大学物理：19-4 薛定谔方程及应用

1薛定谔方程及其薛定谔方程及其简单应用简单应用 2 经典力学中，已知力经典力学中，已知力 F 及及 x0、v0，可由牛顿方，可由牛顿方程求质点任意时刻状态。程求质点任意时刻状态。当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。程。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。本假设来描述微观粒子的运动规律。3)(0),(pxEtietx 动量为动量为P P 、质量为、质量为m、能量为、能量为E的自由粒子，的自由粒子，沿沿 x 轴运动的波函数为：轴运动的波函数为：1.1.自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程 这个方程还应满足以下两个条件：这个方程还应满足以下两个条件：（1 1）方程是）方程是线性的线性的，即如果，即如果 1 1和和 2 2都是这方程的解，那么都是这方程的解，那么 1 1和和 2 2的线性迭加（的线性迭加（a a 1 1+b+b 2 2）也应是方程的解。这是由态也应是方程的解。这是由态迭加原理决定的；迭加原理决定的；（2 2）这个方程的系数不应包含状）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。态的参量，如动量、能量等。否则方程只能被粒子的否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。对时间求微商，得到对时间求微商，得到：),(),()(0txEieEittxpxEti4对对 x 求二阶偏导求二阶偏导),(),()(0txEieEittxpxEti),(),()(0txpiepixtxpxEti),()(),(2)(0222txpeipxtxpxEti当粒子速度远小于光速当粒子速度远小于光速c c时（时（vcv1时，能量相对间隔时，能量相对间隔n2n1当当n时时nnEE量子化不显著。量子化不显著。经典物理可看成是经典物理可看成是n时量子物理的特殊情况。时量子物理的特殊情况。23)(xU,0,0Uaxx 和0ax0 粒子在粒子在 x a的区域。的区域。2.2.势垒贯穿势垒贯穿(隧道效应）隧道效应）设一个质量为设一个质量为mm的粒子，沿的粒子，沿x x轴正方向运动，其势能为：轴正方向运动，其势能为：这种势能分布称为这种势能分布称为一维势垒一维势垒。在量子力学中，情况又如果呢？在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：0UVOaIIIxIII)(),0(),0(axaxx在各个区域的波函数分别表示为在各个区域的波函数分别表示为 1、2、3。240UVOaIIIxIII),()(212122xEdxxdm),()()(22202222xExUdxxdm),()(232322xEdxxdm2021)(2EUmk222mEk 令：0 xax 0ax 0,0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0,0)()(221222axxkdxxd,0)()(32232三个区间的薛定三个区间的薛定谔方程简化为：谔方程简化为：25方程的通解为：方程的通解为：ikxikxeAAe1xikxikeBBe112ikxikxeCCe3将上面的三个式子乘以因子：将上面的三个式子乘以因子：，可知：，可知：Etie 三式的右边第一项表示沿三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，方向传播的平面波，第二项为沿第二项为沿x负方向传播的平面波。负方向传播的平面波。1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=0）”反射的反射波。反射的反射波。2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=a）”反射的反射波。反射的反射波。3右边的第一项表示穿出势垒的透射波，右边的第一项表示穿出势垒的透射波，3的的第第二项为零，因为在二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波区域不可能存在反射波(C/=0)。26 利用波函数利用波函数“单值、有限、连续单值、有限、连续”的标准条件，可得：的标准条件，可得：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。0VVaoxIIIIII讨论：讨论：（1）EU0 按照经典力学观点按照经典力学观点,在在EU0情况情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。垒，而不会在势垒壁上发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。270VVaoxIIIIII（2）Ea区域也存在波函数，所以粒子区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入还可能穿过势垒进入xa区域。区域。粒子在总能量粒子在总能量E小于势垒高度时小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应隧道效应。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：定义粒子穿过势垒的贯穿系数：透射波的概率密度与透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。入射波概率密度的比值。2123|)0(|)(|aT)02exp()2exp(|)0(|)(|112222kTakTa)(22201EUmaakee28结果表明：结果表明：势垒高度势垒高度U0越低、势垒宽越低、势垒宽a度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。如果如果a或或m为宏观大小时，为宏观大小时，粒子实际上将不，粒子实际上将不能穿过势垒。能穿过势垒。0T隧道效应是一种微观效应。隧道效应是一种微观效应。当当 时，势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEU50 隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。量是虚数。隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系不确定关系”，粒子的坐标粒子的坐标x x和动量和动量P P不可能同时具有确定的值，自然作为坐不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值定的值。因此，对微观粒子而言，。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能总能量等于势能和动能之和之和”这一概念不再具有明确的意义。这一概念不再具有明确的意义。)(220EUmaeT29 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STMSTM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间若在样品与针尖之间加一微小电压加一微小电压U Ub b电子电子就会穿过电极间的势就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy30因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；得到表面态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。阔的应用前景。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面阵列。可以直接绘出表面的三维图象的三维图象311981年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜（STM）给出了晶体表面的三维图象。）给出了晶体表面的三维图象。钻石中的原子已被看到钻石中的原子已被看到利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（PSTM)PSTM)。19891989年提出成象技术。年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。它可用于不导电样品的观察。