复变函数课件：第三讲 矢量场的通量和散度

第三讲矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.前言前言2第二章 场论如图（2 11），流体穿过dS 的流量dQ，就近似地等于以dS为底面积，vn为高的柱体体积（vn 为 v 在n 上的投影），即.(3.1)ndQv dS若以n表示点M 处的单位法矢，则有00()()nv dSdSdSv nvn据此，又可以dQ=v dS(3.2)其中dS=ndS 为在点M 处的这样一个矢量，其方向与N 一致，其模等于面积dS，如图（2 12）。0dSdS n2第二章 场论据此，在单位时间内向正侧穿过S 的流量，可用曲面积分表示为(3.3)nssv dSdQ=vS3第二章 场论设有矢量场A(M)，沿其中某一方向曲面S 的曲面积分叫做矢量场A(M)向正侧穿过曲面S 的通量通量。(3.6)nssA dSd=A S一、一、通量的定义通量的定义：(,)(,)(,)P x y zP x y zP x y zA=ij+kcos(,)cos(,)cos(,)odSdsdSxdSydSzdydzdxdzdxdynninjnkijk(3.8)ssdPdydzQdxdzRdxdy=A S4第二章 场论解：解：以S1 表示曲面S 的平面部分，以S2 表其锥面部分，则左端第一个积分112311ssdxdydzydxdzzdxdyHdxdyHdxdyHHHrS例例1.1.设由矢径r=xi+yj+zk 构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2 及平面 z=H(H0)所围成的封闭曲面S，如图（2 13）。试求场r 从S 内穿出S 的通量 。rxyzijk222 xyz12sssddd=rSrS+rS5第二章 场论所以22200nsssdr dsdsrS其中 1 为S1 在 xOy 上的投影，是一个圆域：x2+y2 H2，对于右端第二个积分，只要注意到在S2 上有 r n，就有222 xyH3SdH=rS6第二章 场论（2）通量为正，为负，为零时的物理意义。）通量为正，为负，为零时的物理意义。设在单位时间内流体向正侧穿过S 的流量为Q，则在单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS 的流量，前面说过为当v 是从dS 的负侧穿到dS 的正侧时，v 与n 相交成锐角，此时dQ=v dS 0 为正流量；反之，如v 是从dS 的正侧穿到dS 的负侧时，v 与n 相交成钝角，此时dQ=v dS 0 为负流量。dQdvS7第二章 场论一般应理解为：它是在单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。sQdvS因此，对于总流如果S 为一封闭曲面，此时积分 S在无特别申明时，即指沿S 的外侧。因此流量s sQdvS通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a)a)若若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；0Q b)b)若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；0Q c)c)若若 ，闭合面，闭合面正源和负源相互抵消或无源。0Q 8第二章 场论解：解：如图（2 15），在球面S 上恒有r=R，且法矢n 与r的方向一致。所以例例2.2.在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为22224444SSSqddRqqdRqRR0e=DSrS=S24qr0D=r其中r 是点电荷q 到点M 的距离，r是从点电荷q 指向点M 的单位矢量。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S的电通量 e。2.散度散度9第二章 场论SdVVAS之极限存在，则称此极限为矢量场A(M)在点M 处的散度散度，记作div A，即（1）散度的定义）散度的定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M 的某个邻域作一包含M 点在内的任一闭曲面S，设其所包围的空间区域为 ，以 V 表其体积，以 表从其内穿出S 的通量。若当 以任意方向式缩向M 点时，比式divAlimlim(3.9)SMMdVV AS=1)1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)2)矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量；3)3)矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；4、散度的物理意义(无源无源）()0divF r(正源正源)()0divF r 负负源源)()0divF r 4)4)矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，1 1）若）若 ，则该矢量场称为有源场，则该矢量场称为有源场，为源密度为源密度；()0divA r()0divA r 2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无源场。11第二章 场论div A 0 的矢量场为无源场无源场散度div A 为一数量，表示场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度源的强度。（2）散度在直角坐标系中的表示式：）散度在直角坐标系中的表示式：定理定理.在直角坐标系中，矢量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在任一点M(x,y,z)处的散度为div(3.10)PQRlxyA=散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源；当表示该点有散发通量的正源；当div ，表示该点有吸收通量，表示该点有吸收通量的负源；当的负源；当div ，表示该点为无源场。，表示该点为无源场。0A0A0A12第二章 场论推论推论1.通量和散度之间的一种关系，即：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所包围的区域 上的散度在 上的三重积分。(3.11)Sddiv dVASA推论推论2.由推论1 可知：若在封闭曲面S 内处处有div A=0，则0SdAS13第二章 场论推论推论3.若在矢量场A 内某些点（或区域）上有div A 0 或div A 不存在，而在其他的点上都有div A=0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。例例3.3.在点电荷q 所产生的静电场中，求电位移矢量D 在任何一点M 处的散度div D。14第二章 场论解：解：取点电荷所在之点为坐标原点。此时34qrDr.其中r=xi+yj+zk，r=|r|因此于是有333,444xyzqxqyqzDDDrrr222222555333,.444yxzDDDq rxq ryq rzxryrzr所以2222533()0(0).4yxzDDDqrxyzdivrxyzrD15第二章 场论电场穿过包含点电荷q 在内的任何封闭曲面S 的电通量都等于q，即.Sdqe=DS通量是可以叠加的，m 个点电荷q1,q2,qm 穿出包围这m 个点电荷在内的任一封闭曲面S 的电通量 e，可以看成是由S 内每个点电荷qi(i=1,2,m)所产生并穿出S 的电通量 i=qi 的代数和e11q(3.12)nniiQii=此结果说明：穿出任一封闭曲面S 的电通量，等于其内各点电荷的代数和。这就是电学上的高斯（K.F.Gauss）定理。16第二章 场论根据高斯定理，在电荷连续分布的电场中，电位移矢量D 的散度为limlimlim(3.13)SeMMMdQdivVVV DSD=其中 为电荷分布的体密度。（3）散度运算的基本公式。）散度运算的基本公式。1)div(cA)=c div A（c 为常数）2)div(A B)=div A div B3)div(uA)=u div A+A grad u（u 为数性函数）17第二章 场论例例4 4.已知xyz=e,div xyzrijk r,求.解：解：由基本公式得div div r=r+gradrdiv div()3xyz r=ijk由于 =()xyzxyzeeyzxzxygradgradijk故div333(1)xyzxyzxyzeexyzxyz e r=