m)(水平位置)0(2)晚=(OA + AC) / 0 = 0.6 - 0.5099 = 0.09(m)将（2）式代入（1）式1 1 八mv 2 一 mg(AB)+ k(0.09)2 = 02 2mv 2 一 2mg(AB)+k(0.09)2 = 0= 2g（AB）- 凯.。9）2=4.278(m/s)4.6.5 一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹 簧质量不计。空气阻力不计。解答铅块下落到框底速度为v K莎（1）接下来，铅块与框架底发生完全非弹 性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力， 可视为动量守恒。mv = 2mv10（2）（由于碰撞时间短，下降距离为零） 以后以共同速度下降：机械能守恒设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为九，碰撞后质点移动的最大距离为。2-2mv 2 + 20 -2m0 = 2k（ + 2o）2 -2mg侦 + 20）（3）依题意 k =:（4）（2）（4）式代入（3）式：矿-七-/h = 0= 提 + h = 0.1 0.12+ 0.1 x0.3 = 0.1 土0.2义0 宜00舍去负号项，广0.3m = 30cmaS=100m/s4.6.6质量为m =0.790kg和m2 =0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为001kg的子弹以速率v 沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？恒。解答第一阶段：完全非弹性碰撞mv = (m + m )v(1)第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守(m + m )v = (m + m +m )V（2）（v为共同速度）再由机械能守恒:2(m + m )v 2 = 2(m + m +m )V2 + ；k%)2tax（3）有（1）（2）（3）式解出:111_*= m vmax.(一) = 0.25(m)ook m + m m + m +m7.3.8斜面倾角为。，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩M，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为四，求重分析受力及坐标如图。z轴垂直纸面向外。列物上滑的加速度.绳与斜面平行，不计绳质量.解答标量方程组:T 一 mgsin 0 一 mg cos。日=ma（1）-M + TR= -p I(2)(3)T = T(4)T 一 mg sin 0 一 mg cos 地 二 ma_ R(M 一 mgR sin 0 一 mgR cos0p)解得：a=汀mR27.3.9利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的距离为r.为减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物叫，从距地面高度h处由静止开始 下落，落地时间为匕，然后悬挂质量较大的重物m2，同样由高度h下落，所需时间为匕，根据这些数据确定轮盘的转动惯量.近似认为两种情况下摩擦力矩相同.解答T*11气g分析受力及坐标如图。z轴垂直纸面向里。列方程:m g 一 T 二 m ai i i iTr - M 二 Ip 阻 ia 二 rpii2ha2 t2iT = TiiM = m r(g -四)-I四阻 2 t2 rt222，2h、T2h ,2h、T2hm1r(g -日)-1 京=m2r(g -1 云1122(m - m )g + 2h(2-)T 12t2 t2I =：17.4.2质量为2.97kg,长为1.0m的均质等截面细杆可绕水平光滑的轴线O转动，最初杆静止于铅直方向.一弹片质量为10kg，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端， 和杆一起运动，求杆的最大摆角。.解答取子弹和杆为物体系。分两个过程。过程1：子弹嵌入前一瞬时开始到完全嵌入时为止。此过程时间极短，可视为在原地完成。此时受力为mg，Mg,N为转轴对杆的支承力，对于轴，外力矩为零。有角 动量守恒。规定逆时针为转轴正方向。得: mv 0=s 帝1I = M2、03/解得:=m建0 = 2.0(rad/s) 3m/2+m2过程2：由过程1末为始到物体系摆至最高点为止。此过程中一切耗散力做功为零。故物体系机械能守恒。取杆的最低点为重力势能零点。若 Mg + m 2 + 11M?2 2 = (1 一 cos 0 )mg + t (1-cos 0 )Mg + Mg有2223221,I、CD2(一M + m)2cos0 =1-|= 0.864如m性解得 /.e =30.3Tmg7. 5. 4质量为m长为4的均质杆，其B端放在 桌面上，A端用手支住，使杆成水平.突然释放 A端，在此瞬时，求：（1）杆质心的加速度,（2）杆B端所受的力.解答取杆为隔离体，受力分析及建立坐标如 图。规定顺时针为转动正方向。