金融时间序列讲义第七章

第七章 多变量时间序列模型本章主要内容1. 多变量时序模型2. Granger因果分析3 .结构VAR模型的识别。第一节VAR分析1. VAR模型1980年Sims提出向量自回归模型(vector autoregressive model)。这种模型采用多 方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型 的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设队尸药之间 存在关系，如果分别建立两个自回归模型y 1,广f (y i, L y 1,心，)y 2,广f (y2, i )则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间 的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后 阶数k。以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，f y=p+兀y+ 兀y+ u1, t11,11, t-12,12,t-11,t(1)I y=p+兀y+兀y+ ul2,t11,21, t-12,22,t-12, t其中u 1t , u 了 i.i.d (0Q 2),顷(u 1t , u . = 0。写成矩阵形式是，冗1,1冗冗1,2冗|y 1 ,t -1 +Ly 2,-1u1uY =y 11t, =由11,n =兀1.1冗11,2,U =U 11tt2tP21冗L 2,1冗2,2tu_2t2,121 -I2.22设，其中，Y = +n1Yt-1+ n y + -. . + n 】+ u u - i.i.d (0, Q)Yt = (y 1,t, y2, t, ,yn t) =(七, Pn )兀兀 兀 i11. j12. j1N. j兀兀兀n =J21. j:22. j:2N.j:,j = 1,2,，k兀兀 兀LN1. jN 2. jNN . ju = (u ,u 2 , u N )含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下:那么,(4)Y为NX1阶时间序列列向量。R为NX1阶常数项列向量。,., nk均为NxN阶参数矩阵，u广i.i.d (0, Q)是NX1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相 关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是不相关的， 所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。VAR模型的特点是：(1) 不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：共有哪些变 量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定滞后期k。使模型能 反映出变量间相互影响的绝大部分。(2) VAR模型对参数不施加零约束。(参数估计值有无显著性，都保留在模型中)(3) VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的 问题在VAR模型中都不存在。(4) VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个VAR模型含 有三个变量，最大滞后期k = 3,则有kN 2 = 3 x 32 = 27个参数需要估计。当样本容量 较小时，多数参数的估计量误差较大。(5) 无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程的右侧 都不含有当期变量，这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做 任何预测。西姆斯(Sims)认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为 具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。2 VAR模型的稳定性特征现在讨论VAR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模 型中某一个方程的新息(innovation)过程上时，随着时间的推移，分析这个冲击是否 会逐渐地消失。如果是逐渐地消失，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。下面分析一阶VAR模型Y=|!+HY+ u(5)为例。当t = 1时，有Y=|!+HY + u(6)当t = 2时，采用迭代方式计算，Y = + H Y + u = + n (V + HY+ u ) + u=(I + n 川 + n 2 y +n u + u(7)当t = 3时，进一步迭代，Y = + H Y + u = (I + H+H 2 川+ H 3 Y +H 2 u +H u + u(8)31 23111011123对于t期，按上述形式推导y =（I + n + n 2 + . + n 川 + h y + H n 以t111101 t - ii=0通过上述变换，把Yt表示成了漂移项向量u、初始值向量Y0和新息向量匕的函数。 可见系统是否稳定就决定于漂移项向量u、初始值向量Y0和新息向量匕经受冲击后的 表现。假定模型是稳定的，将有如下3个结论。（1）假设t = 1时，对u施加一个单位的冲击，那么到t期的影响是I + n + n2 + . + n-1当t T3时，此影响是一个有限值，（i-n 1）-1。（2）假设在初始值y0上施加一个单位的冲击。到t期的影响是n 11。随着,T3， n： 0，影响消失（因为对于平稳的VAR模型，n 1中的元素小于1，所以随着t t s， 取t次方后，n： 0）。（3）从:S n；u项可以看出，白噪声中的冲击离t期越远，影响力就越小。i=0对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的 记忆能力。同理，含有单位根的VAR模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击 时，VAR模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。平稳变量构成的一定是稳定（stability）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量 构成。也可能由非平稳（nonstationary）变量（存在协整关系）构成。3 VAR模型稳定的条件VAR模型稳定的充分与必要条件是n 1的所有特征值都要在单位圆以内(在以横 轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆)， 或特征值的模都要小于1。1. 先回顾单方程情形。以AR(2)过程y =。y +。y + u(10)t 1 t-1 2 t - 2 t为例。改写为(1 - - 2 B 2) y = (B) y = u(11)稳定的条件是$ (B) = 0的根必须在单位圆以外。2. 对于VAR模型，用特征方程判别稳定性。以(5)式，y =R+n 1rt1 + u,为例， 改写为(I - n b )Y = |i + u(12)其中A (B) = (I-n 1B)。VAR模型稳定的条件是特征方程|n广入/| = 0的根都在单 位圆以内。特征方程n广入/1 = 0的根就是n 1的特征值。例1以二变量(N = 2)，k = 1的VAR模型为例分析稳定性。y 1t】=-5/81 / 2 -y 1,t-i +1t-y 21 -1/45/8卜 2,t-1 Ju其中n =-5/81/2 -11/45/8特征方程n -人/ =-5/81/2 -入0 一=-5/8 -入1/2 -=011/45/80入J1/45/8-入(5/8 -人)2 - 1/8 = (5/8 -人)2 -色航尸=(0.978 -人)(0.271 -人)=0得气=0.9786, % = 0.2714。气，2是特征方程|n广人I = 0的根，也是n 的特征值。因为气=0.978,气= 0.271，都小于1，所以对应的VAR模型是稳定的。4 VAR模型滞后期k的选择建立VAR模型除了要满足平稳性条件外，还应该正确确定滞后期奴如果滞后期 太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正如在第4章介绍 ADF检验的原理一样，在VAR模型中适当加大k值(增加滞后变量个数)，可以消除 误差项中存在的自相关。但从另一方面看，k值又不宜过大。k值过大会导致自由度 减小，直接影响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择k值的方法。1.用LR统计量选择k值。LR (似然比)统计量定义为，LR = - 2 do L(k)- io L(k+ r 2(n2)(13)其中log L(k)和log L(k+1)分别是VAR(k)和VAR(k +1)模型的极大似然估计值。k表 示VAR模型中滞后变量的最大滞后期。LR统计量渐近服从z2(n占分布。显然当VAR 模型滞后期的增加不会给极大似然函数值带来显著性增大时，即LR统计量的值小于 临界值时，新增加的滞后变量对VAR模型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估 参数个数相比不够充分大时，LR的有限样本分布与LR渐近分布存在很大差异。2.用赤池(Akaike)信息准则(AIC)选择k值。AIC = log，-1TI+次T(14)其中仍.表示残差，T表示样本容量， 值的过程中使AIC的值达到最小。k表示最大滞后期。选择k值的原则是在增加kEViews 3.0的计算公式是AIC = -2+ 2k_T3.用施瓦茨（Schwartz）准则（SC）选择k值。SC = log 任:/）+（15）TT7其中，表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。选择最佳k值的原则是在增加k值的过程中使SC值达到最小。EViews的计算公式是SC =-2 f MA + kiogTI T 7 T5 Granger因果检验VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger ）非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由y和X滞后值所决定的y的条件分布与仅由y滞后值所 tttt决定的条件分布相同，即f （y / y ，X ,）=f （y / y ，）t t 1t 1t t 1则称xpEy,的格兰杰原因。格兰杰非因果性的另一种表述是其他条件不变，若加上x,的滞后变量后对的yt预 测精度不存在显著性改善，则称xEyt的格兰杰原因。根据以上定义，x对y是否存在因果关系的检验可通过检验VAR模型以为y被 ttt解释变量的方程中是否可以把x,的全部滞后变量剔除掉而完成。比如VAR模型中y, 为被解释变量的方程表示如下：七二 气yt/ & + 1， i=1i=1如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等都可以包括在上式中。则检验X对y存在格兰杰非因果性的零假设是H0： P1 = P2 =邛广 0显然如果(17)式中的x的滞后变量的回归参数估计值全部不存在显著性，则上 述假设不能被拒绝。换句话说，如果x的任何一个滞后变量的回归参数的估计值存在 显著性，则结论应是X对y存在格兰杰因果关系。上述检验可用F统计量完成。F - (SSE r SSE )/kSSE (T kN )u其中SSEr表示施加约束(零假设成立)后的残差平方和。SSEu表示不施加约束条件 下的残差平方和。k表示最大滞后期。N表示VAR模型中所含当期变量个数，本例中 N =2, T表示样本容量。在零假设成立条件下，F统计量近似服从F( k, T kN)分布。 用样本计算的F值如果落在临界值以内，接受原假设，即七对七不存在格兰杰因果关 系。Granger因果检验实际上是检验一个变量的现期值和过去值是否会对另一个变量 的未来预测值产生影响(Walter Enders, 2004, pp283-284)，通常情况下，是用F统 计量去检验方程中一个作为自变量的变量及其滞后项的所有系数是否全为零，若全为 零，则认为该自变量不是该方程的因变量Granger因果。