依据质心运动 定理有：(1)N 一 mg = maTCT依据转动定理：mg2=IBP(2)依据角量与线量关系：七广y（3）V 2r r / r 1113, TH此外，n cn /2(4)由 v = 0. /.v = 0,N = 0中 ccTn联立上述四个方程求得:3a ”旋 cc421N 广 4mg7.5.5下面是均质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.（1）沿圆柱体上缘作用以水平拉力F,柱体作加速滚动.（2）水平拉力F通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动.（3）不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动.（4）在主动力偶矩c的驱动下作加速滚动.设柱体半径为R.解答取均匀圆柱体为隔离体，建立坐标系，水平向右为x轴正方向，z轴垂直纸面向里。假设七方向水平向右。（1）-F - f = ma （F + f）R = I p = 1mR2p 0 2a = RPI c得f = -3 （符号表示实际方向与假设方向相反） （2）F - f = ma fR = Io p = 2mR2 pa = RPI c得f = 3 （符号表示实际方向与假设方向相同）（3）-f = mac 1 M+fR = I0P = mR2Pa = RP c得f=-祟（符号表示实际方向与假设方向相反）9.2.7质量为1.0x 103g的物体悬挂在劲度系数为1.0x 106dyn/cm的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在t = 0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s，求其运 动学方程.解答9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k = 9.8N/m，物体质量为20g现将弹簧自平衡位置拉长2、；2cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0m/s，求该振子的运动学方程（SI）.解答以平衡位置为原点建立坐标系O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为：x = Acos(w t +a), k = 9.8(N/m),m = 200g 0:9.8故 s 0 = E 200X107 = 7( rad , s)t = 0 时，x = x = 2很(cm),v =v = 7.0(cm / s)V 2x 2 + = 3 x 10-2 (m)0 S 20以平衡位置为原点，建立坐标系O-x，竖直向下为正方向。（1）（2）设运动方程为:x = A cos( t + a) 0=31.6v =-A sin以rx cos a = -o = 0.726v .sin a = o = -0.688即-A%故 a = -0.759(rad) = 43.49所以运动学方程为:0x = 6.89 X10-3 cos(31.6t - 0.759)_ :k + k9.2.6 由 9.2.2 知。= ； 1 m 2这里 k1 = k2 = k：2k二 = i 0 mk = m 2 = 354(N / m)20x = A cos at = 0 时，v0 = -A0 sina J a = -0.34(rad)弹簧振子的运动方程：x = 3 X10 -2 cos(71 - 0.34)3.7.4棒球的质量为0.14kg。棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后,球沿与水平成30。飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。解，根据动量定理mV 一 mV = I0I = (mv)2 + (mv )2 2m2vv cos150o, 00F = I/At = (mv)2 + (mv )2 2m?vv cos1500 /At 00=m 502 + 802 - 2 x 50 x 80 x cos1500, At平均力与水平夹角:=881(N) mv/sin a = FAt/sin150,a = 18。343.8.3气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升。人以相对于软梯的加速度am上升，问气球加速度如何?解，(1)质心运动定理系统受外力：重力、浮力F - (M + m)g = (M + m)adix _ dz fMx +mx 、 c _ M M 祸 + m m设气球的加速度a,则_ dz fMx + mx _ Ma + m(a + a) ac = at/ 明 + m Q =Rf+mma= a+“ mM + mF (M + m)g = (M + m)(a+m )得：M + mF-ma a = _ m_ gM + m(2)质点的动量定理EF =骡， 外 ate F = F (+ m)g因 外LF = 乂 = (Mv +mv )外-dt dt M m= Ma + m(a + a )m得:F (M + m)g = (M + m)a + maF-maa= -gM + m结果同上。