第二节结构VAR1.结构VAR模型(以最简单的2元变量为例)；设七和七是平稳时间序列，满足：y = b 一 b z + Y y + y z + t 1012 t 11 t 112 t 1 ytz = b 一 b y + y y + y z + t 2021 t 21 t-122 f-1zf（16）用矩阵的形式可以表示为：1b y 1b 1yy1y 1 i12f=10+1112t-1+b1zbyyz1- 211L t2021221-t-1L zt Jt01 t-1tB =1b112，x =y 1 t，r =b 110b211tzt0b20Bx+ 其中,yy - -r=1112， =yt1y yt2122zt这就是结构VAR模型。标准式VAR（16）式中两边同乘上b 1，则可以得到标准式VAR模型，即 x = A + A x + e其中：A = B -1 r，A = B -1 r，e = B -1 第三节结构VAR模型识别和预报误差方差分解1.结构VAR模型识别设x是k维的向量在t时刻的取值，则阶结构性的VAR模型为:（17）模型的两边同乘上B -1就可以得到标准形式:(18)其中：A = B -1 r , A = B -1 r , e = B -1记： = cov（匕,e），根据标准形式，我们可以估计出Z，由于是对称的，所以 我们最多有k （k + 1）/2个方程，即使我们限制B的对角元素为1，我们还有k 2 -k个参数需要估计，再加上七的各分量的方差也是参数，所以，总共有k 2个参数要估计，因 此，由标准形式是无法识别模型的，必须对B加一定的约束，这样导致了不同的模型 识别方法（方差分解方法）。2. 脉冲响应函数和预报误差方差分解由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是 很困难的。要想对一个VAR模型做出分析，通常是观察系统的脉冲响应函数和方差 分解。（1）脉冲响应函数。脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随 机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影 响。对于如下VAR模型，* t表示GDP，吃，表示货币供应量，f y =P+兀 y + 兀 y+ u1,t11,11,t-12,12,t-11,t（19）I y =p+兀 y + 兀 y+ ul2, t11,21,t-12,22, t-12, t在模型（19）中，如果误差u和u不相关，就很容易解释。u是y的误差项;1, t2,t1, t1,tu 2t是y 2t的误差项。u 2t的脉冲响应函数衡量当期一个标准差的货币冲击对GDP和货 币存量的当前值和未来值的影响。预报误差方差分解对于每一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA（8）过程。若我们得到了 B的估计值，我们就可以利用（18）式来进行预报误差方差分解，这里我们简要说明怎样来分解，我们可以把（18）式写成无限的滑动平均（moving average）过程： Cet i i I，t = 1,2, T因此，在已知t - 1的信息Q ti的条件下，气得向前预报n步的预报误差为：E t,广芫牛+ n _ il = 0所以，总的预报误差协方差矩阵为：Cov （E ） = U C C；l=0然后利用e广B -1 t，我们就可以把各变量的预报误差方差分解成来自七各分量所 占的比例。因此，预报误差方差分解可以告诉我们序列的波动中来自自己的波动和其 它波动的比例。根据前面B矩阵的不同识别方式，我们把相应的预报误差方差分解命 名为相应的方差分解，如Choleski方差分解，Sims分解，Blanchard-Quah分解等等。1）Choleski分解，这种分解方法假定B是一个下（上）三角形，这种假定要求 排后面（前面）的变量对前面（后面）的变量没有同期影响，变量的秩序对模型有非 常大的影响。2）Sims结构分解，这种分解就是根据客观的或者理论的信息确定变量间的同期 的因果流向，从而得到B的约束，这种方法是理论推动型的分析方法，而且这种结构 是不是真正刻画了真实的结构信息是没有人知道的，这与时序分析是一种数据推动型 的分析方法相违背。3) Blanchard-Quah分解，它假定一组变量同时受到一组不相关的扰动的影响，其中某些扰动对某些变量只有短期的影响，而另外的扰动对这些变量既有长期的影响 也有短期的影响，这样就得到一些约束条件，从而求出B -1，这种方法要求至少一个变量是非平稳的，因为平稳序列是不存在长期的影响，因此，这种方法只能针对存在非平稳的序列的情形，另外，在确定什么样的冲击对变量只有短期的影响也是非常主观的，所以应用起来也非常不方便。思考1)由a + a Bya + a By+ a Bz+ a Bz+ e1t+ e2t可得a (1 - a ) + a a+ (1 - a B) e + a e2r-t(1 - a _ B )(1 - a B) - a a B2利用上式找出下式中y的二阶差分方程a.y 是否平稳; tb.讨论对一个单位的扰动e和e的脉冲响应函数的形状;c.假定 e = + 0.5 ， e = 11 ytzt2 tzt讨论对一个单位的扰动，yt的脉冲响应函数yt的形状；讨论对一个单位的扰动Ezty的脉冲响应函数的形状;d.假定 e = ，e = 0.5 + yt zt讨论对一个单位的扰动，yt的脉冲响应函数yt的形状；讨论对一个单位的扰动Ezty的脉冲响应函数的形状;y 1t=0.80.21y 1t-1+e 11tz0.20.8zeL t111-t-1L 21 Jf.利用c和d的结果，解释为什么变量的顺序对Choleski分解是重要的。2）利用y = a + aByBy+ a Bz+ e1t+e2ttioy = a +11aa 1t+t12ta Bz中的记号，假设：a 10 = 0，a = 0，a11=0.8，a12=0.2 ， a21 = 0.4 ， a= 0.1a. 找出七的二阶差分方程，并确定七是否平稳;b. 回答第1）题中的问题b-d；c. 如果a 10 = 0.2，y的结果将怎样？